一類Bogdanov-Takens系統(tǒng)在分段多項(xiàng)式擾動(dòng)下極限環(huán)個(gè)數(shù)的估計(jì)

晏兵川，李寶毅，張永康

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

1 引言和主要結(jié)果

弱化Hilbert第16問題一直是常微分方程定性理論的熱門課題之一[1-2].Bogdanov-Takens系統(tǒng)（B-T系統(tǒng)）是向量場(chǎng)的分岔理論研究中一類重要的近Hamilton系統(tǒng).文獻(xiàn)[3-10]研究了在二、三、四次多項(xiàng)式擾動(dòng)下B-T系統(tǒng)的極限環(huán)個(gè)數(shù).令Mk（h）為擾動(dòng)系統(tǒng)的k階Melnikov函數(shù).對(duì)于B-T系統(tǒng)的n次多項(xiàng)式擾動(dòng)，文獻(xiàn)[11]證明了當(dāng)M1（h）?0時(shí)，極限環(huán)個(gè)數(shù)的上確界為n-1（計(jì)重?cái)?shù)）;文獻(xiàn)[12]證明了當(dāng)M1（h）≡0，M2（h）?0時(shí)，極限環(huán)個(gè)數(shù)的上確界為（計(jì)重?cái)?shù)）;文獻(xiàn)[13]證明了當(dāng)Mi（h）≡0（i=1，2，…，k-1），Mk（h）?0時(shí)（k≥3），極限環(huán)的個(gè)數(shù)不超過k（n-1）-1（計(jì)重?cái)?shù)）.

隨著分岔理論的發(fā)展，一些研究開始關(guān)注分段光滑向量場(chǎng)的定性分析.文獻(xiàn)[14]將平面分為上下2個(gè)區(qū)域，證明了在分段n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下B-T系統(tǒng)的極限環(huán)個(gè)數(shù)不超過12n+6（計(jì)重?cái)?shù)）.文獻(xiàn)[15]將平面分為左右2個(gè)區(qū)域，證明了在非連續(xù)（連續(xù)）分段n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下B-T系統(tǒng)的極限環(huán)個(gè)數(shù)不超過16n+計(jì)重?cái)?shù)）.文獻(xiàn)[16]證明了將平面等分成3個(gè)扇形區(qū)域時(shí)，一類分段線性Hamilton系統(tǒng)在n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下至少可以產(chǎn)生2n+（計(jì)重?cái)?shù)）個(gè)極限環(huán).文獻(xiàn)[17]證明了一類平面拋物-橢圓型分段光滑線性Hamilton系統(tǒng)在n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下極限環(huán)的個(gè)數(shù)不超過（計(jì)重?cái)?shù)）.

本文將平面分為上下2個(gè)區(qū)域，通過計(jì)算一階Melnikov函數(shù)，估計(jì)非連續(xù)分段n次多項(xiàng)式擾動(dòng)的B-T系統(tǒng)

的極限環(huán)個(gè)數(shù)，其中：0<ε?1，n∈N+，

當(dāng)ε=0時(shí)，未擾動(dòng)系統(tǒng)（1）0的Hamilton函數(shù)為

設(shè)Γh與x軸正半軸和負(fù)半軸分別交于點(diǎn)Bh（b（h），0）和Ah（a（h），0）.

本文的主要結(jié)果為：

定理 在非連續(xù)分段n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下，當(dāng)h∈一階Melnikov函數(shù)M（1h）?0時(shí)，擾動(dòng)系統(tǒng)（1）ε的極限環(huán)個(gè)數(shù)不超過

2 一階Melnikov函數(shù)

其中：u1（h）、u2（h）、u3（h）、u4（h）為h的多項(xiàng)式，且

證明 由Γh關(guān)于x軸的對(duì)稱性可得

因此

則有

下面只需證明對(duì)i+j=n，I+ij滿足

其中：v1n（h）、v2n（h）、v3n（h）、v4n（h）為h的多項(xiàng)式，且

對(duì)式（2）關(guān)于x求導(dǎo)得

式（5）兩端同乘以xi-2y jdx（i≥2），并沿Γ+h積分得

當(dāng)i=2時(shí)，有

即

當(dāng)i≥3時(shí)，由式（6）可得

式（2）兩端同乘以xiy j-2dx（j≥2），并沿Γ+h積分得

即

由式（8）～式（9）可得

在式（7）和式（10）中分別取j=0和（i，j）=（0，2），可得

在式（8）和式（7）中分別?。╥，j）=（3，0）和j=1，可得

在式（10）中?。╥，j）=（1，2）、（0，3），可得

下面對(duì)n使用數(shù)學(xué)歸納法證明式（4）成立.由式（11）～式（13）可知式（4）對(duì)n=0、1、2、3成立.假設(shè)當(dāng)n=i+j≤k-1（k≥4）時(shí)式（4）成立，則當(dāng)n=k，即i+j=k時(shí)，在式（10）中?。╥，j）=（0，k）、（1，k-1），在式（7）中取j=k-2，在式（8）中?。╥，j）=（l，k-l）（3≤l≤k），可得

由歸納假設(shè)，當(dāng)n=k時(shí)，I+ij有形如式（4）的表達(dá)式.下面利用式（14）估計(jì)多項(xiàng)式v1n（h）、v2n（h）、v3n（h）、v4n（h）的次數(shù).

情形1 當(dāng)（i，j）=（0，k）、（1，k-1）時(shí)，有

因此可得

情形2 當(dāng)（i，j）=（2，k-2）時(shí)，I+2，k-2=I+1，k-2，此時(shí)顯然有

情形3 當(dāng)（i，j）=（l，k-l）（3≤l≤k）時(shí)，有

綜上可得式（4）成立.引理1證畢.

引理2I+00、I+′00在上無零點(diǎn).

證明 將Ah（a（h），0）和Bh（b（h），0）代入式（2）得

則有

因?yàn)閍（h）≠b（h）且a（h）+b（h）<1，故I+′00≠0.引理2證畢.

記Δ（h）=h（6h-1）.

引理3I+00、I+10滿足Picard-Fuchs方程組

證明 考慮積分

注意到

因此對(duì)式（17）關(guān)于h求導(dǎo)可得

整理得

考慮積分

注意到

因此，對(duì)式（19）關(guān)于h求導(dǎo)可得

整理得

聯(lián)立式（18）和式（20）可得

因此式（15）成立.對(duì)式（15）關(guān)于h求導(dǎo)，經(jīng)整理可得式（16）.引理3證畢.

利用

并結(jié)合文獻(xiàn)[18]的推論1*可得引理4.

引理4I+01、I+11滿足Picard-Fuchs方程組

3 極限環(huán)個(gè)數(shù)的估計(jì)

命題1[19]設(shè)系統(tǒng)滿足

（1）P（h）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；

（2）A（h）和B（h）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，F(xiàn)（h，P）在[a，b]×[mp，Mp]上連續(xù)，其中[mp，Mp]為F（h，P）在[a，b]上的值域.

則有以下結(jié)論：若A（h）和B（h）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)分別有個(gè)和個(gè)零點(diǎn)（，計(jì)重?cái)?shù)），則函數(shù)P（h）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至多有個(gè)零點(diǎn)（計(jì)重?cái)?shù)）.

命題2[15]P2（h）、P1（h）、P0（h）和R（h）為開區(qū)間K上的充分光滑的連續(xù)函數(shù)，P2（h）的零點(diǎn)是孤立的，且

存在非平凡解Φ1（h），則

的任一解在K上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（計(jì)重?cái)?shù)）不超過p+2w+r+2，其中p、w、r分別為P2（h）、Φ1（h）、R（h）在K上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（計(jì)重?cái)?shù)）.

定理的證明 （f h）在上的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)記為#f（h）（計(jì)重?cái)?shù)）.

當(dāng)n=1時(shí)，系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov函數(shù)為

其中：u1、u2、u3為常數(shù).令φ1（h）=I+01，定義二階微分算子（其中I為恒同算子），由式（22）可知L1（φ1（h））≡0，將式（18）和式（20）代入式（16）可得

則有

其中：

由式（23）可得

令G（h）=α11（h）+α12（h）w（h），則有

其中：

所以#B1（h）≤3，由命題1可知

再由命題2可得

即當(dāng)M1（h）?0時(shí)，系統(tǒng)（1）ε至多存在7個(gè)極限環(huán).

當(dāng)n≥2時(shí)，在式（3）中令

對(duì)ψ2（h）關(guān)于h求導(dǎo)，由引理4可得

其中：

從而

事實(shí)上，設(shè)P1（h）為k次多項(xiàng)式，P2（h）和P0（h）均為k+1次多項(xiàng)式，則式（24）左端為關(guān)于h的次數(shù)不超過β+k+1的多項(xiàng)式，共有β+k+2項(xiàng)，令其各項(xiàng)系數(shù)為0，得到β+k+2個(gè)線性方程.式（25）左端為關(guān)于h的次數(shù)不超過α+k的多項(xiàng)式，共有α+k+1項(xiàng)，令其各項(xiàng)系數(shù)為0，得到α+k+1個(gè)線性方程.因此可得到一個(gè)含有α+β+2k+3個(gè)方程的線性方程組.

又由于P1（h）中有k+1個(gè)待定系數(shù)，P2（h）和P0（h）中分別有k+2個(gè)待定系數(shù)，則線性方程組共有3k+5個(gè)待定系數(shù)，因此當(dāng)3k+5>α+β+2k+3，即k>α+β-2時(shí)，線性方程組存在非零解.取k=α+β-1，則存在系數(shù)不全為0的實(shí)系數(shù)α+β-1次多項(xiàng)式P1（h），α+β次多項(xiàng)式P2（h）和P0（h），使得L（ψ2（h））≡0.

對(duì)ψ1（h）關(guān)于h求導(dǎo)，結(jié)合式（18）、式（20）和式（23）可得

其中：

從而

因此

其中：

從而

令G（h）=α1（h）+α2（h）w（h），則有

其中：

則有

因此，由命題1可知

由P2（h）的多項(xiàng)式次數(shù)可得

根據(jù)Petrov定理[20]可知w=#ψ2（h）≤α+β，再由命題2可得

取n=1，有因此當(dāng)M（1h）?0時(shí)，擾動(dòng)系統(tǒng)（1）ε的極限環(huán)個(gè)數(shù)不超過計(jì)重?cái)?shù)）.定理證畢.