基線長度和俯仰角約束條件下的模糊度浮點解求解及仿真實現

韓忠輝，張道成

(中國人民解放軍91404部隊,河北 秦皇島 066000)

1 整周模糊度的基本概念

隨著科學技術的不斷發(fā)展,載波相位載體姿態(tài)的精確測量在軍事、民用、商用等方面顯得日益重要。我們在進行載波相位測量時,接收機實際上能測定的只是不足一整周的部分,因為載波是一種單純的余弦波,不帶有任何識別標志,所以我們無法確定正在測量的是第幾個整周的小數部分,于是在載波相位測量中便出現了一個整周未知數,也叫整周模糊度。

2 整周模糊度浮點解求解技術的發(fā)展

隨著GPS載波相位差分技術的深入研究,利用兩個或多個接收機進行高精度的載體姿態(tài)測量成為可能?？焖?、準確、可靠地求解整周模糊度是載體姿態(tài)測量的關鍵問題之一。針對這個問題,國內外許多學者和研究人員做了大量的工作。安徽理工大學徐躍[1]針對短基線單歷元解算考慮到GEO衛(wèi)星模糊度較難固定問題,在寬巷模糊度固定的基礎上約束固定出IGSO和MEO衛(wèi)星的模糊度,然后再用IGSO和MEO衛(wèi)星模糊度約束固定出GEO衛(wèi)星模糊度,而固定寬巷模糊度時法方程的病態(tài)性則通過基于奇異值分解的正則化法來解決,在N、E、U方向定位精度達到厘米級。武漢大學沈明星[2]針對GNSS網絡RTK參考站間三頻模糊度確定進行相關研究,詳細介紹了網絡RTK技術中參考站間模糊度確定、誤差改正數生成和流動站定位的相關理論和算法,開展了相關研究。武漢大學隋心[3]在任意GNSS系統(tǒng)之間、不同波長之間、不同基線長度條件下均可實現系統(tǒng)間雙差模糊度構建和固定為目標,提出顧及系統(tǒng)間雙差模糊度固定的多GNSS定位統(tǒng)一數學模型。

3 有約束條件的整周模糊度浮點解求解

在實際的姿態(tài)測量系統(tǒng)中,由于對實時性要求比較高,所以短時間模糊度的固定就顯得非常重要,但是在較短的觀測歷元下,往往會出現以下幾種情況:第一種情況是,由于各種噪聲的影響,使模糊度浮點解精度很差,這樣導致浮點解構成的模糊度搜索空間中并沒有正確的整數解存在,從而導致求解失敗;第二種情況是,即使模糊度真值在搜索空間中,但最后模糊度收斂值并非模糊度正確解,這時就必須利用后續(xù)歷元的觀測量進行計算和檢驗,這樣就延長了模糊度固定時間;第三種情況是,由于短時間模糊度之間有非常強的相關性,使得模糊度搜索空間極其狹長,盡管Z變換后也如此,這時對于實時姿態(tài)輸出系統(tǒng),如何快速地搜索模糊度就顯得尤其重要。

為了在短時間內得到高精度的浮點解,我們常常借助于一些額外的輔助措施[4-7],例如對于短基線姿態(tài)測量系統(tǒng)來說,通過事先接收機天線間的基線長度可以精確得知,一些低成本的慣性器件短時間內可以實時地給出姿態(tài)角的近似參考值,從而提高模糊度解算的成功率。在GPS短基線載波相位雙差觀測模型中,主要考慮兩組未知數,分別是基線矢量和雙差整周模糊度。為了在短時間內得到精確的姿態(tài)結果,必須利用模糊度的整數特性。LAMBDA(最小二乘降相關平差法)算法以其較好的性能和完備的理論體系得到越來越多的關注,下面給出了基于LAMBDA算法的基線長度和俯仰角約束的浮點解求解方法。

3.1 基線長度約束虛擬觀測方程

在GPS定向解算算法中,固定長的基線可以提供可靠的觀測信息。下面將基線長度信息融入雙差方差中去。

S2=(ΔX0+dX)2+(ΔY0+dY)2+(ΔZ0+dZ)2

(1)

式中,X0等為初始基線坐標,它可以通過初始碼定位或其他方法得到,S為基線長度;(dx,dy,dz)為基線的改正數向量,也是雙差定位中的未知向量。展開上式有

2ΔX0dX+2ΔY0dY+2ΔZ0dZ

(2)

令dx2+dy2+dz2=K2,整理得:

(3)

其中,S0為初始基線向量的長度,K2為一大于0的變量,其精度與初始基線精度有關。將上式寫成矩陣形式有

(4)

3.2 俯仰角約束虛擬觀測方程

根據WGS-84坐標系與ENU坐標系的轉換關系有

(5)

dz=S·(sin(p)-sin(p0))

(6)

式中,p0為初始基線矢量(ΔX0,ΔY0,ΔZ0)求解的初始俯仰角,p為當前估計的俯仰角,S為基線長度。所以,根據式(5)和式(6)有

S(sin(p)-sin(p0))=

(7)

3.3 浮點解方程的組建

為了提高模糊度浮點解的精度,采用載波相位、偽距、基線長度和俯仰角等信息來建立浮點解方程。具體如下

(8)

其中,A為GPS觀測值的系數矩陣,AS為基線長度的系數陣,AP為俯仰角約束的系數陣,λ1為載波L1的波長,I為單位矩陣,b為未知基線向量,N為未知模糊度向量,νL1、νCA、νs、νp分別為觀測值L1、CA基線長度和俯仰角的改正數;lL1、lCA為L1、CA觀測值與幾何距離之差;ls為基線長度與其初始值之差。

從式(8)可以看出,即使在單歷元情況下,該方程也是滿秩的,但是為了能夠連續(xù)利用后續(xù)歷元的信息,這里給出一種模糊度向量和基線向量分離的最小二乘求解方法。

假設未知向量b、N和觀測值L組成的方程可以寫成如下形式:

L=Ab+BN+VP

(9)

式中,A、B分別為基線向量和模糊度向量的系數矩陣,P為觀測值的權矩陣。經過變換可得如下矩陣形式:

(10)

(11)

由此可見,式(11)只是關于模糊度的求解公式。在實現該模型時,由于偽距和載波相位精度有著數量級上的差距,導致載波相位觀測量淹沒在偽距觀測量的噪聲中,很難得到高精度的浮點解,所以必須合理地選取相位觀測量與偽距觀測量之間的權重比。另外,基線長度約束和俯仰角約束權矩陣的選擇往往與先驗精度有關,理論上基線矢量先驗精度越高,為了在方程組中體現其作用,則對應的權重就應該越大。

4 仿真及實現

為了分析基線長度與俯仰角約束權矩陣對LAMBDA算法的影響,下面給出權的選取對模糊度成功率影響的仿真。圖1中的俯仰角噪聲的方差設為σ2(n)。

圖1 基線長度與俯仰角約束權重對模糊度成功率的影響

從圖1可以看出,權重的選取對模糊度的固定成功率有很大影響,對方差為2°的傾角約束誤差來說,當權重取1 000左右效果最好;而且方差不同,最高成功率處的權重也不同,所以只有合理地選取約束值的權重才能使解算結果改善。

為了仿真約束條件下模糊度浮點解的精度,這里采用自編單基線GPS原始數據生成軟件進行仿真。圖2為單基線觀測數據模擬圖。仿真共用400個歷元,共視的衛(wèi)星ID為[1,5,6,11,12,20,21],其中主衛(wèi)星采用高度角最高的1號衛(wèi)星;基線長度設定為1.0 m;參與約束的俯仰角采用在俯仰角真值基礎上加上方差為2°的誤差,具體度數范圍見圖3;載波相位與偽距方差-協(xié)方差矩陣均采用單位陣模型,約束方程的載波相位、C/A碼偽距、基線長度和俯仰角權重比為100 000∶2.5∶100∶100;整周模糊度真值采用全部歷元解算,仿真中給出了單歷元和遞推歷元兩種解算模糊度的浮點解與模糊度真值的差值。仿真程序界面具體參見圖4至圖9。

圖2 單基線GPS原始數據生成軟件

圖3 約束俯仰角度數仿真圖

圖4 衛(wèi)星5-1模糊度浮點解誤差圖

圖5 衛(wèi)星6-1模糊度浮點解誤差圖

圖6 衛(wèi)星11-1模糊度浮點解誤差圖

圖7 衛(wèi)星12-1模糊度浮點解誤差圖

圖8 衛(wèi)星20-1模糊度浮點解誤差圖

圖9 衛(wèi)星21-1模糊度浮點解誤差圖

從仿真圖4到9中可以看出,無論是單歷元的解算還是多歷元的解算,衛(wèi)星截止角分別為5、6、11時,并且浮點模糊度的浮點解精度沒有太大的變化,變化不是很明顯,當增加到12、20時,單歷元的浮點模糊度的浮點解精度有了明顯的增加,當變化為21時,浮點模糊度的浮點解精度變化不是特別明顯。

但是無論截止角如何變化,當歷元在0～290時,浮點的模糊值和實際的真值存在一定的差距,從模糊度浮點解誤差圖可以看出,單歷元模糊度的浮點解糊度一般在真值±5周以內,而遞推計算的模糊度浮點解精度則相對較高,它利用當前歷元以及前面所有歷元的觀測值信息,可以看出當到300歷元以后直至400歷元,單歷元模糊度的浮點解糊度的真值接近于0,也就是說基本上都接近模糊度固定解真值,此時可以直接對其取整即為正確的整周模糊度。

LAMBDA算法最后按照殘差由小到大依次給出指定的多個候選值,前兩個候選值代表“最優(yōu)解”和“次優(yōu)解”。如果浮點解精度足夠高的話,那么第一個候選值就是真實的整周模糊度。然而,短時間內,真實的模糊度解往往不在第一個,通過對實測數據進行處理,這里進行了遞推求解模糊度浮點解時的真實模糊度出現位置仿真,見圖10。

圖10 遞推歷元下正確候選值出現的位置

從圖10可以看出,模糊度真實解的位置隨著時間的增加逐漸靠近“最優(yōu)解”,這時因為模糊度浮點解的精度隨著時間的增加而變高,所以可以通過模糊度浮點解的精度來動態(tài)的調整模糊度候選點數。當浮點解精度高于某一定值時,此時的最優(yōu)解就是模糊度真實解。

5 結束語

求解整周模糊度時,依賴的浮點解精度要求很高,同時短歷元求解的浮點解一般偏離真值很大,這時搜索的成功率很低。作者提出了基線長度和俯仰角約束的模糊度浮點解求解方法,并給出一種參數分離的最小二乘求解方法,該方法有利于多歷元的遞推解算。不難發(fā)現隨著歷元數的增加,浮點解的精度也逐漸增加。