立足課堂 滲透極限思想

張 麗

(江蘇省揚(yáng)州市高郵市龍虬鎮(zhèn)張軒小學(xué) 225604)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)固然應(yīng)該教會學(xué)生許多必要的數(shù)學(xué)知識，但讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這些結(jié)論的過程中掌握數(shù)學(xué)思想方法才是更為重要的.隨著對數(shù)學(xué)思想的關(guān)注度越來越高，數(shù)形結(jié)合、分類思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、模型思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想應(yīng)用頻率越來越高，數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)受到越來越多的教師的重視.然而，在一些小學(xué)的數(shù)學(xué)課堂上，由于很多教師對極限思想的價值認(rèn)識不足，缺少滲透極限思想的教學(xué)設(shè)計，數(shù)學(xué)極限意識的培養(yǎng)痕跡淡薄.

如何在小學(xué)生的頭腦中播種下極限思想的“種子”，讓其生根、發(fā)芽，為今后長成數(shù)學(xué)知識的大樹打下堅實的基礎(chǔ)，筆者認(rèn)為必須以課堂教學(xué)為主線，瞄準(zhǔn)數(shù)學(xué)極限思想展開課堂教學(xué)活動，并且向課外延伸.下面，筆者根據(jù)自己所在的鄉(xiāng)村學(xué)校特點，以課堂教學(xué)為背景，談一談在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中滲透極限思想的幾點策略.

一、建立無限觀念

首先，什么是“極限”?簡單地說，就是一個變化著的量，在其變化過程中無限趨近于一個固定的數(shù)值，我們就把這個固定的數(shù)值稱為變化的量在其變化過程中的極限.極限是用以描述變化的量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)的概念.

極限的含義中有兩個關(guān)鍵詞:一是無限量，二是固定值.因此，要讓學(xué)生接受極限思想，首先要幫助學(xué)生建立無限的觀念.

1.在數(shù)與代數(shù)中建立無限觀念

在學(xué)習(xí)四年級下冊億以上數(shù)的認(rèn)識時，學(xué)生認(rèn)識了億，教師出示數(shù)位表后提問“”

追問：為什么億級前面還有省略？

生：還有比億位大的數(shù).

師：億已經(jīng)特別大了，還會有比它大的數(shù)？我們來做一個游戲，請一位同學(xué)先寫一個較大的數(shù)，下一個同學(xué)要寫一個比他大的數(shù)，看看能不能找出最大的自然數(shù).

通過游戲，讓學(xué)生明白：億雖然是一個很大數(shù)，但它仍然是有限的，比億更大的數(shù)有很多，你想象有多大就有多大.自然數(shù)從0開始，后面的數(shù)總比前面的數(shù)多1，一個一個地數(shù)，總也數(shù)不完，因此說“自然數(shù)的個數(shù)是無限的，沒有最大的自然數(shù)”.這樣，在數(shù)的認(rèn)識中初步建立起無限的觀念.

在除法的教學(xué)中，除了讓學(xué)生充分理解算理，掌握算法外，還可以有機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生體會有限與無限的思想.兩個數(shù)相除，如果不能得到整數(shù)商，所得的商會有兩種情況.一種情況是商的小數(shù)的位數(shù)是有限的；另一種情況，我們要提供感性材料，讓學(xué)生多算幾步，充分感知“除不盡”的新情況.然后引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察小數(shù)部分?jǐn)?shù)字排列的規(guī)律，得到:商從某位起出現(xiàn)一個數(shù)字或幾個數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn).“不斷重復(fù)出現(xiàn)”表示什么意思?由此引出循環(huán)小數(shù)的概念.以前學(xué)生對小數(shù)概念的認(rèn)識僅限于有限小數(shù)，學(xué)習(xí)了循環(huán)小數(shù)以后，小數(shù)概念的內(nèi)涵進(jìn)一步擴(kuò)展了，循環(huán)小數(shù)就是一種無限小數(shù)，讓學(xué)生體會到了無限的思想.

在我們教材中，還有許多知識涉及數(shù)量無限多的情況，如:年月日的認(rèn)識、 小數(shù)的意義、分?jǐn)?shù)的意義、因數(shù)與倍數(shù)等知識中都蘊(yùn)含著無限思想的影子.

2.在認(rèn)識圖形的教學(xué)中建立無限的觀念.

在認(rèn)識圖形時也可以滲透有限與無限的思想.例如在教學(xué)線段、直線、射線的認(rèn)識時，讓學(xué)生聯(lián)系實際，充分體驗，建立對線段、直線、射線的一影象.

如何用有限長度的線段表示無限長度的直線，是學(xué)習(xí)的一個難點.在學(xué)生了解了線段、射線、直線的概念后，讓學(xué)生在作業(yè)本上畫出線段，再讓他們把線段的一端往前不斷延伸，直觀感受無限的“概念”.

但是在實際生活中學(xué)生很難找到直線的具體實例.射線和直線都是為了深人研究，在頭腦中想象出來的一種“線”.讓我們閉上眼睛-起想象一下射線，一條線段向一端無限延長，延長，再延長……一直不斷延長下去.那直線呢，繼續(xù)想象一條線段向兩端無限延長，延長，再延長……一直不斷延長下去.我們需要讓學(xué)生合理想象，感悟極限，調(diào)動多感官參與“無限”的感知中.

在《角的認(rèn)識》學(xué)習(xí)中，體會角的兩邊延伸的特性，通過學(xué)習(xí)直線的位置關(guān)系，感知平行線也、是一種無限的量，體會無限.在教學(xué)過程中，我們要充分利用好教材，在傳授探索新知的過程中，潤物細(xì)無聲的滲透無限概念.

二、感悟極限思想

極限的概念很抽象，要通過具體的案例，在應(yīng)用極限思想解決某些“無限”問題的過程中來感悟極限思想.

1.在新知學(xué)習(xí)中感悟極限思想

在《圓的面積》一課教學(xué)中，筆者沒有選用書中將圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形的方法，而是讓學(xué)生追尋古人的足跡進(jìn)行摸索.讓學(xué)生不斷對折手中的圓紙片，隨著折疊的次數(shù)越多，圓被等分的份數(shù)也越多，學(xué)生發(fā)現(xiàn)所得到的圖形越接近于三角形，啟發(fā)學(xué)生可以把圓等分成若干個三角形來計算面積.

同時，在多媒體出示魏晉時代的數(shù)學(xué)家劉微在其《九章算術(shù)注》中應(yīng)用“割圓術(shù)”得到圓的半周長與半徑之積等于圓的面積，劉微在描述這種作法時說“制之彌細(xì)，所失彌少，制之又制，以至不可制，則與圓周合體而無所失奧”.讓學(xué)生了解極限思想的產(chǎn)生和應(yīng)用，可追溯到古代.

接著讓學(xué)生利用割圓術(shù)推導(dǎo)圓的面積公式，先從圓的內(nèi)接正六邊形面積算起，接著研究正八邊形面積，正十邊形面積，正十二邊形面積，多媒體展示正多邊形的邊數(shù)越來越多，正多邊形就越來越接近圓.

現(xiàn)代多媒體手段能很好的化抽象為直觀，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想與方法.圓的面積是學(xué)生第一次接觸曲線圖形的面積，如何讓學(xué)生感悟和體會“化曲為直”和“極限”的數(shù)學(xué)思想呢?教師設(shè)計了跟隨古人的足跡，結(jié)合現(xiàn)代化的教學(xué)手段，出示圓內(nèi)接正六邊形，接著是正八邊形，隨著電腦展示多邊形的邊數(shù)越多這個正多邊形就越接近圓，最后把幾種正多邊形進(jìn)行對比，對比之后，教師引導(dǎo)學(xué)生討論:是什么原因使最后的正多邊形最像圓呢?讓學(xué)生在觀察、想象中感悟“化曲為直”和“極限”的數(shù)學(xué)思想，課后讓學(xué)生思考是否還有別的推導(dǎo)方法，讓學(xué)生利用課堂所學(xué)極限思想，把圓剪拼成長方形，推導(dǎo)公式.

在小學(xué)階段如圓的面積、圓柱的體積等公式的推導(dǎo)過程都體現(xiàn)了化曲為直、化圓為方的極限思想，在通過有限分割拼合的變化趨勢，想象它們無限分割的最終結(jié)果，既讓學(xué)生掌握了計算公式又萌發(fā)了無限逼近的極限思想.由于受年齡特征的制約，小學(xué)生對極限思想不會有深刻的理解，但這并不等于我們教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以淡化對極限思想的滲透，相反應(yīng)該抓住一切可以利用的契機(jī)加以滲透，為他們形成數(shù)學(xué)思想提高抽象思維能力以至將來學(xué)習(xí)極限知識奠定基礎(chǔ).

2.在練習(xí)中感悟極限思想

六年級下冊《數(shù)的認(rèn)識》總復(fù)習(xí)中有一到題目：

在括號里填適當(dāng)?shù)臄?shù).

(1)0.9，0.99,0.999，( ),( )……

上面兩組數(shù)分別會越來越接近幾?

極限思想的滲透是一個螺旋式的上升的過程，作為教師，我們應(yīng)當(dāng)有足夠的耐心和信心，立足課堂，有選擇地、有針對性地、適時地對學(xué)生進(jìn)行極限思想的滲透，為其今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)播種下希望之芽.