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    組合緊相連 拆分互轉(zhuǎn)換
    ——對(duì)2020年一道“走樣”高考試題剖析

    2021-10-21 00:27:24楊偉達(dá)
    數(shù)理化解題研究 2021年28期
    關(guān)鍵詞:走樣線(xiàn)面三棱錐

    楊偉達(dá)

    (廣東省廣州市花都區(qū)第二中學(xué) 510800)

    一、題目再現(xiàn)

    圖1

    (1)證明:PA⊥平面PBC;

    (2)求二面角B-PC-E的余弦值.

    考點(diǎn)分析本題考查了線(xiàn)面垂直的證明及二面角的大小. 知識(shí)考點(diǎn)覆蓋了立體幾何的核心知識(shí).包括圓錐定義、性質(zhì)、正三棱錐、線(xiàn)面垂直判定及二面角大小等;從思想方法和數(shù)學(xué)素養(yǎng)層面看,需要具備較高的直觀想象、邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸、運(yùn)算求解、數(shù)形結(jié)合等,同時(shí)還需要學(xué)生穩(wěn)定的心理素質(zhì).

    二、思路探究及解答過(guò)程

    1.題目已知條件是什么?結(jié)論是什么?并在圖中作標(biāo)注

    一個(gè)圖中圖即圓錐里面套著一個(gè)正三棱錐.第(1)問(wèn)是證明線(xiàn)面垂直;第(2)問(wèn)是求二面角大小.本題涉及圓錐、正三棱錐、圓內(nèi)接等邊三角形、圓錐母線(xiàn)與圓直徑相等、圓錐和三棱錐高的數(shù)量關(guān)系,分別標(biāo)注于幾何體中.

    2.常見(jiàn)相關(guān)類(lèi)型題目及解題思路

    有關(guān)線(xiàn)面垂直的判定定理其實(shí)就是在平面內(nèi)找兩條相交垂線(xiàn),關(guān)鍵是證明線(xiàn)線(xiàn)垂直;有關(guān)求二面角大小常見(jiàn)方法是建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算求法向量,用數(shù)量積求解即可,這是教師常見(jiàn)的固化思維.

    3.思維障礙

    觀察圖形,本題線(xiàn)條比較多,容易產(chǎn)生錯(cuò)覺(jué),不少學(xué)生比較陌生,圖形轉(zhuǎn)換困難.原因是不會(huì)利用圖形轉(zhuǎn)換,導(dǎo)致線(xiàn)線(xiàn)垂直沒(méi)有經(jīng)過(guò)詳細(xì)的推理證明,沒(méi)有求出相關(guān)數(shù)值,也沒(méi)有勾股定理的身影,從而不少學(xué)生想當(dāng)然認(rèn)為空間中兩條直線(xiàn)垂直;其次第二問(wèn)需要建立空間直角坐標(biāo)系時(shí),點(diǎn)P,B,C,E的坐標(biāo)很關(guān)鍵、求法向量運(yùn)算容易出錯(cuò).

    分析解決此問(wèn)題,最好的辦法就是對(duì)幾何體分割,拆分成圓錐和正三棱錐.第(1)問(wèn):幾何體之間要進(jìn)行圖形交互轉(zhuǎn)換,分別求出各元素的值,利用勾股定理即可證明PA⊥PC,PA⊥PB,進(jìn)而得證;第(2)問(wèn):根據(jù)題目的條件,選擇適當(dāng)?shù)膞軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面PBC及平面PCE的法向量,利用向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可.

    圖2

    三、解題后反思

    在教學(xué)中,立體幾何試題一直被認(rèn)為必得分題!圍繞平行、垂直的高考題歷來(lái)根深蒂固,但是從來(lái)沒(méi)有出現(xiàn)一模一樣的高考題!“??汲P?、年年考年年新”是高考題的顯著特點(diǎn)!如何圍繞平行、垂直做文章,如何走出這種固有思維?一直是許多教育工作者的期待!也是命題專(zhuān)家的良苦用心!而今年這種“走樣”高考題很接地氣,給師生一種“傳統(tǒng)而富有新意”的感覺(jué).對(duì)不少考生來(lái)說(shuō):“熟悉而不陌生、新穎而不陳舊、容易而難滿(mǎn)分”.

    走樣之一考查內(nèi)容不一樣.圖中圖,傳統(tǒng)中有新意.傳統(tǒng)的是:熟悉的背景(圓錐和正三棱錐),試題設(shè)問(wèn)部分沒(méi)有變化.第一問(wèn)論證部分,強(qiáng)調(diào)邏輯證明,突顯邏輯推理;第二問(wèn)求值部分,強(qiáng)調(diào)空間向量,突顯運(yùn)算求解.新意在于圖中圖,像這種圓錐套正三棱錐的幾何體往往很少見(jiàn)到.考查圓錐的內(nèi)容不一樣,以往考查往往專(zhuān)注于考查圓錐的體積、面積、三視圖、展開(kāi)圖,而這次考查了圓錐的定義、性質(zhì)(柱垂直于底面,圓錐母線(xiàn)都相等),來(lái)自圓錐最原始的概念、最基本的老祖宗.這是命題專(zhuān)家命制幾何試題的初心和使命,也是一次突破和創(chuàng)新.簡(jiǎn)單而不復(fù)雜,再次見(jiàn)證幾何的味道!

    走樣之二考查題型不一樣.按照往年的慣例,組合體一般分布在選擇題或填空題中.而今年出人意料的是:這次組合體出現(xiàn)在解答題中;其次考查組合體內(nèi)容也不同,按照以往經(jīng)驗(yàn),與球有關(guān)的組合體出現(xiàn)的概率比較常見(jiàn),或者多見(jiàn)于與柱體有關(guān)的組合體,而這次圓錐里面套著正三棱錐實(shí)屬不多見(jiàn),圖形常見(jiàn)而新穎,它們都藴含著特殊圖形.如直角三角形及等邊三角形.

    走樣之三直觀視覺(jué)不一樣.注重幾何基礎(chǔ),突顯直觀想象.所謂幾何直觀就是依托圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和想象,其實(shí)就是一種通過(guò)圖形所展開(kāi)的想象能力.它往往需要邏輯支撐,把看到的與學(xué)到的結(jié)合起來(lái),通過(guò)思考、想象,猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路.與往年高考立體幾何試題不同的是,今年高考立體幾何題是組合體,圖中圖、線(xiàn)條多,涉及元素復(fù)雜,容易造成“眼花”,這是命題專(zhuān)家們考查學(xué)生在幾何直觀素養(yǎng)方面的一大杰作.為避免看走眼,產(chǎn)生圖形錯(cuò)覺(jué),最可行的辦法最好就是分割!分拆成圓錐和正三棱錐.比對(duì)兩個(gè)圖形,逐一找出相同的量和不同的量,分別算出各自所需的值,最終還原到組合體中.下面是對(duì)今年高考立體幾何試題分割后的圖形比對(duì).

    注重觀察比對(duì),突顯轉(zhuǎn)化和化歸.通過(guò)圖3觀察,比對(duì)圖形,在三個(gè)圖形之間交互轉(zhuǎn)換,以便尋找相同元素,區(qū)別出不同元素,逐一計(jì)算并標(biāo)注,得出所需的數(shù)值,最終還原到組合體中,達(dá)到快速解題.

    圖3

    當(dāng)前,在大力倡導(dǎo)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的背景下,試題的背景或形式發(fā)生改變,而主心骨并沒(méi)有變!所以教師在教學(xué)中如何抓住主心骨?讓學(xué)生會(huì)思考,會(huì)解題,解對(duì)題!這將引領(lǐng)我們向更深層次的思考,從而更好地提高教學(xué)質(zhì)量.

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