賞析一道新高考壓軸題及其解法

廖永福 林永志

(1.福建省廈門第二中學(xué) 361009；2.福建省仙游縣榜頭于潔小學(xué) 351256)

這是2020年山東省新高考數(shù)學(xué)填空壓軸題，也是一道立體幾何中的軌跡問題.題目簡短無圖，中規(guī)中矩，但包含的信息量較大，考查的知識點(diǎn)較多.平淡中還暗藏玄機(jī)，有一定的難度，屬中檔題.

本題考查直棱柱的結(jié)構(gòu)特征、直線與平面垂直的判定和性質(zhì)、扇形的弧長公式；考查作圖和計(jì)算能力、推理論證和空間想象能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等.

解答此題除了必要的知識儲(chǔ)備外，正確作圖、準(zhǔn)確理解題意也是重要的一環(huán)，有些考生把球面與側(cè)面BCC1B1的交線誤解成球面與平面BCC1B1的交線，結(jié)果前功盡棄.下面給出這道題的四種解法，希望能夠起到拋磚引玉的作用.

解法一利用圓的定義解題

圖1

如圖，設(shè)E、F、G分別是棱B1C1、BB1、CC1的中點(diǎn)，連結(jié)D1E、EF、EG.

又四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1為直四棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥D1E.

因?yàn)锽B1∩B1C1=B1，所以D1E⊥側(cè)面BCC1B1.

設(shè)P為球面與側(cè)面BCC1B1交線上的任一點(diǎn)，連結(jié)D1P、EP，則D1E⊥EP.

因?yàn)椤螧1EF=∠C1EG=450，所以∠FEG=900.

解法二利用球的截面的性質(zhì)解題

圖2 圖3

解法三通過建立平面直角坐標(biāo)系解題

圖4 圖5

如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則E(1,2)，設(shè)P(x,y)為球面與平面BCC1B1交線上的任一點(diǎn)，連結(jié)D1P、EP，易得D1E⊥EP，所以|D1E|2+|EP|2=|D1P|2.

解法四利用向量的性質(zhì)解題

圖6 圖7

解法二緊扣球的截面的性質(zhì)，首先明確球面與平面BCC1B1的交線是球的小圓，小圓圓心是球心D1在平面BCC1B1內(nèi)的射影，即棱B1C1的中點(diǎn)E，根據(jù)小圓半徑、球半徑以及面心距之間的關(guān)系，求出小圓半徑，進(jìn)而解決問題. 此法大道至簡、大巧若拙，是最本質(zhì)的一種解法.

解法三通過建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)球面與平面BCC1B1交線上的點(diǎn)所應(yīng)滿足的等量關(guān)系，求出交線的方程，進(jìn)而解決問題，這是幾何問題代數(shù)化常用的一種方法.

解法四巧妙地引進(jìn)向量，利用向量模的性質(zhì)得到球面與平面BCC1B1交線的方程，此法算是博采了代數(shù)和幾何的精華，過程簡潔明了、曲徑通幽．

上述四種解法各有千秋，又聯(lián)系緊密，它們都是解決立體幾何軌跡問題的常用方法.可以看出，解答這類問題的關(guān)鍵是要善于把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何、解析幾何以及空間向量等知識求解.