如何解答高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)

汪秀峰

(安徽省桐城市第八中學(xué) 231400)

為使學(xué)生更好的解答抽象函數(shù)習(xí)題，應(yīng)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到即便不知道函數(shù)的具體表達(dá)式，也能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)研究其性質(zhì)，樹立能夠順利突破抽象函數(shù)習(xí)題的信念.同時(shí)，與學(xué)生一起剖析經(jīng)典的抽象函數(shù)習(xí)題，不斷的拓展其視野，豐富其解題經(jīng)驗(yàn).

一、聯(lián)系函數(shù)模型解題

解答部分抽象函數(shù)習(xí)題可聯(lián)系所學(xué)的函數(shù)模型，化抽象為具體.教學(xué)中應(yīng)注重為學(xué)生深入的剖析所學(xué)的函數(shù)模型，使學(xué)生把握相關(guān)函數(shù)模型的特點(diǎn).如遇到“f(x+y)=f(x)+f(y)”應(yīng)聯(lián)系一次函數(shù)y=kx；遇到“f(x+y)=f(x)f(y)”應(yīng)聯(lián)系指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)；遇到“f(xy)=f(x)+f(y)”應(yīng)聯(lián)系對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1).如下題：

已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，f(1)=-2，則以下說法正確的是( ).

A.①③ B.①② C.①②③ D.①②③④

二、通過變量賦值解題

為更好的掌握抽象函數(shù)性質(zhì)，遇到題干中給出的函數(shù)關(guān)系較為復(fù)雜時(shí)可考慮通過賦值進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化，更好地揭示出函數(shù)的本質(zhì).如通過賦值可推導(dǎo)出抽象函數(shù)的奇偶性、周期性，在此基礎(chǔ)上結(jié)合解題經(jīng)驗(yàn)以及題干中給出的已知條件可迅速破題.如下題：

已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的x∈R均滿足f(x+2)-f(x)=f(1)，若函數(shù)y=f(x+2)的圖象關(guān)于x=-2對(duì)稱，且f(0)=8，則f(99)+f(100)的值為( ).

A.2 B.4 C.6 D.8

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)題干中“函數(shù)y=f(x+2)的圖象關(guān)于x=-2對(duì)稱”間接的給出了函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，而后通過賦值推出函數(shù)的周期.

∵函數(shù)y=f(x+2)的圖象關(guān)于x=-2對(duì)稱，由函數(shù)圖象平移知識(shí)可得函數(shù)f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱，為偶函數(shù).

∵f(x+2)-f(x)=f(1)，令x=-1得到：

f(1)-f(-1)=f(1)，∴f(-1)=f(1)=0，

即f(x+2)-f(x)=0，f(x)=f(x+2),

函數(shù)f(x)的周期為2，

∴f(99)=f(2×49+1)=f(1)=0，f(100)=f(2×50)=f(0)=8，

∴f(99)+f(100)=0+8=8，選擇D項(xiàng).

三、運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解題

運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解答抽象函數(shù)習(xí)題是一種重要的思路.需要注意的是需熟練函數(shù)性質(zhì)的各種數(shù)學(xué)表達(dá)關(guān)系，能夠準(zhǔn)確的識(shí)別、挖掘題干中給出的隱含條件.如怎樣用數(shù)學(xué)公式表示函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等.另外，解題時(shí)還應(yīng)注重應(yīng)用直覺思維，盡快的找到解題思路.如下題.

A.f(x)+x是單調(diào)遞減函數(shù)

B.f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)

C.不等式f(log2|3x-1|)<2-log2|3x-1|的解集為(-∞，0)∪(0，1)

D.不等式f(log2|3x-1|)<2-log2|3x-1|的解集為(-∞，1)

四、借助數(shù)形結(jié)合解題

當(dāng)解答有關(guān)抽象函數(shù)不等式問題時(shí)，應(yīng)注重聯(lián)系相關(guān)的函數(shù)圖象，直觀的揭示相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系.為保證解題結(jié)果的正確性，應(yīng)注重運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)推導(dǎo)出函數(shù)的性質(zhì)，提高畫圖精度.如下題：

A.(-1，1) B.(-∞，-1)∪(0，1)

C.(-∞，-1)∪(1，+∞) D.(-1，0)∪(1，+∞)

又∵g(1)=0，∴當(dāng)00；

當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0，而lnx>0，∴f(x)>0；

又∵函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，在x<-1，-1

圖1

本文給出了解答高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)問題的四種方法.為使學(xué)生更好的掌握，應(yīng)鼓勵(lì)其做好相關(guān)知識(shí)的匯總與整理，把握不同解題方法的適用題型，認(rèn)真揣摩習(xí)題的破題思路、解題過程.同時(shí)要求其在課下及時(shí)加以針對(duì)性的練習(xí)，并做好練習(xí)的總結(jié)與反思，真正的理解與掌握，實(shí)現(xiàn)靈活應(yīng)用.