數(shù)列綜合問(wèn)題的題型及其解法

劉 成

(江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215000)

一、與不等式相關(guān)的數(shù)列綜合問(wèn)題

數(shù)列和不等式的綜合性問(wèn)題，一般都會(huì)用求最值的形式對(duì)學(xué)生進(jìn)行考察.解答這類(lèi)問(wèn)題首先要處理Sn和an之間的關(guān)系式，根據(jù)題意考慮是將Sn往an轉(zhuǎn)化，如Sn-Sn-1=an，還是把a(bǔ)n向Sn轉(zhuǎn)化，如a1+…+an=Sn；其次還要學(xué)會(huì)求解不等式，通過(guò)求解不等式求出最后答案.如例1所示.

例1設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=3，當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn+Sn-1-2SnSn-1=2nan，則使得S1S2…Sm≥2019成立的正整數(shù)m的最小值為_(kāi)___.

解∵Sn+Sn-1-2SnSn-1=2nan(n≥2)，

∴Sn+Sn-1-2SnSn-1=2n(Sn-Sn-1)(n≥2)，

∴(2n+1)Sn-1-(2n-1)Sn=2SnSn-1(n≥2)，

∴數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，bn=2n-1，

∴m≥1009.

思考該題求參數(shù)m的最值，是一道既考察不等式又考察數(shù)列的綜合性問(wèn)題.其中所解不等式含有參量Sn，首先要找到Sn與an之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，再對(duì)問(wèn)題中的不等式進(jìn)行求解，即可求到最終答案.

二、與三角函數(shù)相關(guān)的數(shù)列綜合問(wèn)題

數(shù)列和三角函數(shù)相互交匯的綜合性問(wèn)題并不少見(jiàn)，解答該類(lèi)型問(wèn)題首先是靈活運(yùn)用正余弦定理，得到三角形中邊角的關(guān)系，其次是對(duì)數(shù)列公式的巧妙運(yùn)用，如等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，最后針對(duì)求解得到的數(shù)列通項(xiàng)特點(diǎn)，運(yùn)用裂項(xiàng)相消、分組求和等方法求解綜合問(wèn)題，從而得到最后答案.如例2所示.

∵a1sinA=1，

∵a2,a4,a8是等比數(shù)列，

∴d2=2d，

∵d≠0，∴d=2，數(shù)列an=2n，

三、與函數(shù)相關(guān)的數(shù)列綜合問(wèn)題

數(shù)列和函數(shù)交叉綜合出題，既可以對(duì)函數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察，也可以對(duì)數(shù)列有關(guān)知識(shí)進(jìn)行考核.解答該類(lèi)綜合問(wèn)題時(shí)，首先根據(jù)問(wèn)題利用相對(duì)應(yīng)的函數(shù)知識(shí)點(diǎn)求解，得到其中的an或Sn，如求函數(shù)極值點(diǎn)，則對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得f′(x)，令f′(x)=0可知其函數(shù)極值點(diǎn)，其次對(duì)數(shù)列進(jìn)行整合，通常會(huì)借助函數(shù)求數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和，具體解題步驟如例3所示.

通過(guò)上述三種不同解題方法，同學(xué)們可以更加全面地了解如何求解數(shù)列求和問(wèn)題，倒序相加、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消都能夠有效解答數(shù)列求和問(wèn)題.因此同學(xué)們應(yīng)該善于從平常試題中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)方法，明確解題思路的方向，從而提升解題效率.