搭建勻速圓周運(yùn)動(dòng)中向心加速度教學(xué)支架的探討

趙小玲 趙強(qiáng)

摘 要：在勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知困難，從構(gòu)建有助于問題解決的模型的視角，探討了借助于教學(xué)輔助軟件時(shí)，針對(duì)微元法的不足，使用類比法來進(jìn)行替代，并結(jié)合圓錐擺作為應(yīng)用案例對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，從而為搭建適合于課堂教學(xué)的有效教學(xué)支架提供了可行的方案.

關(guān)鍵詞：向心加速度;學(xué)習(xí)障礙;教學(xué)支架

中圖分類號(hào)：G633.7???? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B???? 文章編號(hào)：1008-4134（2021）19-0040-02

作者簡(jiǎn)介：趙小玲（1995-），女，重慶人，碩士研究生，研究方向：中學(xué)物理教學(xué);

通訊作者：趙強(qiáng)（1972-），男，新疆奇臺(tái)人，博士，副研究員，研究方向：物理學(xué)科教學(xué).

在勻速圓周運(yùn)動(dòng)教學(xué)中， 如何引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建向心加速度的概念是關(guān)鍵所在， 此時(shí)， 應(yīng)用合理的教學(xué)支架被普遍認(rèn)為是事半功倍的解決途徑.鑒于科學(xué)模型及其構(gòu)建被廣泛認(rèn)為是科學(xué)的核心實(shí)踐活動(dòng)和基本技能， 在教學(xué)中具有重要作用[1].同時(shí)，研究結(jié)果表明， 在教學(xué)過程中，與已有的知識(shí)之間建立關(guān)聯(lián)，并且編碼過程富有意義，將會(huì)有利于有效地激活先驗(yàn)圖式和實(shí)現(xiàn)相關(guān)記憶的激活擴(kuò)散，從而可以實(shí)現(xiàn)教學(xué)效果的改善[2-4].為此， 本文將基于如何構(gòu)建有助于問題解決的模型及其構(gòu)建的視角， 結(jié)合對(duì)微元法、r-v-a類比法和圓錐擺實(shí)驗(yàn)的分析和應(yīng)用，探討勻速圓周運(yùn)動(dòng)中向心加速度的教學(xué)支架構(gòu)建.

教學(xué)中的建模過程按順序可以簡(jiǎn)化為三個(gè)主要環(huán)節(jié)（見表1）： 錨定問題、模型構(gòu)建、評(píng)價(jià)模型，三個(gè)環(huán)節(jié)可以循環(huán)進(jìn)行直到得出滿意的結(jié)果.本文將沿此過程進(jìn)行探討.

1 錨定問題

在學(xué)習(xí)勻速圓周運(yùn)動(dòng)之前，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有速度、加速度等概念處于上位結(jié)構(gòu)，明白速度和加速度的矢量屬性和相互關(guān)系.在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中， 由于線速度的大小不變而方向連續(xù)均勻地改變， 所以問題的核心就是確定導(dǎo)致物體運(yùn)動(dòng)線速度方向發(fā)生變化的加速度的大小和方向.

若將加速度沿線速度方向和與線速度垂直的指向圓心的方向進(jìn)行分解， 那么， 因?yàn)榫€速度的大小不變， 可判斷出加速度在線速度方向的分量為0， 所以可以得出加速度的方向始終指向圓心， 方向也是以周期T均勻連續(xù)地變化， 且大小不變.這一推論也可以通過常見的實(shí)例（例如帶墨水的旋轉(zhuǎn)圓盤在周邊濺出的墨跡）得到證明.

因此， 問題被錨定為如何確定加速度的大小.

2 構(gòu)建和評(píng)價(jià)模型

2.1 微元法

微元法是目前分析勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度較為普遍的方法，在此不予贅述.然而，由于在分析過程中需要進(jìn)行近似處理和使用極限的概念，對(duì)于中學(xué)生來說，即使借助于輔助軟件（如Geogebra、幾何畫板 等）動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)過程，也會(huì)由于學(xué)生思維能力發(fā)展的局限和相關(guān)基礎(chǔ)方法掌握的不足，導(dǎo)致很難完全消除對(duì)結(jié)果的懷疑.事實(shí)上，部分大學(xué)生在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了微積分后也仍然存在類似的疑惑.因此，需要尋找其他方法來進(jìn)行補(bǔ)充或替代.

2.2 r-v-a類比法

針對(duì)微元法在教學(xué)效果方面的局限性，接下來討論的“r-v-a類比法”是一種不錯(cuò)的補(bǔ)充或替代方法（強(qiáng)調(diào)與其他類比法不同，本文將此方法稱為r-v-a類比法）.

為了輔助學(xué)生進(jìn)行空間思維，我們使用Geogebra軟件構(gòu)建了如圖1所示的動(dòng)態(tài)分析模型.質(zhì)點(diǎn)Q相對(duì)于點(diǎn)O的位移為r，并以速度v繞點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng).另外，為了分析的方便，同時(shí)將速度v和加速度a的關(guān)系在右圖中給予同步展示.

基于前面錨定問題時(shí)的分析，可知r、v、a均以相同的角速度旋轉(zhuǎn)，并且，若以Q為參考點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)a與v間的關(guān)系在數(shù)學(xué)上和v與r間的關(guān)系類似.因?yàn)関描述的是位移r的瞬時(shí)變化，a描述的是速度v的瞬時(shí)變化，所以v/r=a/v，也就是

a=v2r①

對(duì)這一類比過程如果感覺跨度過大，可以使用更加淺顯的方式.如圖1的右圖所示，假設(shè)Q點(diǎn)位于一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心且半徑為r的圓盤的邊緣，同時(shí)帶動(dòng)一根細(xì)線沿Q點(diǎn)的軌跡進(jìn)行纏繞，并且該細(xì)線始終在靜止的點(diǎn)B所示的位置與圓盤相切，那么B點(diǎn)下方的細(xì)線的速度為v，Q旋轉(zhuǎn)一周纏繞的細(xì)線長(zhǎng)度為2πr，也就是Q點(diǎn)經(jīng)過的路程為vT，因此可以得出 v=2πr/T.同理可推導(dǎo)出向心加速度、線速度、周期的關(guān)系：aT=2πv.亦可得出式①.

類比過程由表2給出.可知，此類比法比微元法更直觀明確，可以取代微元法或者進(jìn)行補(bǔ)充.

2.3 圓錐擺實(shí)驗(yàn)

為了對(duì)前面推導(dǎo)的結(jié)果在課堂教學(xué)中進(jìn)行驗(yàn)證，圓錐擺是一個(gè)非常好的教學(xué)實(shí)踐案例[5，6].實(shí)驗(yàn)示意圖由圖2給出，質(zhì)量為m的實(shí)心鋼質(zhì)小球Q通過一根彈性和質(zhì)量均可忽略的長(zhǎng)度為l 的細(xì)線懸掛在轉(zhuǎn)軸O的底端.從理論分析的角度，若角速度ω不大，可忽略空氣阻力等次要因素，使用理想物理模型來進(jìn)行分析.

對(duì)小球Q進(jìn)行受力分析，可知ma等于小球受細(xì)線的拉力F和小球的重力mg的合力，因此，小球Q的加速度a的方向指向圓心.并且，由小球Q做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v=ωr，依據(jù)式①，可得加速度a的大小為

a=ω2r ②

由①和②式，有

ma=mgtanθ=mgrh ③

可得出

ω2=g/h ④

可知，只要驗(yàn)證式④成立即可驗(yàn)證式①，也就是驗(yàn)證了前面對(duì)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分析推理.

在課堂教學(xué)中，我們?cè)谕瓿缮鲜龇治龊屯评碇?，播放課前錄制的圓錐擺實(shí)驗(yàn)視頻，對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行展示，然后借助Tracker軟件便捷地、直觀地對(duì)視頻進(jìn)行數(shù)據(jù)提取和分析，驗(yàn)證了式④的正確性[6]，很好地實(shí)現(xiàn)了教學(xué)支架效果.

3 結(jié)束語(yǔ)

在勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的教學(xué)中，從有助于問題解決的模型構(gòu)建的角度，使用r-v-a類比法可以很好地對(duì)微元法進(jìn)行替代或補(bǔ)充，同時(shí)采用圓錐擺作為模型的應(yīng)用和評(píng)價(jià)的實(shí)踐案例，可以為課堂教學(xué)搭建很好的教學(xué)支架.

參考文獻(xiàn)：

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（收稿日期：2021-06-17）