高速鐵路輪軌垂向力與軌道高低不平順關(guān)聯(lián)特性

牛留斌

（中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 基礎(chǔ)設(shè)施檢測研究所，北京 100081）

良好的軌道平順性是車輛安全運(yùn)行的前提，不良的軌道狀態(tài)會(huì)導(dǎo)致輪軌間產(chǎn)生異常作用力，較大的輪軌力引起車輛-軌道系統(tǒng)強(qiáng)烈振動(dòng)沖擊和疲勞損傷，降低車輛運(yùn)行安全。作為輔助評(píng)價(jià)軌道服役狀態(tài)的重要參數(shù)，國內(nèi)外鐵路機(jī)構(gòu)采用測力輪對技術(shù)實(shí)時(shí)測量輪軌間的作用力［1-3］，評(píng)估車輛運(yùn)行安全風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，為軌道線路的養(yǎng)護(hù)維修提供參考依據(jù)。

輪軌力是輪軌耦合作用最直接的結(jié)果，其大小受到車輛、軌道、輪軌接觸狀態(tài)等多種因素的影響，如軌道高低不平順、車輪型面磨耗狀態(tài)［4］、踏面不圓順度［5］、道岔區(qū)結(jié)構(gòu)［6］、軌道支撐剛度［7］、道床剛度突變［8］和輪軌之間的摩擦系數(shù)［9］等。作為車輛-軌道系統(tǒng)的主要激擾源，軌道不平順是引起輪軌力變化的重要因素。以軌道不平順作為軌道-車輛系統(tǒng)的輸入量，研究軌道不平順引起的輪軌力、行車安全、車輛振動(dòng)狀態(tài)之間關(guān)系的課題相對較多，如Choi 等［10］采用VAMPIR 軟件，仿真研究直線段軌道高低、水平、軌向等軌道不平順引起的輪軌力波形變化特征和運(yùn)行安全的影響；Steenbergen［11］采用有限單元方法和Timoshenko梁軌道模型，研究焊接接頭處軌道短波不平順與輪軌力響應(yīng)之間的時(shí)頻分布特征；Seo 等［12］采用商業(yè)軟件建立三維有限元模型，仿真計(jì)算軌頂塌陷深度、軌面裂紋長度等軌道狀態(tài)條件下的輪軌力響應(yīng)與發(fā)展趨勢，并討論牽引力與制動(dòng)力對軌面裂紋發(fā)展速度的影響；Pombo 和Naeimi［13-14］等采用多體動(dòng)力學(xué)軟件與輪軌耦合動(dòng)力學(xué)理論，仿真研究小曲線超高、水平不平順等軌道因素對車輛運(yùn)行安全的影響規(guī)律及相應(yīng)輪軌力變化特點(diǎn)；Tanaka 等［15］采用系統(tǒng)辨識(shí)與數(shù)據(jù)建模方法，利用傳遞函數(shù)和10 m弦測軌道高低不平順數(shù)據(jù)反演輪軌垂向力和軸箱加速度；Gullers 等［16］采用實(shí)測輪軌力數(shù)據(jù)對軌道幾何不平順和軌道剛度變化地段進(jìn)行狀態(tài)評(píng)價(jià)和現(xiàn)場復(fù)核，總結(jié)軌道狀態(tài)與輪軌力波形之間的對應(yīng)關(guān)系。軌道高低不平順與輪軌垂向力之間關(guān)聯(lián)特性一直是輪軌關(guān)系的研究重點(diǎn)，波長和幅值是軌道高低不平順的主要特征參數(shù)，上述文獻(xiàn)側(cè)重研究了軌道不平順幅值、變化梯度等與輪軌力之間的對應(yīng)關(guān)系，而波長與車輛動(dòng)力性能方面的研究側(cè)重于車輛敏感波長［17-18］分布特征和軌道長波不平順管理限值建議，對輪軌耦合作用下軌道高低不平順波長與輪軌垂向力關(guān)聯(lián)關(guān)系的研究相對較少，二者關(guān)系的深化研究有助于掌握波長特性激勵(lì)的輪軌動(dòng)力學(xué)行為，完善軌道不平順波長管理體系。

本文以我國高鐵線路和典型服役車輛參數(shù)建立三維輪軌接觸有限元模型，分析高速條件下軌道高低不平順幅值、波長與輪軌垂向力在時(shí)頻域上的關(guān)聯(lián)關(guān)系，擬合附加動(dòng)態(tài)輪軌垂向力與軌道高低不平順波長之間的函數(shù)表達(dá)式。結(jié)合以上研究，提出了利用軌道高低不平順反演附加動(dòng)態(tài)輪軌垂向力算法及算例，為我國線路精準(zhǔn)養(yǎng)護(hù)維修提供支撐依據(jù)。

1 有限元模型構(gòu)建

1.1 模型構(gòu)建

車輛在鋼軌上運(yùn)行時(shí)，輪軌間作用力可用靜輪重和附加輪軌垂向力［19］表述為

式中：F為輪軌垂向力，kN；F0為靜輪重，kN；Fdyn為軌道高低不平順引起的附加輪軌垂向力，kN。

鋼軌在輪軌垂向力F作用下產(chǎn)生彈性撓曲變形，軌道靜態(tài)高低不平順發(fā)展成軌道動(dòng)態(tài)高低不平順，軌道變形示意圖如圖1所示。

圖1 軌道在輪軌垂向力作用下變形示意圖

軌道高低不平順激勵(lì)下輪軌三維有限元模型結(jié)構(gòu)簡圖如圖2 所示。圖中，坐標(biāo)系原點(diǎn)位于前輪軌接觸O點(diǎn)位置，輪對運(yùn)行方向?yàn)閦軸方向，車輛一系懸掛及以上部件簡化為剛度K1、阻尼C1的彈簧單元和質(zhì)量塊m，用等間隔的彈簧單元（剛度K2、阻尼C2）模擬扣件系統(tǒng)的支承作用，軸箱等輪對附屬部件的質(zhì)量均勻施加在輪對上，軌道板、CA砂漿層、混凝土道床和路基等統(tǒng)一簡化為基礎(chǔ)支承單元。

圖2 輪軌接觸有限元模型結(jié)構(gòu)簡圖

輪軌三維有限元模型如圖3 所示。模型中，車輪和鋼軌均采用其真實(shí)幾何尺寸，車輪踏面為LMA型，鋼軌廓形為CN60型，軌道底部設(shè)置1∶40軌底坡；軌枕間距為650 mm，由彈簧阻尼單元等效，鋼軌長度為41.6 m，包含65組等效彈簧單元，前后輪對軸距為2.5 m。為模擬輪軌接觸的真實(shí)應(yīng)變狀態(tài)，采用雙線性彈塑性本構(gòu)關(guān)系模型模擬輪軌材料的彈塑變形性能。在輪軌接觸面的法線方向采用“面-面”硬接觸算法計(jì)算輪軌法向接觸力，切線方向采用干燥條件下的輪軌相互作用狀態(tài)，且?guī)靷惸Σ料禂?shù)設(shè)為0.4。軌道端部施加面對稱約束，為減少軌道端部約束對計(jì)算結(jié)果的影響，輪對初始位置與鋼軌端部的距離不小于3 m，軌道高低不平順設(shè)置在圖2 所示的鋼軌中部ab段。為縮減有限元模型計(jì)算時(shí)間，單元網(wǎng)格尺寸與單元所在區(qū)域的關(guān)注程度有關(guān)，靠近輪軌接觸區(qū)域的網(wǎng)格尺寸較小，如在輪軌接觸面上實(shí)體單元網(wǎng)格的最小尺寸為2 mm，路基等遠(yuǎn)離輪軌接觸區(qū)域的單元網(wǎng)格尺寸較大。

圖3 輪軌三維有限元網(wǎng)格模型

為減少ABAQUS 顯式模塊在初始時(shí)刻動(dòng)態(tài)平衡求解所需的計(jì)算時(shí)間，先采用隱式模塊計(jì)算重力載荷下模型的靜平衡狀態(tài)，并將該平衡狀態(tài)作為顯式模塊計(jì)算初始時(shí)刻的邊界條件。在初始時(shí)刻輪對上施加加速度載荷，輪對到達(dá)圖2 所示鋼軌a點(diǎn)時(shí)有限元模型處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)。為減少輪軌運(yùn)行過程中輪軌間摩擦力對車輛運(yùn)行速度的影響，在車輪上施加牽引扭矩M以使輪對勻速運(yùn)行在軌道上。牽引扭矩M由輪對轉(zhuǎn)動(dòng)定理公式［19］得到，為

式中：Fz為輪軌作用力F沿車輛運(yùn)行方向即z軸方向上的分量，kN；R為輪對滾動(dòng)圓半徑，430 mm；J為輪對的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ε為輪對角加速度，車輪勻速行駛時(shí)ε=0。

在不考慮輪對橫向運(yùn)動(dòng)的前提下Fz可由下式計(jì)算。

式中：μ為牽引系數(shù)，下文取0.03。

ABAQUS 顯式模塊采用中心差分法顯式積分求解輪軌實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和接觸力，每個(gè)時(shí)間增量步結(jié)束時(shí)刻的狀態(tài)完全由該增量步開始時(shí)刻的位移、速度、加速度計(jì)算得到［20］。最大積分時(shí)間步長Δt由有限元模型最高固有頻率ωmax決定，滿足下式。

其中，

式中：ξ為輪軌系統(tǒng)的臨界阻尼比；Le為模型單元長度，mm；cd為模型材料特性決定的波速，m·s-1；E和ρ分別為材料的彈性模量和密度。

由式（4）可知，圖3 所示輪軌有限元模型中網(wǎng)格的最小尺寸為2 mm 時(shí)，最大積分時(shí)間步長Δt的數(shù)量級(jí)為10-7s。

1.2 數(shù)據(jù)處理步驟

在圖3 所示有限元模型中的鋼軌上施加軌道高低不平順，以研究其引起的輪軌垂向力變化特性。施加的軌道高低不平順來源于中國高速鐵路無砟軌道高低不平順譜樣本［21］，為

式中：f為空間角頻率，m-1；Sv(f)為軌道高低不平順譜，mm2·m；C和B為分區(qū)段擬合系數(shù)，rad·m-1，具體參數(shù)取值見表1。

表1 高速鐵路無砟軌道高低不平順譜擬合系數(shù)

通過修改鋼軌橫斷面上全部網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的方式，在圖2 中ab 段軌道模型上施加式（5）生成的軌道高低不平順樣本。施加軌道高低不平順時(shí)模型網(wǎng)格修正示意圖如圖4所示。

在圖4 中鋼軌網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)G處施加幅值為dzG的軌道高低不平順時(shí)，將原節(jié)點(diǎn)G處的坐標(biāo)（xA，yA，zA）修改為新節(jié)點(diǎn)G′處的坐標(biāo)（XG′，YG′，zG′），換算公式如下。

圖4 施加軌道高低不平順時(shí)模型網(wǎng)格修正示意圖

式中：θ為1∶40 軌道坡角度；h為鋼軌高度，CN60 型鋼軌h值為176 mm；za和zb分別為圖2 中鋼軌a點(diǎn)和b點(diǎn)截面位置處縱坐標(biāo)。

綜上，不同工況下軌道高低不平順仿真計(jì)算及數(shù)據(jù)處理步驟如下。

（1）建立輪軌三維有限元模型，在鋼軌ab段施加軌道高低不平順。

（2）隱式計(jì)算靜載荷作用下輪軌位移場，作為顯式計(jì)算時(shí)輪軌模型初始邊界狀態(tài)。

（3）施加運(yùn)行速度和牽引扭矩，顯式計(jì)算輪對經(jīng)過軌道高低不平順時(shí)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

（4）按照4 mm 間距依次讀取鋼軌ab段單元節(jié)點(diǎn)上輪軌垂向力時(shí)間歷程數(shù)據(jù)，輸出頻率為10 kHz。

（5）軌道高低不平順區(qū)段上各節(jié)點(diǎn)輪軌垂向力時(shí)間歷程數(shù)據(jù)低通濾波。

（6）修改鋼軌ab段單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，以模擬施加軌道高低不平順，仿真計(jì)算并輸出新工況下輪軌垂向力。

（7）匯總各個(gè)工況下輪軌垂向力結(jié)果，分析高低不平順波長、幅值與輪軌垂向力變化規(guī)律，趨勢擬合等。

2 模型驗(yàn)證及數(shù)據(jù)處理

除特別標(biāo)出外，圖3 所示三維有限元模型的仿真參數(shù)主要源于我國典型高鐵線路及服役車輛，取值見表2。

表2 輪軌有限元模型主要參數(shù)

車輛運(yùn)行速度為300 km·h-1且未施加軌道高低不平順時(shí)的輪軌垂向力波形如圖5 所示。由圖5可知：軌枕不連續(xù)支承作用引起輪軌垂向力在靜輪重70.3 kN 附近周期性波動(dòng)，波動(dòng)幅度為±0.5 kN，波長等于軌枕間距。

圖5 未施加軌道高低不平順時(shí)輪軌垂向力波形圖

利用式（6）將余弦型軌道高低不平順施加到圖4有限元模型中鋼軌ab段，得到軌道高低不平順波長為1.5 m、幅值為1 mm 時(shí)輪軌垂向力波形，并與文獻(xiàn)［22］在相同參數(shù)下的仿真結(jié)果進(jìn)行對比，如圖6所示。

圖6 輪軌垂向力仿真波形及對比

由圖6 可知：未施加軌道高低不平順區(qū)段內(nèi)的輪軌垂向力波動(dòng)，是由不連續(xù)的軌枕支承彈簧引起的；本文輪軌垂向力仿真波形與文獻(xiàn)［22］數(shù)值結(jié)果吻合，變化趨勢一致，驗(yàn)證了圖3 所示三維有限元模型仿真結(jié)果的正確性。

我國常規(guī)軌道高低不平順波長范圍為1.5～120.0 m［23］，但限于仿真運(yùn)算的速度和規(guī)模，下文計(jì)算了1.5～12.0 m 波長范圍內(nèi)軌道高低不平順引起的輪軌垂向力特征，波長大于12 m 的軌道高低不平順引起的輪軌垂向力由上述仿真結(jié)果擬合推理得到。輪軌垂向力數(shù)據(jù)在分析之前，先對數(shù)據(jù)進(jìn)行低通濾波處理。圖6 中輪軌垂向力大值隨低通濾波截止頻率變化的曲線如圖7 所示。由圖7 可知：當(dāng)截止頻率小于1 500 Hz時(shí)，輪軌垂向力大值隨截止頻率的增加而快速增大；當(dāng)截止頻率在1 500～2 500 Hz頻段時(shí)，輪軌垂向力大值隨截止頻率增速變緩；當(dāng)截止頻率在2 500～5 000 Hz 頻段時(shí)，輪軌垂向力大值趨于穩(wěn)定。因此，在不同高低不平順激勵(lì)的輪軌垂向力數(shù)據(jù)分析之前，先對各工況的仿真結(jié)果進(jìn)行2 500 Hz低通濾波處理。

圖7 輪軌垂向力大值隨截止頻率變化曲線

3 數(shù)值結(jié)果

按式（6）生成的中國高速鐵路無砟軌道高低不平順樣本數(shù)據(jù)如圖8所示。在仿真計(jì)算時(shí)將軌道高低不平順的幅值進(jìn)行放大而波長保持不變，以研究不同幅值軌道不平順對輪軌垂向力的變化特效。幅值放大系數(shù)（Amplitude Multiple Factor，AMF）分別為2，4，5 和8 時(shí)輪軌垂向力仿真結(jié)果如圖9所示。

圖8 中國高速鐵路無砟軌道高低不平順樣本譜

由圖9 可知，雖然放大系數(shù)AMF 由1 增至8，但輪軌垂向力波形、相位等變化趨勢相似，只是輪軌垂向力局部最值與靜輪重之間的差值增大，即輪軌垂向力波動(dòng)范圍變大。

圖9 不同AMF條件下輪軌垂向力波形

定義幅值增大倍數(shù)（Amplitude Increase Factor，AIF）為不同放大系數(shù)時(shí)仿真結(jié)果與AMF=1時(shí)的差值，不同AIF 條件下輪軌垂向力波形如圖10 所示。圖中：虛線、實(shí)線與波形相交位置的縱坐標(biāo)標(biāo)值分別為輪軌垂向力的最大值、最小值。

圖10 不同AIF條件下輪軌垂向力波形

圖10 中，不同列（從左至右、先虛線后實(shí)線順序編號(hào)）的輪軌力分別見表3和表4。

表3 輪軌垂向力局部最大值

圖9 中在AMF 為8 時(shí)，部分輪軌垂向力為0 kN，表明此時(shí)輪軌已脫離接觸，所以表3 中第1，3，6，8—11 列與表4 中各列輪軌垂向力數(shù)值之間的比例約為1∶3∶4∶7，與AIF值相近。

表4 輪軌垂向力局部最小值

由以上可知，軌道高低不平順幅值的變化影響附加輪軌垂向力的大小，但不影響其波形相位。所以在研究輪軌垂向力與軌道高低不平順波長的關(guān)系時(shí)，可先將其幅值設(shè)為1 mm。軌道高低不平順波長λ=1.5 m、幅值為1 mm 時(shí)的輪軌垂向力仿真結(jié)果如圖11 所示。由圖11 可知：輪軌垂向力的時(shí)域波動(dòng)周期與軌道高低不平順的激勵(lì)周期相等；輪軌垂向力在靜輪重F0附近呈現(xiàn)振幅為α的周期性變化，與軌道高低不平順波形之間存在相位差（延遲相位）β。

圖11 波長1.5 m軌道高低不平順條件下輪軌垂向力仿真結(jié)果

圖11 中輪軌垂向力波動(dòng)成分即為軌道高低不平順激勵(lì)的附加輪軌垂向力Fdyn，其頻譜曲線如圖12 所示。圖中：圓圈處為軌道高低不平順引起的Fdyn諧波成分，五角星處為軌枕引起的諧波成分。

圖12 輪軌垂向力頻譜曲線

由圖12 可知：與Fdyn頻譜曲線的主頻相比，2階及以上諧波成分能量均較小，在Fdyn的總能量中所占比重不足3%；主頻對應(yīng)的空間頻率為0.667 m-1，對應(yīng)的空間波長為1.5 m，即Fdyn主頻是由軌道高低不平順波長決定的。

因此，幅值為A、波長為λ的軌道高低不平順引起的Fdyn，λ主要特征參數(shù)為α，β和λ，可記為

其中，

式中：z為圖2 所示車輛沿著鋼軌運(yùn)行過程中輪軌接觸位置的縱坐標(biāo)；α和β為幅值1 mm、波長λ的軌道高低不平順引起附加輪軌垂向力的振幅和延遲相位；?λ為軌道高低不平順的激勵(lì)角頻率；ν為車輛運(yùn)行速度。

在輪軌三維有限元模型中施加不同波長且幅值為1 mm 的軌道高低不平順，得到不同工況下附加輪軌垂向力波形的振幅α、延遲相位β與波長λ之間關(guān)系曲線如圖13所示。

圖13 不同波長工況下附加輪軌垂向力波動(dòng)幅值與延遲相位曲線

由圖13 可知：波長λ從1.5 m 增加到10.0 m時(shí)，附加輪軌垂向力的波動(dòng)振幅α由39.5 kN 減少到1.5 kN，而延遲相位β則 由0.087π 減少到0.015π，且其分布特征與鋼軌的垂向振動(dòng)特性及激勵(lì)的頻率有關(guān)。

圖3 所示有限元模型中鋼軌垂向位移導(dǎo)納曲線如圖14所示。曲線中第1個(gè)共振峰值對應(yīng)鋼軌共振頻率frail，其值可用下式估算［2，24］。

式中：k為單位長度鋼軌的軌下剛度，N·m-2；mr為單位長度的鋼軌質(zhì)量，kg·m-1。

波長λ為1.5～120.0 m 的軌道高低不平順在車速為300 km·h-1時(shí)激勵(lì)頻率約為0.7～56.0 Hz，該頻段對應(yīng)圖13 中黃色區(qū)域遠(yuǎn)離鋼軌的共振頻率frail，且該頻段的鋼軌垂向?qū)Ъ{曲線未出現(xiàn)大的共振峰線。波長λ較大時(shí)，軌道高低不平順激勵(lì)的附加輪軌垂向力頻率較小，由圖14 所示鋼軌垂向位移導(dǎo)納曲線可知鋼軌動(dòng)態(tài)效應(yīng)也較小，附加輪軌垂向力與軌道高低不平順幾乎同時(shí)發(fā)生，二者延遲相位β較小；波長λ較小時(shí)，軌道高低不平順引起附加輪軌垂向力頻率較高，鋼軌的動(dòng)態(tài)效應(yīng)增強(qiáng)，二者之間延遲相位β增大。

圖14 輪軌有限元模型中鋼軌垂向位移導(dǎo)納曲線

利用非線性最小二乘方法［25］對圖13中附加輪軌垂向力波動(dòng)的振幅α及延遲相位β進(jìn)行有理式曲線擬合，得

式中：p1—p4和q1—q3為待定擬合參數(shù)。

在擬合優(yōu)度大于99.5%時(shí)，α，β與波長λ之間的擬合式及參數(shù)取值如圖15 所示。圖中：λ＞12 m 的軌道高低不平順激勵(lì)的附加輪軌垂向力的α和β值依據(jù)上述仿真結(jié)果進(jìn)行擬合外推，即圖中擬合曲線的右側(cè)實(shí)線段。

軌道高低不平順引起的激勵(lì)頻率還與車輛運(yùn)行速度有關(guān)，車速提高至350 km·h-1條件下軌道高低不平順引起附加輪軌垂向力的振幅α及延遲相位β與波長λ之間的擬合方程如圖16所示。

對比圖15 與圖16 可知：車速350 km·h-1時(shí)較300 km·h-1時(shí)，振幅α的增加幅度明顯大于延遲相位β的增加幅度，如波長為1.5 m 時(shí)振幅α由300 km·h-1時(shí)的39.5 kN 增大到350 km·h-1時(shí)的54.8 kN，增加了38.7%，而延遲相位β則由0.087π 增大到0.095π，增加了9.2%；隨著波長λ增加，振幅α和延遲相位β分別趨近于1λ和0.04π。

圖15 車速300 km·h-1時(shí)軌道高低不平順波長與附加輪軌垂向力振幅、延遲相位擬合曲線

圖16 車速350 km·h-1時(shí)軌道高低不平順波長與附加輪軌垂向力波動(dòng)振幅、延遲相位擬合曲線

將式（9）和式（10）代入式（8），得幅值A(chǔ)、波長λ軌道高低不平順激勵(lì)下的附加輪軌垂向力Fdyn，λ為

定義軌道變化率η為軌道高低不平順幅值A(chǔ)與波長λ比值，代入式（13）有

其中，

由式（14）及圖14 擬合結(jié)果，得到車速300 km·h-1時(shí)附加輪軌垂向力大值Fdyn，λmax與軌道變化率η之間的斜率k斜率隨軌道高低不平順波長λ變化曲線如圖17所示。

圖17 附加輪軌垂向力大值和軌道變化率之間斜率隨波長變化曲線

由圖17 可知：當(dāng)軌道高低不平順波長λ大于30 m 時(shí)，斜 率k斜率中Fdyn，λmax與η之間的斜率逐步接近式（9）中參數(shù)p1，此時(shí)Fdyn，λmax為

由式（15）及圖17 可知，在軌道高低不平順波長λ大于30 m 時(shí)，附加輪軌垂向力最大值與軌道變化率η 近似呈現(xiàn)線性關(guān)系。在表2 所列車輛軌道參數(shù)條件下，車速300 km·h-1時(shí)p1為13.14；車速350 km·h-1時(shí)p1為19.19。

高鐵線路上的軌道高低不平順包含眾多波長成分，此時(shí)附加輪軌垂向力Fdyn為單個(gè)波長成分引起的附加輪軌垂向力的和，可表示為

式中：i為軌道不平順波長成分?jǐn)?shù)量；λi為第i個(gè)軌道高低不平順成分的波長；Fdyn，λi為第i個(gè)軌道高低不平順成分引起的附加輪軌垂向力。

由式（16）及傅里葉變換［26］可由軌道高低不平順反演得到附加輪軌垂向力，步驟如下。

（1）對實(shí)測軌道高低不平順s(λ)數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅里葉變換，得到空間頻域上的傅里葉變換對s(ω)，即

式中：F 為傅里葉變換符號(hào)；ω為波長的倒數(shù)，即空間頻率。

（2）將各頻段軌道高低不平順傅里葉變換對s(ω)的幅值乘以附加輪軌垂向力的振幅α、減去相位延遲量β，得到修正后的軌道高低不平順傅里葉變換對S(ω)，即

（3）對修正后的軌道高低不平順S(ω)進(jìn)行傅里葉逆變換，得到附加輪軌垂向力F(λ)，即

按照上述步驟，采用某高鐵線路車速300 km·h-1區(qū)段實(shí)測軌道高低不平順反演得到了附加輪軌垂向力波形，并與該區(qū)段實(shí)測輪軌垂向力數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果如圖18 所示。其中，實(shí)測軌道高低不平順的波長范圍為1.5～120.0 m，按照該波長范圍和車輛運(yùn)行速度對實(shí)測輪軌垂向力數(shù)據(jù)進(jìn)行帶通濾波處理。

由圖18 可知，采用實(shí)測軌道高低不平順和上述步驟反演得到的附加輪軌垂向力與其實(shí)數(shù)據(jù)吻合良好，變化趨勢一致，驗(yàn)證了上文研究及擬合式即式（10）—式（12）的正確性。

圖18 利用軌道高低不平順反演附加輪軌垂向力與實(shí)測輪軌垂向力對比

4 結(jié) 論

（1）為研究高速條件下軌道高低不平順激勵(lì)的輪軌垂向力特性，采用ABAQUS 軟件及輪軌真實(shí)尺寸建立輪軌接觸有限元模型，通過與對比相關(guān)文獻(xiàn)仿真結(jié)果，驗(yàn)證所建模型的準(zhǔn)確性。在鋼軌模型中輸入中國高速鐵路無砟軌道高低不平順譜樣本數(shù)據(jù)，研究軌道高低不平順幅值對輪軌垂向力的影響特性。結(jié)果表明：在輪軌不脫離接觸的前提下，附加輪軌垂向力波動(dòng)變化量與軌道高低不平順的幅值成正比。

（2）仿真計(jì)算了車速300 km·h-1時(shí)軌道高低不平順波長為1.5～12 m、幅值為1 mm 輪軌動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。軌道高低不平順引起的一階諧波占附加輪軌垂向力的主要成分，其余諧波成分所占比重小于3%；附加輪軌垂向力的波動(dòng)振幅隨著軌道高低不平順波長增加而非線性減少，二者的對應(yīng)關(guān)系可用有理式方程進(jìn)行擬合，輪軌力波形與軌道高低不平順之間相位延遲量隨激振頻率的增大而增加，整體處于0.02π～0.10π之間。

（3）文中給出了車速300 和350 km·h-1時(shí)軌道高低不平順幅值、波長與附加輪軌垂向力之間的函數(shù)表達(dá)式。附加輪軌垂向力最大值與軌道高低不平順幅值、波長之間不存在明顯的線性關(guān)系，但軌道高低不平順波長大于30 m 時(shí)，附加輪軌垂向力最大值與軌道高低不平順的變化率近似線性關(guān)系，二者的比例系數(shù)與車輛、軌道參數(shù)及車速等因素有關(guān)，車速為300 和350 km·h-1時(shí)比例系數(shù)分別為13.14 和19.19。由高鐵線路上實(shí)測軌道高低不平順反演的輪軌垂向力結(jié)果與實(shí)測輪軌垂向力比對驗(yàn)證了擬合方程表達(dá)式的正確性。