“圓的組合圖形”的教學(xué)實踐與思考

【摘 要】文章通過對“圓的組合圖形”的教學(xué)實踐與思考，將教材的例題和習(xí)題進(jìn)行了有效整合，實現(xiàn)對教材的有效開發(fā)。在教學(xué)過程中，利用變式教學(xué)，滲透化零為整、等積代換等數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，提升學(xué)生的幾何思維水平。

【關(guān)鍵詞】教材開發(fā);有效整合;幾何思維水平

【作者簡介】田志鋒，高級教師，淮北市學(xué)科帶頭人，教育部“跨世紀(jì)園丁工程”國家級骨干教師培訓(xùn)學(xué)員，安徽省小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會理事、教科研指導(dǎo)委員會委員，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究工作。

【基金項目】安徽省教育科學(xué)研究項目2019年度立項課題“構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)教師群體成長的教研共同體的實踐研究”（JK19086）

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要有意識地提高學(xué)生的問題意識，讓學(xué)生學(xué)會思考，進(jìn)行批判性的質(zhì)疑，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)活動的深度參與和對數(shù)學(xué)知識的深度理解[1]。也就是說，教師要順著學(xué)生的問題引領(lǐng)學(xué)生思考，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展。同時，學(xué)生的質(zhì)疑能給教師帶來新的教學(xué)思路，給課堂教學(xué)提供更廣闊的空間，促進(jìn)教師對教學(xué)素材進(jìn)行有效整合，使課堂煥發(fā)生機，使學(xué)生學(xué)習(xí)充滿活力。本文以“圓的組合圖形”為例，分析促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的教學(xué)實踐與思考。

一、教前慎思

（一）學(xué)生的困惑

筆者研究“圓的組合圖形”這個課題，緣于在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)六年級上冊第69頁“外方內(nèi)圓” “外圓內(nèi)方”的例題后，有學(xué)生提出疑問：“為什么不討論它們的周長，周長該怎樣求？”為此，筆者對學(xué)生進(jìn)行了一次教前測試：如圖1所示，正方形的邊長均為4cm，指出并計算圖中陰影部分的周長。

結(jié)果顯示，有不少學(xué)生沒能正確指出陰影部分的周長，部分學(xué)生能正確指出并計算，但沒有轉(zhuǎn)化意識，不能將圖形化零為整地考慮，以致計算過程過于復(fù)雜、煩瑣。另外，教材中零散分布的圓的組合圖形習(xí)題，只能讓學(xué)生就題論題，不能讓學(xué)生系統(tǒng)地掌握解決此類問題的思想方法，以致學(xué)生遇到類似的變式題時，或疲于應(yīng)付，或無所適從，未能有效解答問題。

（二）教材開發(fā)

人教版數(shù)學(xué)五年級上冊設(shè)置了“組合圖形的面積”一節(jié)內(nèi)容，但限于學(xué)生的知識儲備量，只討論直線型的組合圖形，僅要求學(xué)生會認(rèn)識簡單的圖形并求出它們的面積。人教版數(shù)學(xué)六年級上冊“圓”單元中，穿插設(shè)置了很多有關(guān)圓的組合圖形的例題和習(xí)題，不僅涉及求面積，而且要求求出周長，如求出拱形門、太極圖、半圓環(huán)、操場跑道的周長等。

筆者將零散分布的有關(guān)圓的組合圖形的例題和習(xí)題進(jìn)行了整合，通過在正方形內(nèi)畫最大的圓等一系列數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷圓的組合圖形的形成過程，掌握計算圓的組合圖形的周長和面積的基本思路和方法，滲透轉(zhuǎn)化、分類、優(yōu)化等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維、求異思維、創(chuàng)新思維等，實現(xiàn)對教材的有效開發(fā)。

（三）理論踐行

范希爾理論將學(xué)生的幾何思維水平分為三個層次：一是直觀水平，要求學(xué)生能整體地認(rèn)識幾何對象;二是描述水平，要求學(xué)生能按照圖形的組成部分和組成部分之間的聯(lián)系來分析圖形;三是理論水平，要求學(xué)生能利用演繹推理證明幾何關(guān)系，發(fā)展邏輯推理能力[2]。與之相一致，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也明確提出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、空間觀念、幾何直觀、推理能力等[3]。

按照范希爾的觀點，學(xué)生幾何思維水平的提升是經(jīng)由教學(xué)，而不是隨年齡增加或心理成熟自然而然提升的;不同幾何思維水平之間的過渡是不平緩的，而是要經(jīng)歷一個“思維危機”過程[4]。如何讓學(xué)生平穩(wěn)渡過“思維危機”，促進(jìn)思維水平的順利提升？筆者認(rèn)為，對“圓的組合圖形”的研究學(xué)習(xí)是一次比較有益的理論實踐，利用變式教學(xué)，能夠很好地實現(xiàn)描述水平向理論水平的平穩(wěn)過渡，而在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的邏輯推理能力，能夠為下一階段的平面幾何知識學(xué)習(xí)做鋪墊。

二、教學(xué)實踐

（一）課件展示，揭示主題

教師用課件展示一個正方形和一個圓，動態(tài)演示組合成“外方內(nèi)圓”的過程，并指出本節(jié)課的課題：探究“外方內(nèi)圓”這類組合圖形的周長和面積。

（二）直觀操作，體驗本質(zhì)

1.初步感知組合圖形周長和面積的本質(zhì)區(qū)別

教師出示問題：邊長為4cm的正方形內(nèi)如何畫一個最大的圓？并計算出圓的周長與面積。

學(xué)生在課前準(zhǔn)備好的正方形紙上試畫并計算出具體數(shù)值，發(fā)現(xiàn)圓的周長和面積的數(shù)值都是12.56，但單位不同。

師：除了單位不一樣，你還能從圖中找出它們的不同嗎？

生（用手比畫）：周長是圓一周的長度，面積指圓的大小。

【設(shè)計意圖】通過這個教學(xué)環(huán)節(jié)，將教材例題與習(xí)題有關(guān)“外方內(nèi)圓”的知識點進(jìn)行有效整合，追本溯源，還原“外方內(nèi)圓”的形成過程。同時，將圓的直徑設(shè)為4cm，并要求學(xué)生從圖形中辨認(rèn)出圓的周長和面積，以防學(xué)生僅識記單位形式上的不同，而忽略本質(zhì)上的區(qū)別。

2.涂出圓與正方形之間的圖形，并描出其周長

師：同學(xué)們，通過描線，你們發(fā)現(xiàn)涂色部分（如圖2）的周長由幾部分組成？

生1：由一部分組成，也就是正方形的周長。

生2：應(yīng)該由兩部分組成，即正方形的周長和圓的周長。

生3：不對，我覺得應(yīng)該是四部分組成。

看到大家有些疑惑，教師示意生3繼續(xù)回答。

生3：我認(rèn)為是由4個“小角”組成，所以涂色部分的周長應(yīng)該是4個“小角”的周長之和。

此時，學(xué)生出現(xiàn)兩種意見：一種是支持生2的觀點，另一種是贊同生3的看法。

師：對于圖中的“小角”，我們不妨稱之為曲邊三角形。大家想一想，這4個曲邊三角形的周長是不是等于正方形的周長和圓的周長之和？

學(xué)生表示同意。

師：因為這4個曲邊三角形是連接在一起的，所以我們也可以把涂色部分的周長看作正方形的周長和圓的周長兩部分組成。

【設(shè)計意圖】通過涂一涂，描一描，使學(xué)生意識到涂色區(qū)域的大小就是涂色部分的面積，描線的長度就是涂色部分的周長，讓學(xué)生進(jìn)一步辨析組合圖形周長與面積的本質(zhì)區(qū)別。特別是討論涂色部分的周長時，教師引導(dǎo)學(xué)生將其視作正方形的周長與圓的周長組合而成，培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力，促進(jìn)思維生長，同時也滲透化零為整的數(shù)學(xué)思想。

3.多組圖形類比，掌握組合圖形周長和面積的計算方法

（1）周長的計算方法——化零為整

教師出示下列一組圖形（圖3至圖5），正方形的邊長均為4cm，學(xué)生在答題紙上描出每個陰影部分的周長，計算并比較其大小。

師：通過前面的描線，我們知道圖3的陰影部分的周長=正方形的周長+圓的周長。

師：圖4的陰影部分的周長是多少？圖5呢？

師：同學(xué)們，請想一想，哪一種方法計算更簡便呢？

大多數(shù)學(xué)生都覺得生2的做法比較簡便。

【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形的特點，運用化零為整思想，將其轉(zhuǎn)化為求圓的周長，這樣的教學(xué)思路不僅體現(xiàn)整體性思維，而且體現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的奇妙，體會優(yōu)化的解題策略。

（2）面積的計算方法——割補法（平移或旋轉(zhuǎn)）

4.拓展延伸，探究圓與長方形組合圖形的面積

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：將正方形變成長為13cm，寬為4cm的長方形，如何畫出最大的圓？最多能畫幾個？學(xué)生之間互相討論交流，在課前準(zhǔn)備好的長方形內(nèi)試畫。最后，學(xué)生匯報操作結(jié)果：最多能畫3個最大的圓（如圖6）。教師通過課件演示畫圓的方法和個數(shù)，使學(xué)生明白長方形的寬決定圓的大小，長方形的長決定圓的個數(shù)。同時，引導(dǎo)學(xué)生得出：余下部分的面積=長方形的面積-3個圓的面積，讓學(xué)生體驗圓與長方形組合圖形的面積形成過程。

【設(shè)計意圖】教師利用變式教學(xué)，改變條件，將正方形變?yōu)殚L方形，探究如何畫出最大的圓，最多能畫幾個，余下部分的面積是多少等一系列問題，為學(xué)生提供嘗試發(fā)展的階梯。由于前期的鋪墊，學(xué)生很容易將正方形內(nèi)畫最大圓的方法類推到長方形內(nèi)，并且發(fā)現(xiàn)畫出的圓的多少由長方形的長決定。在求余下部分的面積時，學(xué)生類比聯(lián)想到正方形內(nèi)涂色部分的面積，再次理解二者的本質(zhì)相同之處，使問題得以順利解決。這一教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計，讓學(xué)生的思維拾級而上，既增強了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，又提升了學(xué)生的遷移能力。

（三）提升練習(xí)，優(yōu)化解題策略

練習(xí)1 不必計算，直接比較圖7、圖8陰影部分的周長和面積的大小。（單位：cm）

題目雖然不用計算，但教師仍給出數(shù)據(jù)的目的是讓學(xué)生認(rèn)真讀取圖中的數(shù)學(xué)信息，讀懂陰影部分都是由三段分別相等的半圓弧組合而成。繼而得出：兩個圖形周長相等、面積不相等，圖8的陰影部分的面積更大。

【設(shè)計意圖】通過練習(xí)1，讓學(xué)生對圖7和圖8進(jìn)行類比，有意識地培養(yǎng)學(xué)生在解決組合圖形問題時養(yǎng)成先觀察再判斷的習(xí)慣，進(jìn)一步提升學(xué)生的幾何直觀水平、描述水平和理論水平。

練習(xí)2 如圖9所示，已知長方形的面積等于圓的面積，圓的半徑是10cm。求：（1）陰影部分的面積;（2）陰影部分的周長。

【設(shè)計意圖】通過練習(xí)2，讓學(xué)生學(xué)會認(rèn)真讀題、讀圖，并懂得選擇最優(yōu)化的解題策略——等積代換和化零為整，練習(xí)2充分體現(xiàn)算法的多樣化和優(yōu)化，有利于學(xué)生思維品質(zhì)的提升。

（四）梳理溝通，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

在最后環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)和幫助學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過程、梳理知識，并對知識進(jìn)行內(nèi)化建構(gòu)（如圖10）。通過這樣的整合活動，使學(xué)生將所學(xué)知識內(nèi)化成自己的觀點和思想，懂得將圖形對象和關(guān)系的研究進(jìn)化到一個新的思維領(lǐng)域，從而獲得新的思維水平。

三、教后感悟

（一）整合教材，促進(jìn)知識理解

心理學(xué)的研究表明，學(xué)習(xí)材料只有組織成系統(tǒng)，才會被學(xué)生迅速、準(zhǔn)確而牢固地掌握并遷移，而這個系統(tǒng)應(yīng)該是有序的、有層次的[5]。課堂上，教師將教材中零散的例題和習(xí)題進(jìn)行整合，并且把例題中只解決組合圖形的陰影部分面積拓展為既研究周長問題，又研究面積問題。這樣的統(tǒng)整更能加深學(xué)生對概念的理解，通過類比、歸納，促進(jìn)學(xué)生對知識的理解。

（二）深度引導(dǎo)，優(yōu)化解題策略

在研究正方形內(nèi)如何畫最大的圓時，教師引導(dǎo)學(xué)生動手畫一畫、涂一涂等活動，讓學(xué)生初步感知組合圖形的周長與面積的本質(zhì)區(qū)別。在探究圓與正方形組合圖形的面積與周長的求法時，教師放手讓學(xué)生自己解決，盡管有的學(xué)生算法煩瑣，但是他們經(jīng)歷了解決問題的過程，鍛煉了解決問題的能力，并且部分學(xué)生由此想到化零為整的數(shù)學(xué)思想。同時，教師引導(dǎo)學(xué)生運用旋轉(zhuǎn)、平移等方法，滲透了圖形運動、類比轉(zhuǎn)化、優(yōu)化算法的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)了學(xué)生的思維發(fā)展，優(yōu)化了解題策略。

在教學(xué)拓展延伸階段，將正方形變?yōu)殚L方形，拓展了學(xué)生的學(xué)習(xí)空間，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性。

（三）變式練習(xí)，提升思維水平

在練習(xí)1中，設(shè)計成兩個圖形的組成元素相同，組成形式不同，而且要求不計算直接比較大小，培養(yǎng)學(xué)生的直觀水平、描述水平。在練習(xí)2中，教師要求學(xué)生運用等積代換和化零為整的思想方法，讓學(xué)生學(xué)會優(yōu)化解題策略，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。變式教學(xué)，讓問題實現(xiàn)了有機串聯(lián)，有利于加深學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，有利于學(xué)生建構(gòu)完整、合理的知識網(wǎng)絡(luò)，同時使得思維過程具有合適的梯度，過渡平緩，最終促進(jìn)學(xué)生思維水平的順利提升。

數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于思考的充分自由[6]。本節(jié)課借助圓、正方形、長方形這三個最基本的圖形，巧妙組合，以點串線，讓學(xué)生經(jīng)歷了知識的發(fā)生和發(fā)展過程。在觀察、操作、獨立思考中，學(xué)生掌握了計算圓的組合圖形周長和面積的基本方法，在觀察、比較、交流討論中，學(xué)生能夠靈活選擇解決方案，優(yōu)化解題策略，拓展了幾何思維空間。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)教會學(xué)生如何思考，提升學(xué)生的幾何思維水平。

參考文獻(xiàn)：

[1]沈君.基于數(shù)學(xué)理解的游戲教學(xué)探析：以“長方形和正方形”一課為例[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2021（2）：34-36.

[2]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[4]鮑建生，黃榮金，易凌峰，等.變式教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1）：11-12.

[5]陳永明名師工作室.數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究[M].上海：上海教育出版社，2010.

[6]米山國藏.數(shù)學(xué)的精神思想與方法[M].毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986.

（責(zé)任編輯：羅小熒）