轉(zhuǎn)速波動(dòng)對(duì)冷軋扭轉(zhuǎn)顫振穩(wěn)定性的影響

趙 武，劉志偉，黃 丹

（1.河南理工大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，河南 焦作 454000；2.河南理工大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，河南 焦作 454000）

隨現(xiàn)代化制造業(yè)的飛速發(fā)展，對(duì)冷軋薄板的成型精度的要求越來(lái)越高，這也推動(dòng)了鋼鐵生產(chǎn)中的生產(chǎn)負(fù)荷和軋制速度的提升。然而軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的能量失衡會(huì)導(dǎo)致軋制工藝系統(tǒng)的異常扭振失穩(wěn)，嚴(yán)重影響冷軋薄板的成型精度，尤其成為制約冷軋生產(chǎn)中軋制效率和產(chǎn)品質(zhì)量提升的主要瓶頸。

在有關(guān)軋制振動(dòng)研究的中外文獻(xiàn)中，王坤等[1-3]建立了一類(lèi)兩自由度相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的非線性扭振模型，解析了轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速波動(dòng)的級(jí)數(shù)解與系統(tǒng)的分岔與穩(wěn)定性等一系列動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。趙武等[4-6]通過(guò)建立軋機(jī)扭振模型，較精確地解決了工程實(shí)際中軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)的扭振計(jì)算問(wèn)題。張瑞成等[7-10]運(yùn)用實(shí)驗(yàn)與仿真的結(jié)合研究，分析了影響軋機(jī)扭振的電控、負(fù)載、軋輥打滑、間隙沖擊、軋輥表面粗糙度等因素，并對(duì)影響作用做出評(píng)估。Chondros等[11-12]分析了軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性扭振特性對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行平穩(wěn)性的影響。劉浩然等[13-14]考慮四輥軋制工藝過(guò)程的非線性彈性約束作用，用平均法解析了軋機(jī)輥系非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，用奇異理論分析了系統(tǒng)的分岔和非線性參數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響。張義方等[15-17]通過(guò)研究系統(tǒng)的扭振組合共振隨參數(shù)變化的規(guī)律，提出抑制軋機(jī)扭振方案和減振措施，還獲得了沖擊激勵(lì)下的扭振響應(yīng)規(guī)律。閆曉強(qiáng)等[18-19]研究了軋機(jī)彎扭耦合振動(dòng)的相互影響因素，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。文獻(xiàn)[20-23]分類(lèi)研究了軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)非線性扭振的不同非線性影響因素，明確了主傳動(dòng)系統(tǒng)間隙是造成非線性扭振的主要因素；通過(guò)建立含多間隙的扭振模型[24-27]，解析間隙造成的扭振動(dòng)特性，通過(guò)對(duì)比分析出間隙大小和所在位置對(duì)系統(tǒng)扭振的作用。周家林等[28]通過(guò)四輥冷軋平整機(jī)的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的一種自激振動(dòng)主因是搓軋區(qū)摩擦力方向的改變和打滑造成的負(fù)阻尼效應(yīng)；趙武等[29]通過(guò)研究冷軋非線性工藝系統(tǒng)的分岔、混沌以及主共振等非線性現(xiàn)象，得出不同物理參數(shù)對(duì)系統(tǒng)非線性振動(dòng)的影響規(guī)律。文獻(xiàn)[30]研究精軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)位移和動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)矩對(duì)ATGS非穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)的轉(zhuǎn)矩和摩擦轉(zhuǎn)矩的影響，結(jié)果表明ATGS具有明顯的非線性特性，反映出傳動(dòng)系統(tǒng)存在垂直、水平和扭轉(zhuǎn)方向間的耦合自激扭振。文獻(xiàn)[31]求解了多參數(shù)激勵(lì)和多頻率外激勵(lì)條件的軋制非線性振動(dòng)系統(tǒng)的主共振幅頻響應(yīng)特性，分析了系統(tǒng)在帶鋼入口厚度波動(dòng)情況下的主共振特性所依賴(lài)的軋制工藝參數(shù)。

本研究考慮冷軋薄板工藝中，冷軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)工作輥的轉(zhuǎn)速差造成的傳動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)干擾的非線性扭振效應(yīng)。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)引入非線性阻尼、非線性剛度、結(jié)構(gòu)間隙等影響因素，構(gòu)建冷軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)因轉(zhuǎn)速波動(dòng)誘發(fā)的非線性扭振顫振模型，運(yùn)用最大Lyapunov指數(shù)、雙參分布、圖胞映射等方法，研究了該非線性系統(tǒng)的單參分岔、雙參分岔、混沌、以及多初值條件的系統(tǒng)吸引子流形轉(zhuǎn)遷等非線性動(dòng)力行為和特征，為工程應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 冷軋主傳動(dòng)系統(tǒng)扭振顫振模型

冷軋薄板能耗低，板形精度高，是未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)。而發(fā)展高質(zhì)量冷軋薄板，就必須解決冷軋薄板延伸產(chǎn)品（如鍍鋅板、鍍錫板、涂塑板、硅鋼片等）生產(chǎn)中的裝備振動(dòng)問(wèn)題，以期獲得板形、表面、尺寸公差及性能良好的產(chǎn)品質(zhì)量，滿(mǎn)足現(xiàn)代冷軋生產(chǎn)的連續(xù)化、高速化和專(zhuān)業(yè)化水平。冷軋薄板工藝中，軋件被軋厚度遠(yuǎn)小于一般軋件，這樣軋件上、下表面塑性變形不一致所導(dǎo)致的上、下兩工作輥的轉(zhuǎn)速差所形成的冷軋主傳動(dòng)系統(tǒng)的扭振，也比一般冷軋嚴(yán)重。

冷軋機(jī)主傳動(dòng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要包括電動(dòng)機(jī)、中間軸、分齒減速器、萬(wàn)向接軸、工作輥、支撐輥等部件。主電機(jī)的輸出扭矩，經(jīng)中間軸傳入分齒減速器，經(jīng)由該減速器的一輸入兩輸出結(jié)構(gòu)，由兩平行軸分別輸出到與上、下萬(wàn)向接軸后，再最終把扭矩傳入上、下工作輥上。輥縫工作區(qū)因薄軋件上、下表面塑性變形的不一致造成的上、下兩工作輥的線速度差，對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生反饋干擾，造成主傳動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速波動(dòng)，這種傳動(dòng)轉(zhuǎn)軸之間的轉(zhuǎn)速差，造成旋轉(zhuǎn)不同步，會(huì)使傳動(dòng)系統(tǒng)中由于裝配、磨損等原因產(chǎn)生的間隙進(jìn)一步放大，形成軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的持續(xù)非線性扭振失穩(wěn)。本項(xiàng)研究系統(tǒng)開(kāi)展了結(jié)構(gòu)間隙和轉(zhuǎn)速波動(dòng)對(duì)冷軋主傳動(dòng)系統(tǒng)非線性扭振的影響研究。

圖1 軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Mill main driving system structure drawing

將主傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為如圖2所示的兩慣量系統(tǒng)模型。圖中:T1，T2分別為輸入端轉(zhuǎn)矩和負(fù)載力矩；J1，J2分別為輸入端和負(fù)載端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θ1，θ2分別為系統(tǒng)輸入端和輸出端的扭轉(zhuǎn)角；K，C分別為系統(tǒng)的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)。

圖2 軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)模型圖Fig.2 Mill main drive system model

廣義力矩為

阻尼力可表示為

取主傳動(dòng)系統(tǒng)的彈性力形式為Fk=K fk（θ1-θ2），即彈性力為相對(duì)扭轉(zhuǎn)角差的任意比例函數(shù)形式，則系統(tǒng)的勢(shì)能可表達(dá)為

則該系統(tǒng)的動(dòng)能可寫(xiě)作

生態(tài)環(huán)境是人類(lèi)賴(lài)以生存和發(fā)展的基本條件，是經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的基礎(chǔ)。京津冀地區(qū)生態(tài)環(huán)境脆弱，面臨著水資源極度短缺、水土流失嚴(yán)重、風(fēng)沙危害明顯、濕地萎縮退化、環(huán)境污染等問(wèn)題。當(dāng)前京津冀協(xié)同發(fā)展上升為重大國(guó)家戰(zhàn)略，要保障其順利實(shí)施，必須加強(qiáng)這一區(qū)域生態(tài)環(huán)境保護(hù)與建設(shè)。水土保持作為生態(tài)文明建設(shè)的重要內(nèi)容，是破解資源環(huán)境約束、加快轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式、增強(qiáng)可持續(xù)發(fā)展能力的戰(zhàn)略選擇，也是全面建成小康社會(huì)、建設(shè)美麗中國(guó)的重要基礎(chǔ)。

將式（1）、式（3）、式（5） 代入耗散系統(tǒng)的Lagrange方程，得

圖11反映了三次項(xiàng)阻尼比μ3與轉(zhuǎn)速波動(dòng)幅值δ同時(shí)變化時(shí)，系統(tǒng)在μ3-δ參數(shù)平面上的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)域變化。PA1區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)遠(yuǎn)大于零，發(fā)生不穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)；PA2區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)在零值附近波動(dòng)，發(fā)生概周期或倍周期運(yùn)動(dòng)；PA3區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)小于零，發(fā)生穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。實(shí)際生產(chǎn)中，為使冷軋系統(tǒng)運(yùn)行平穩(wěn)，應(yīng)盡量使μ3-δ的參數(shù)匹配位于PA3域內(nèi)。

考慮到軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速波動(dòng)，可能造成負(fù)載端工作輥與軋件間的打滑效應(yīng)，研究針對(duì)一種廣泛存在的非線性滑動(dòng)摩擦力進(jìn)行研究，令

將式（7） 代入式（6），并令

以系統(tǒng)的三次項(xiàng)阻尼比μ3為分岔參數(shù)得到的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖，如圖6所示。由圖6可知，隨阻尼比 μ3的單調(diào)遞增，系統(tǒng)歷經(jīng)多周期-混沌-多周期-混沌-三周期-混沌-四周期的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷，表現(xiàn)出周期、混沌等非線性動(dòng)力行為特征。μ3＜2.3時(shí)，系統(tǒng)處于混沌與多周期運(yùn)動(dòng)交替狀態(tài)，最大Lyapunov指數(shù)在0值附近頻繁跳動(dòng)；μ3=2.3～2.98時(shí)，處于三周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，最大Lyapunov指數(shù)小于0，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定。μ3=2.98～4時(shí)，處于混沌狀態(tài)，最大Lyapunov指數(shù)大于0，在該混沌區(qū)域內(nèi)還存在多個(gè)倍分周期窗口，窗口處的最大Lyapunov指數(shù)存在小于0值的突變；μ3＞4時(shí)，系統(tǒng)為四周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，最大Lyapunov指數(shù)小于0，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定。

式（6） 可化為

令 μy=-2μ1y+2μ3y3，略去常數(shù)項(xiàng)，式（12） 可化為

由上述分析可知，冷軋薄板時(shí)主傳動(dòng)系統(tǒng)間隙和轉(zhuǎn)速波動(dòng)對(duì)扭振的影響比軋制一般厚度板材嚴(yán)重。本研究中，把傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)恢復(fù)力表示為

式中:e為結(jié)構(gòu)間隙；δ為轉(zhuǎn)速波動(dòng)的幅值，定義為

式中:ω2為輸出端的轉(zhuǎn)速；ω1為輸入端的轉(zhuǎn)速。其扭轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)恢復(fù)力的形式如圖3所示。

圖3 分段結(jié)構(gòu)恢復(fù)力示意圖Fig.3 Diagram of restoring force of sectional structure

當(dāng)研究該系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)扭轉(zhuǎn)自激顫振，將式（9）代入式（8），并令T=0，可得考慮傳動(dòng)系統(tǒng)間隙和轉(zhuǎn)速波動(dòng)情況下的系統(tǒng)非線性扭轉(zhuǎn)自激顫振運(yùn)動(dòng)微分方程為

2 冷軋主傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)顫振的混沌分析

以Melnikov方法分析冷軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性扭轉(zhuǎn)顫振的混沌現(xiàn)象，認(rèn)為系統(tǒng)中存在穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形在橫截相交時(shí)必然存在混沌。以下運(yùn)用該方法分析扭轉(zhuǎn)顫振中的混沌動(dòng)力性態(tài)變化。

即

則可得式（13）在周期T=2πn/? 時(shí)次諧軌道的Melnikov函數(shù)為

其中，

式中，ε為小擾動(dòng)參數(shù)。

其中，

式中:F（K）為第一類(lèi)拉格朗日橢圓積分；E（K）為第二類(lèi)拉格朗日橢圓積分；K為橢圓積分的模。

則當(dāng)冷軋主傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)滿(mǎn)足條件式（15）時(shí)，Melnikov函數(shù)在t0∈（0，T）內(nèi)必存在零點(diǎn)，即在系統(tǒng)存在擾動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)。

3 冷軋主傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)顫振的分岔分析

冷軋工藝過(guò)程中的任何軋制參數(shù)初值的改變，都會(huì)直接影響和制約該系統(tǒng)的非線性扭振動(dòng)力行為和運(yùn)動(dòng)特性，取該扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的仿真參數(shù)如下:J1=6.19×104kg·m2；C=5.89×105N·m·s/rad；K=9.36×105N/m；J2=4×103kg·m2。對(duì)應(yīng)無(wú)量綱化后的參數(shù)為 μ1=0.1，μ3=0.15，?=1.1。利用顯式Runge-Kutta法求解動(dòng)力系統(tǒng)式（11）各參量變化時(shí)的分岔特性與最大Lyapunov指數(shù)表征，分別如圖4～圖8所示。

以系統(tǒng)的頻率比?為分岔參數(shù)得到的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖，如圖4所示。由圖4可知，隨頻率比?的單調(diào)遞增，系統(tǒng)歷經(jīng)混沌-二周期-混沌-四周期-混沌-六周期-混沌的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷，表現(xiàn)出混沌、周期等非線性動(dòng)力行為特征。頻率比?=0.5～0.8，系統(tǒng)為混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，最大Lyapunov指數(shù)大于0，非線性扭轉(zhuǎn)顫振強(qiáng)烈，極不穩(wěn)定；頻率比?=0.8～1.3，系統(tǒng)為二周期狀態(tài)，隨?的單調(diào)遞增，最大Lyapunov指數(shù)小于0，且距離0值越來(lái)越遠(yuǎn)，系統(tǒng)越來(lái)越穩(wěn)定；頻率比?=2.1～2.5和?=3.3～3.6，系統(tǒng)分別為四周期和六周期的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，最大Lyapunov指數(shù)小于0，且在0值附近波動(dòng)，系統(tǒng)表現(xiàn)為過(guò)渡狀態(tài)性穩(wěn)定；頻率比?=2.5～3.3，最大Lyapunov指數(shù)大于0，且在0值附近的變化頻率較高，系統(tǒng)為不穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；頻率比?=1.3～2.1，最大Lyapunov指數(shù)在0值附近上下跳動(dòng)，隨?單調(diào)遞增，最大Lyapunov指數(shù)數(shù)值向0值靠近，并且跳動(dòng)幅度較大，說(shuō)明在此范圍內(nèi)存在倍分周期窗口。

圖4 頻率比?的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.4 Bifurcation diagram and maximum Lyapunov exponent diagram of frequency ratio?

以系統(tǒng)的一次項(xiàng)阻尼比μ1為分岔參數(shù)得到的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖，如圖5所示。由圖5可知，隨阻尼比μ1的單調(diào)遞增，系統(tǒng)歷經(jīng)二周期-混沌的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷，表現(xiàn)出周期、混沌等非線性動(dòng)力行為特征。μ1=0～0.45時(shí)，系統(tǒng)處于二周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)小于0，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定；μ1=0.45時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)始進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，當(dāng) μ1＞0.45，系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)在0值附近頻繁跳動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不穩(wěn)定。

圖5 一次項(xiàng)阻尼比μ1的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.5 Bifurcation diagram and maximum Lyapunov exponent diagram of the damping ratioμ1 of the first term

式中:c1為一次阻尼系數(shù)；c3為三次阻尼系數(shù)。

圖6 三次項(xiàng)阻尼比μ3的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.6 Bifurcation diagram and maximum Lyapunov exponent diagram of damping ratioμ3 of cubic terms

以系統(tǒng)間隙e為分岔參數(shù)得到的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖，如圖7所示。由圖7可知，隨間隙e的單調(diào)遞增，系統(tǒng)歷經(jīng)混沌-多周期-混沌-二周期-混沌-多周期-混沌-四周期-混沌的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷，表現(xiàn)出周期、混沌相互交疊的非線性動(dòng)力行為特征。e＜0.5時(shí)，系統(tǒng)為混沌狀態(tài)，最大Lyapunov指數(shù)大于0，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不穩(wěn)定；但在e＜0.5區(qū)域內(nèi)，有部分區(qū)域是倍分窗口對(duì)應(yīng)的多周期運(yùn)動(dòng)，這部分最大Lyapunov指數(shù)小于0，說(shuō)明在e＜0.5的混沌區(qū)域內(nèi)存在著漸進(jìn)穩(wěn)定的周期窗口；0.5＜e＜1.5時(shí)，系統(tǒng)為二周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，最大Lyapunov指數(shù)小于0，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定；e=1.5時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)始進(jìn)入混沌；1.5＜e＜3.2內(nèi)，大部分最大Lyapunov指數(shù)大于0，只有極少區(qū)間的最大Lyapunov指數(shù)小于0，分岔圖也表明在這片混沌區(qū)域內(nèi)確實(shí)存在穩(wěn)定周期窗口；3.2＜e＜3.8時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為四周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，最大Lyapunov指數(shù)小于0，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定。e＞3.8時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)再次進(jìn)入混沌狀態(tài)，并且在混沌區(qū)域內(nèi)依然存在著漸進(jìn)穩(wěn)定的周期窗口。

圖7 間隙e的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.7 Bifurcation diagram and maximum Lyapunov exponent diagram of gap e

起升機(jī)構(gòu)變頻調(diào)速啟動(dòng)加速過(guò)程如圖1所示，從低頻啟動(dòng)，其電壓和頻率按既定的壓頻比遞增。變頻調(diào)速電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)形式雖是直接啟動(dòng)，卻不在額定工頻啟動(dòng)，是在確保一定的啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩和盡量小的啟動(dòng)電流時(shí)分頻段啟動(dòng)到額定工頻。

圖8 轉(zhuǎn)速波動(dòng)幅值δ的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.8 Bifurcation diagram and maximum Lyapunov exponent diagram of the amplitude of rotation speed fluctuationδ

通過(guò)上述對(duì)冷軋主傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性扭轉(zhuǎn)顫振分岔和最大Lyapunov指數(shù)分析，得到了各參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化趨勢(shì)。為進(jìn)一步評(píng)定系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)顫振對(duì)不同參數(shù)變化的敏感性，以不同參數(shù)的最大Lyapunov指數(shù)中的最小值作為該參數(shù)對(duì)系統(tǒng)扭振的敏感系數(shù)，則系統(tǒng)的各參變量對(duì)系統(tǒng)的敏感性分析，如圖9所示。由圖9可知，轉(zhuǎn)速波動(dòng)幅值所對(duì)應(yīng)的敏感系數(shù)變化的梯度最大，即在影響冷軋主傳動(dòng)系統(tǒng)非線性扭轉(zhuǎn)顫振的系列參數(shù)中，轉(zhuǎn)速波動(dòng)幅值的變化對(duì)系統(tǒng)非線性扭振的影響最敏感。

圖9 參數(shù)敏感性分析圖Fig.9 Parametric sensitivity analysis diagram

4 冷軋主傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)顫振的吸引子性態(tài)分析

上述對(duì)冷軋主傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)顫振的分岔分析表明:轉(zhuǎn)速波動(dòng)幅值對(duì)該非線性系統(tǒng)的動(dòng)力行為變化最敏感。進(jìn)一步運(yùn)用圖胞映射法，研究分析轉(zhuǎn)速波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)非線性扭振的影響機(jī)制。以轉(zhuǎn)速波動(dòng)幅值δ為變化參數(shù)，對(duì)式（11）進(jìn)行吸引子性態(tài)分析。

圖10（a）～圖10（f）分別表征轉(zhuǎn)速波動(dòng)幅值在δ=0.1，0.3，0.5，0.7，1.1，1.3時(shí)，扭振系統(tǒng)吸引子、吸引域的流形邊界的變化。δ=0.1，該系統(tǒng)相空間中有一個(gè)處于吸引域內(nèi)的吸引子B（1）；隨δ值增大，吸引子B（1）獲得的能量增大，不斷有高能量振子突破原有平衡態(tài)軌道，構(gòu)成吸引子B（1）的振子群中不同能級(jí)的振子逐漸分化為兩個(gè)吸引子A（1）、A（2），如圖10（b）所示；隨δ值繼續(xù)增大，更多振子獲得能量，偏離原有平衡態(tài)軌道，兩個(gè)吸引子A（1）、A（2）逐漸形成各自的吸引域，并在各自吸引域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如圖10（c）和圖10（d）所示，且有明顯的流形邊界，結(jié)合圖8與圖10（c）和圖10（d），δ=0.5與0.7，系統(tǒng)會(huì)因吸引子的分開(kāi)而產(chǎn)生分岔，這也進(jìn)一步證實(shí)了系統(tǒng)能量的轉(zhuǎn)遷會(huì)使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變；隨δ值繼續(xù)增大，兩個(gè)吸引子能量大到足夠使兩者的吸引域完全分開(kāi)，如圖10（e）和圖10（f）所示，分別形成兩個(gè)孤立的吸引子。

圖10 系統(tǒng)的吸引子、吸引域圖Fig.10 The attractor and the attractor domain diagram of the system

5 冷軋主傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)顫振的雙參分岔分析

進(jìn)一步考查冷軋非線性扭振系統(tǒng)中，兩參數(shù)同時(shí)變化對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)性態(tài)的發(fā)展影響。圖11～圖19反映出兩兩參數(shù)匹配時(shí)，系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)流形邊界的參數(shù)域分布情況。

式（11）中取第一式進(jìn)行研究，降階為

圖11 參數(shù)平面μ3-δ上的分岔特性圖Fig.11 Bifurcation characteristic diagram on parameter planeμ3-δ

圖12反映了三次項(xiàng)阻尼比μ3與間隙e同時(shí)變化時(shí)，系統(tǒng)在μ3-e參數(shù)平面上的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)域變化。PB1區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于零，發(fā)生不穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)；PB2區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)在零值附近波動(dòng)，發(fā)生概周期或倍周期運(yùn)動(dòng)；PB3區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)小于零，發(fā)生穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。實(shí)際生產(chǎn)中，為使冷軋系統(tǒng)運(yùn)行平穩(wěn)，應(yīng)盡量使μ3-e的參數(shù)匹配位于PB3域內(nèi)。

圖12 參數(shù)平面μ3-e上的分岔特性圖Fig.12 Bifurcation characteristic diagram on parameter planeμ3-e

高校圖書(shū)館信息素養(yǎng)教育的改進(jìn)措施主要分為兩大部分，第一是舉辦課外學(xué)習(xí)素養(yǎng)教育活動(dòng)，第二是信息素養(yǎng)教育課程的優(yōu)化。

圖13 參數(shù)平面μ3-μ1上的分岔特性圖Fig.13 Bifurcation characteristic diagram on parameter planeμ3-μ1

圖14反映了一次項(xiàng)阻尼比μ1與間隙e同時(shí)變化時(shí)，系統(tǒng)在μ1-e參數(shù)平面上的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)域變化。PD1區(qū)域中，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于零，發(fā)生不穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)；PD2區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)在零值附近波動(dòng)，發(fā)生概周期或倍周期運(yùn)動(dòng)；PD3區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)小于零，發(fā)生穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。實(shí)際生產(chǎn)中，為使冷軋系統(tǒng)運(yùn)行平穩(wěn)，應(yīng)盡量使μ1-e的參數(shù)匹配位于PD3域內(nèi)。

圖14 參數(shù)平面μ1-e上的分岔特性圖Fig.14 Bifurcation characteristic diagram on parameter planeμ1-e

圖15反映了一次項(xiàng)阻尼比μ1與頻率比?同時(shí)變化時(shí)，系統(tǒng)在μ1-?參數(shù)平面上的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)域變化。PE1區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于零，發(fā)生不穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)；PE2區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)在零值附近波動(dòng)，發(fā)生概周期或倍周期運(yùn)動(dòng)；PE3區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)小于零，發(fā)生穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。實(shí)際生產(chǎn)中，為使冷軋系統(tǒng)運(yùn)行平穩(wěn)，應(yīng)盡量使μ1-?的參數(shù)匹配位于PE3域內(nèi)。

圖15 參數(shù)平面μ1-?上的分岔特性圖Fig.15 Bifurcation characteristic diagram on parameter planeμ1-?

圖16反映了間隙e與轉(zhuǎn)速波動(dòng)幅值δ同時(shí)變化時(shí)，系統(tǒng)在e-δ參數(shù)平面上的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)域變化。PF1區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于零，發(fā)生不穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)；PF2區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)在零值附近波動(dòng)，發(fā)生概周期或倍周期運(yùn)動(dòng)；PF3區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)小于零，發(fā)生穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。實(shí)際生產(chǎn)中，為使冷軋系統(tǒng)運(yùn)行平穩(wěn)，應(yīng)盡量使e-δ的參數(shù)匹配位于PF3域內(nèi)。

圖16 參數(shù)平面e-δ上的分岔特性圖Fig.16 Bifurcation characteristic diagram on parameter plane e-δ

圖17反映了間隙e與頻率比?同時(shí)變化時(shí)，系統(tǒng)在e-?參數(shù)平面上的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)域變化。PG1區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于零，發(fā)生不穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)；PG2區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)在零值附近波動(dòng)，發(fā)生概周期或倍周期運(yùn)動(dòng)；PG3區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)小于零，發(fā)生穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。實(shí)際生產(chǎn)中，為使冷軋系統(tǒng)運(yùn)行平穩(wěn)，應(yīng)盡量使e-?的參數(shù)匹配位于PG3域內(nèi)。

圖17 參數(shù)平面e-?上的分岔特性圖Fig.17 Bifurcation characteristic diagram on parameter plane e-?

圖18反映了轉(zhuǎn)速波動(dòng)幅值δ與?同時(shí)變化時(shí)，系統(tǒng)在δ-?參數(shù)平面上的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)域變化。PH1區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于零，發(fā)生不穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)；PH2區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)在零值附近波動(dòng)，發(fā)生概周期或倍周期運(yùn)動(dòng)；PH3區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)小于零，發(fā)生穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。實(shí)際生產(chǎn)中，為使冷軋系統(tǒng)運(yùn)行平穩(wěn)，應(yīng)盡量使δ-?的參數(shù)匹配位于PH3域內(nèi)。

圖18 參數(shù)平面δ-?上的分岔特性圖Fig.18 Bifurcation characteristic diagram on parameter planeδ-?

圖19反映了一次項(xiàng)阻尼比μ1與轉(zhuǎn)速波動(dòng)幅值δ同時(shí)變化時(shí)，系統(tǒng)在μ1-δ參數(shù)平面上的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)域變化。PA1區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)在零值附近波動(dòng)，發(fā)生概周期或倍周期運(yùn)動(dòng)；除此外的其他所有區(qū)域，最大Lyapunov指數(shù)都小于零，發(fā)生穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。實(shí)際生產(chǎn)中，為使冷軋系統(tǒng)運(yùn)行平穩(wěn)，應(yīng)盡量使μ1-δ的參數(shù)匹配避開(kāi)PA1區(qū)域，使系統(tǒng)處于穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)區(qū)域。

圖19 參數(shù)平面μ1-δ上的分岔特性圖Fig.19 Bifurcation characteristic diagram on parameter planeμ1-δ

6 結(jié) 論

以冷軋薄板時(shí)的冷軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)的工作狀態(tài)為研究對(duì)象，構(gòu)建了計(jì)及結(jié)構(gòu)間隙和轉(zhuǎn)速波動(dòng)因素的非線性扭轉(zhuǎn)顫振模型，結(jié)合分岔、最大Lyapunov指數(shù)分析了轉(zhuǎn)速波動(dòng)激勵(lì)下，該系統(tǒng)的非線性扭轉(zhuǎn)顫振隨各參數(shù)變化時(shí)的非線性動(dòng)力行為；通過(guò)對(duì)雙參數(shù)分岔特性分析，獲得了該動(dòng)力系統(tǒng)在雙參數(shù)匹配變化時(shí)的系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)區(qū)間；通過(guò)分析多初值條件下系統(tǒng)吸引子的運(yùn)動(dòng)流形邊界的變化，獲得了該系統(tǒng)的吸引子、吸引域分布圖。結(jié)論如下:

（1）系統(tǒng)參數(shù)改變時(shí)，系統(tǒng)會(huì)歷經(jīng)周期、分岔、混沌等交疊或單一的非線性運(yùn)動(dòng)路徑和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變；且在系統(tǒng)參數(shù)中，轉(zhuǎn)速波動(dòng)幅值對(duì)該系統(tǒng)的非線性扭轉(zhuǎn)顫振的改變最敏感，實(shí)際中，應(yīng)該嚴(yán)格控制薄板軋制冷軋主傳動(dòng)系統(tǒng)中的轉(zhuǎn)速波動(dòng)因素。

（2）在轉(zhuǎn)速波動(dòng)的激勵(lì)下，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)吸引子的能量躍遷、分形、分化、孤立等現(xiàn)象，吸引域的流形邊界的改變比較敏感。

（3）對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的雙參分岔分析表明，在兩兩參數(shù)匹配的前提下，可以找到最大Lyapunov指數(shù)大于零的不穩(wěn)定交集區(qū)域，在生產(chǎn)實(shí)踐中要避開(kāi)這些混沌區(qū)域。

通過(guò)對(duì)冷軋薄板時(shí)冷軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)非線性扭振特性的數(shù)值仿真，明確了在轉(zhuǎn)速波動(dòng)激勵(lì)下的系統(tǒng)扭振動(dòng)特性的變化趨勢(shì)和系統(tǒng)在穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)與不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)間的切換條件和參數(shù)匹配區(qū)間，這為工程實(shí)踐中避開(kāi)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)和參數(shù)優(yōu)選提供了理論依據(jù)。