曲面積分中關(guān)于面積定義的探討

施 云 胡曉雪

（浙江科技學院理學院 浙江杭州 310023）

大部分國內(nèi)高等數(shù)學以及數(shù)學分析教材中曲面積分的定義為：

一、Schwarz反例

上述定義方法無法推廣到求曲面的面積上去。Schwarz曾經(jīng)給出過一個反例，現(xiàn)在把它稱為Schwarz反例。這里簡要地敘述一下Schwarz反例的內(nèi)容。一些教材中也有對Schwarz反例的描述，參見[4]等。

二、曲面面積的定義

接下來，來探討一下如何定義曲面的面積。簡便起見，這里我們主要討論三維空間中的二維曲面的面積。局部的可以用二重積分來定義二維光滑或者分片光滑曲面的面積。

更一般的曲面面積的定義可以參見論文[6]，以及幾何測度論[4，7]等相關(guān)專業(yè)書籍，這里就不加贅述了。

三、曲面積分教學建議

最后，簡要地給出關(guān)于曲面積分教學的一些建議。在這里筆者們建議在高等數(shù)學課程中，講授第一型曲面積分時只需要直接給出曲面積分的定義，如文中的定義1。在數(shù)學分析課程中可以簡要的提到曲面面積的概念，并簡要介紹Schwarz反例，或者建議同學們課后自學，引導學生思考曲線長度和曲面面積定義之間的異同。