探尋本質(zhì) 靜觀其變

許燕

同學(xué)們在學(xué)習(xí)“一元二次方程”這一章時，還記得一元二次方程的求根公式是怎樣得到的嗎？在得到求根公式的過程中有沒有發(fā)現(xiàn)哪些問題是值得我們思考的呢？為什么一元二次方程根的情況取決于式子b2-4ac的符號呢？讓我們帶著這些問題，先來探尋本質(zhì)，再來靜觀其變。

一、探尋本質(zhì)

用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0）。

解：∵a≠0，∴在方程兩邊同時除以a，得x2+[bax]+[ca]=0。移項，得x2+[bax]=[-ca]。

配方，得x2+[bax]+[b24a2]=[-ca]+[b24a2]，即（x+[b2a]）2=[b2-4ac4a2]。

對于上述方程，同學(xué)們覺得能直接開方嗎？通過觀察，我們不難發(fā)現(xiàn)，等式的左邊是一個關(guān)于x的完全平方式，只有當?shù)仁降挠疫吺且粋€非負常數(shù)時才可以運用直接開平方法來解這個方程;反之，當?shù)仁降挠疫吺且粋€負常數(shù)時，該方程在實數(shù)范圍內(nèi)將無實數(shù)根。因此，解此方程就需要對等式右邊的式子（[b2-4ac4a2]）的符號進行討論。由于a≠0，所以分母4a2恒為正，所以方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情況與分子b2-4ac的符號有關(guān)，稱之為“根的判別式”，具體有以下幾種可能的情形：（1）當b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根;（2）當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根;（3）當b2-4ac<0時，方程沒有實數(shù)根。

通過上述回顧，相信同學(xué)們不僅知道什么是“根的判別式”，更明白一元二次方程根的情況為何由式子b2-4ac的符號來確定。根的判別式作為初中階段的一個重要的知識點，在各地的考查中常有出現(xiàn)。下面圍繞這個知識點介紹幾組典型問題，同學(xué)們不妨自己感受一下。

二、靜觀其變

例1 若關(guān)于x的一元二次方程（a-1）·x2-2x+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是。

【分析】一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，結(jié)合題目條件可知[a-1≠0，（-2）2-4（a-1）×2>0，]從而列出關(guān)于a的不等式組加以求解即可。

解：∵一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴[a-1≠0，（-2）2-4（a-1）×2>0，]解得a<[32]且a≠1。故答案為a<[32]且a≠1。

變式1 若關(guān)于x的方程（a-1）x2-2x+2=0有兩個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是。

【分析】題目雖然沒說方程為一元二次方程，但因為方程有兩個實數(shù)根，所以方程必為一元二次方程。由于兩實數(shù)根可能相等或不等，因此根的判別式大于或等于0。結(jié)合題目條件可知[a-1≠0，（-2）2-4（a-1）×2≥0，]求解關(guān)于a的不等式組即可。

解：∵方程有兩個實數(shù)根，

∴[a-1≠0，（-2）2-4（a-1）×2≥0，]

解得a≤[32]且a≠1。

故答案為a≤[32]且a≠1。

變式2 若關(guān)于x的方程（a-1）x2-2x+2=0有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是。

【分析】由于題目既沒說方程為一元二次方程，也沒說方程有幾個實數(shù)根，所以需分兩種情況討論：（1）方程為一元一次方程且有實數(shù)根;（2）方程為一元二次方程且有實數(shù)根。

解：（1）當方程為一元一次方程時，則a-1=0，a=1，此時方程變形為-2x+2=0，x=1，即當a=1時，方程有一個實數(shù)根為x=1;

（2）當方程為一元二次方程時，∵方程有實數(shù)根，

∴[a-1≠0，（-2）2-4（a-1）×2≥0，]

解得a≤[32]且a≠1。

綜上所述：當a≤[32]時，方程有實數(shù)根。

【歸納總結(jié)】以上一組問題考查的是根據(jù)已知方程根的情況，去確定字母系數(shù)的值或范圍，解題時同學(xué)們要抓住以下兩個要點：1.使用根的判別式之前一定要先把方程化為一般形式，正確找出a、b、c的值;2.注意題目中的關(guān)鍵詞“有兩個不相等的實數(shù)根”“有兩個實數(shù)根”以及“有實數(shù)根”的區(qū)別，并注意“一元二次方程”這個隱含條件。

例2 已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（k-1）x+k-3=0，不解方程，請判別當k分別取-1、0、1時一元二次方程根的情況。

【分析】題目要求不解方程判別根的情況，根據(jù)本文前面的講解可知，將k的值分別代入，依次求出對應(yīng)的b2-4ac的值，再結(jié)合它的符號便可確定。

解：（1）當k=-1時，方程變形為x2+2x-4=0。

∵a=1，b=2，c=-4，∴b2-4ac=20>0，

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根。

（2）當k=0時，方程變形為x2+x-3=0。

∵a=1，b=1，c=-3，∴b2-4ac=13>0，

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根。

（3）當k=1時，方程變形為x2-2=0。

∵a=1，b=0，c=-2，∴b2-4ac=8>0，

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根。

變式 對于任意實數(shù)k，試證明關(guān)于x的一元二次方程x2-（k-1）x+k-3=0恒有兩個不相等的實數(shù)根。

【分析】此變式是例2的延伸，體現(xiàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。對于任意的實數(shù)k，要證明該方程恒有兩個不相等的實數(shù)根，只要證明根的判別式的值恒大于0即可。此時可以通過配方法，利用完全平方式的非負性加以證明。

證明：∵a=1，b=-（k-1）=1-k，c=k-3，

∴b2-4ac=（1-k）2-4×1×（k-3）=k2-6k+13=（k-3）2+4。

∵（k-3）2≥0，

∴（k-3）2+4>0，即b2-4ac>0，

∴對于任意實數(shù)k，方程恒有兩個不相等的實數(shù)根。

【歸納總結(jié)】以上一組問題反映的是“由特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，考查了在不解方程的基礎(chǔ)上，如何利用根的判別式去判別一元二次方程根的情況。解題時需先正確找出a、b、c的值，再求出b2-4ac的具體值或利用配方法得出b2-4ac的符號，最后對根的情況進行判別。

例3 已知等腰三角形的一條邊長為7，它的另外兩條邊的邊長是關(guān)于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的兩個實數(shù)根，求這個三角形的周長。

【分析】當讀到“等腰三角形的一邊長為7”，我們就要進行分類討論，即長為7的邊可能為等腰三角形的底，也可能為它的腰。當長為7的邊為底時，則另外兩邊為腰，而另外兩邊恰好是方程的根，則意味著方程有兩個相等的實數(shù)根;當長為7的邊為腰時，則另一腰的長度也為7，即方程必有一根為7，利用方程根的概念求出字母系數(shù)的值。

解：（1）當7為底邊長時，此時方程x2-2（m+1）x+m2+5=0有兩個相等的實數(shù)根，

∴b2-4ac=8m-16=0，解得m=2，

∴方程為x2-6x+9=0，

解得x1=x2=3。

∵3+3<7，

∴不能構(gòu)成三角形。

（2）當7為腰長時，不妨設(shè)另一腰為x1，則x1=7，代入方程得49-14（m+1）+m2+5=0，解得m1=10，m2=4。

當m=10時，方程為x2-22x+105=0，解得x1=7，x2=15，

∵7+7<15，

∴不能構(gòu)成三角形，應(yīng)舍去;

當m=4時，方程為x2-10x+21=0，解得x1=7，x2=3，此時三角形的周長為7+7+3=17。

綜上所述，這個等腰三角形的周長為17。

【歸納總結(jié)】這道題考查的是根的判別式與其他知識的綜合應(yīng)用，解答時注意挖掘隱含條件，體會轉(zhuǎn)化思想以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，同時要注意“三角形三邊關(guān)系”這一隱含條件，養(yǎng)成嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣。

我們通過以上幾組典型問題的解析不難明白，在平時的學(xué)習(xí)和運用知識的過程中，不能把知識降低為機械性的記憶，更應(yīng)該重視知識的形成過程，要有自己獨立的思考，要學(xué)會全面的分析和判斷。盡管問題的外在形式豐富多樣，但內(nèi)在本質(zhì)是統(tǒng)一的。希望同學(xué)們能通過自己的理解和思考，抓住問題的本質(zhì)進而有效地解決相關(guān)問題。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)第一實驗學(xué)校）