讀圖·析圖·構(gòu)圖：幾何直觀力的培育策略

周鵬

[摘? 要] 幾何直觀力是學(xué)生重要的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀力，是小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)然追求。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生讀圖、析圖、構(gòu)圖、創(chuàng)圖，從而萌發(fā)、生長(zhǎng)、彰顯學(xué)生的幾何直觀力，生成學(xué)生的“圖感”。教師要為學(xué)生創(chuàng)造讀圖、畫(huà)圖、創(chuàng)圖的機(jī)會(huì)、條件，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)積極實(shí)踐，從而不斷提升學(xué)生的幾何直觀力。

[關(guān)鍵詞] 幾何直觀;培育策略;小學(xué)數(shù)學(xué)

幾何直觀是學(xué)生重要的學(xué)習(xí)方法，也是學(xué)生學(xué)習(xí)力的重要組成，是一種思維意識(shí)、思維方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生讀圖、析圖、構(gòu)圖，引導(dǎo)學(xué)生形成主動(dòng)用圖分析、用圖思考的意識(shí)、習(xí)慣，生成學(xué)生的“圖感”，進(jìn)而有效地提升學(xué)生的幾何直觀力，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)。

一、讀圖：萌發(fā)學(xué)生的幾何直觀力

解讀直觀圖形的能力是培育學(xué)生的幾何直觀力的根基。著名科學(xué)家愛(ài)因斯坦曾說(shuō)：“我常常借助圖形來(lái)思考，我相信圖形給予我的直覺(jué)、靈感。”對(duì)于小學(xué)生而言，我們不應(yīng)當(dāng)拔高要求，直接要求他們析圖、構(gòu)圖，而首先應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生讀圖。相較于析圖、構(gòu)圖，讀圖更能培育學(xué)生的圖形意識(shí)。通過(guò)讀圖，引導(dǎo)學(xué)生建立抽象與現(xiàn)實(shí)的關(guān)聯(lián)、實(shí)現(xiàn)表象與符號(hào)的轉(zhuǎn)換。

讀圖離不開(kāi)對(duì)圖的感知、觀察、想象。在讀圖的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生“有目的地看”，如“從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)已知哪些條件，要求哪些問(wèn)題”“從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)條件和問(wèn)題之間有怎樣的關(guān)聯(lián)”。在讀圖的過(guò)程中，要讓學(xué)生提煉出相關(guān)的數(shù)學(xué)元素，揣摩出圖形中隱含的元素，等等。要引導(dǎo)學(xué)生看圖想事、引導(dǎo)學(xué)生讀圖說(shuō)理，從而突出學(xué)生的思維過(guò)程，訓(xùn)練學(xué)生的圖形表達(dá)能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，常見(jiàn)的圖主要有線段圖、韋恩圖、集合圖、示意圖等。這些圖，各有各的作用，各有各的功能。解讀圖形，首先就是要認(rèn)識(shí)圖形的每個(gè)部分都表示什么;其次，要認(rèn)識(shí)圖形各個(gè)部分之間的簡(jiǎn)單關(guān)系。以集合圖為例，在表示概念之間的關(guān)系時(shí)，常常需要用到集合圖。比如教學(xué)“2、3、5的倍數(shù)的特征”（蘇教版五年級(jí)下冊(cè)）這一部分內(nèi)容，筆者畫(huà)出了一個(gè)集合圖來(lái)表示“2的倍數(shù)”“3的倍數(shù)”“5的倍數(shù)”。在集合圖中，既有“2的倍數(shù)”“3的倍數(shù)”“5的倍數(shù)”的獨(dú)立部分，也有它們的兩兩相交的部分，還有它們?nèi)齻€(gè)共同的部分。在讀圖的過(guò)程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到哪一部分表示“2的倍數(shù)”、哪一部分表示“5的倍數(shù)”、哪一部分表示“3的倍數(shù)”、哪一部分“即表示2的倍數(shù)又表示5的倍數(shù)”、哪一部分“既表示3的倍數(shù)又表示5的倍數(shù)”、哪一部分“既表示2的倍數(shù)又表示3的倍數(shù)”、哪一部分“即表示2的倍數(shù)又表示3的倍數(shù)還表示5的倍數(shù)”，等等。借助于讀圖，學(xué)生自然能深刻地理解“2、3、5的倍數(shù)”的重合特征，自然產(chǎn)生“探究既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的特征”，等等。這樣的教學(xué)，不僅能讓學(xué)生厘清“2、3、5的倍數(shù)的特征”，而且為學(xué)生學(xué)習(xí)“容斥原理”奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

讀圖能豐富學(xué)生頭腦中的表象，能讓學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，能培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)智慧。在學(xué)生感知、觀察圖形的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住圖形主要的、典型的特征，從而感受、體驗(yàn)到圖形的功用。通過(guò)讀圖，化抽象為具體、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，從而突破學(xué)生的數(shù)學(xué)理解障礙和困惑，催生學(xué)生的圖形思維和想象。

二、析圖：生長(zhǎng)學(xué)生的幾何直觀力

培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀力，不僅要引導(dǎo)學(xué)生讀圖，而且要引導(dǎo)學(xué)生析圖。析圖，能讓學(xué)生深刻地把握?qǐng)D形各部分之間的關(guān)系，并對(duì)圖形展開(kāi)深度思考、探究。如果說(shuō)，讀圖主要在于解讀圖中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，那么析圖就是要讓學(xué)生對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行深度加工。通過(guò)析圖，讓學(xué)生把握?qǐng)D形的層次、圖形的整體。有時(shí)候，析圖還要求學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行變換，對(duì)圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)換，等等。析圖，要讓圖形與描述相伴相隨，讓圖形與思維同在同行。

培養(yǎng)學(xué)生的析圖能力，教師不僅可以出示完整的圖，也可以呈現(xiàn)一些“半成品”，充分利用學(xué)生的完形心理，讓學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行加工、補(bǔ)白、完善。通過(guò)這樣的圖形完善，為構(gòu)圖、創(chuàng)圖奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生構(gòu)圖、創(chuàng)圖的能力是潛移默化、循序漸進(jìn)地培養(yǎng)的。析圖，就是一個(gè)重要的中間環(huán)節(jié)。通過(guò)析圖，一方面深化和鞏固學(xué)生對(duì)圖形的解讀;另一方面為學(xué)生的構(gòu)圖、創(chuàng)圖做好鋪墊、打好前奏。比如教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題”（蘇教版六年級(jí)上冊(cè)）這一部分內(nèi)容，對(duì)于“部分量與整體量”“比較量與標(biāo)準(zhǔn)量”，教師必須引導(dǎo)學(xué)生借助圖形來(lái)表征。只有通過(guò)圖形，“分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題”的講解才不會(huì)是“空對(duì)空”。否則，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，一定會(huì)對(duì)文字等的表述產(chǎn)生枯燥感、乏味感，進(jìn)而喪失學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題”的興趣。對(duì)于“部分量與整體量”，教師可以通過(guò)一根線段圖來(lái)表征，從而引導(dǎo)學(xué)生作出具體的分析，“這一個(gè)量占哪一個(gè)量的幾分之幾”;對(duì)于“比較量與標(biāo)準(zhǔn)量”，教師可以通過(guò)多根線段圖來(lái)表征，從而引導(dǎo)學(xué)生深度思考，“這一個(gè)量是哪一個(gè)量的幾分之幾”;尤其是，對(duì)于“一個(gè)量比另一個(gè)量多幾分之幾（或少幾分之幾）”，可以借助線段圖，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出“哪一個(gè)量是單位‘1的量”“多的量（少的量）占單位‘1的量的幾分之幾”，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生推理出“另一個(gè)量是單位‘1的量的幾分之幾”。有了線段圖，學(xué)生對(duì)各個(gè)量所對(duì)應(yīng)的分率就能形成精準(zhǔn)的把握，從而通過(guò)析圖寫(xiě)出等量關(guān)系，并列式解答。

析圖，能生長(zhǎng)學(xué)生的幾何直觀力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還可以借助圖形，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的模型，從而真正讓圖形成為學(xué)生數(shù)學(xué)思考和探究的抓手。在析圖的過(guò)程中，教師要適度介入，對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效的指導(dǎo)。通過(guò)析圖，能拓展、延伸讀圖的深度，提升讀圖的能力，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)圖與數(shù)、圖與式、圖與圖的和諧統(tǒng)一。

三、構(gòu)圖：彰顯學(xué)生的幾何直觀力

在讀圖、析圖的基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)圖、畫(huà)圖、創(chuàng)圖。從某種意義上說(shuō)，構(gòu)圖、畫(huà)圖、創(chuàng)圖能彰顯學(xué)生的幾何直觀力。應(yīng)該說(shuō)，學(xué)生幾何直觀力的培育不是一蹴而就的，而是要經(jīng)過(guò)一個(gè)長(zhǎng)期的、有意識(shí)的訓(xùn)練過(guò)程。在訓(xùn)練過(guò)程中，教師要滲透幾何直觀思想，讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到幾何直觀的意義和價(jià)值，從而形成自覺(jué)運(yùn)用幾何直觀的意識(shí)，生成運(yùn)用幾何直觀的能力和素養(yǎng)等。

蘇教版四年級(jí)下冊(cè)的“解決問(wèn)題的策略——畫(huà)圖”，是培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)圖、畫(huà)圖、創(chuàng)圖的良好素材。這是一個(gè)專題訓(xùn)練，其目的是引導(dǎo)學(xué)生能通過(guò)畫(huà)圖來(lái)表征題目中的復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，能借助析圖來(lái)剖析題目中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，從而助推學(xué)生解決問(wèn)題。顯然，畫(huà)圖是一種策略，一種有效地解決問(wèn)題的策略。其中“例1”是畫(huà)線段圖，“例2”是畫(huà)示意圖，這兩種圖是小學(xué)階段學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的重要圖形。教學(xué)中，教師還可以將“搭配圖”“轉(zhuǎn)化圖”等納入其中，從而豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，活化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖還要提示學(xué)生標(biāo)注已知條件和問(wèn)題，從而讓圖形更直觀、讓數(shù)量關(guān)系更一目了然。同時(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生注意畫(huà)圖的順序，注意圖形的層次性、結(jié)構(gòu)性。比如筆者出示了這樣的一個(gè)例題：甲乙丙丁四個(gè)隊(duì)進(jìn)行足球比賽，每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽。已知甲隊(duì)已經(jīng)比賽了三場(chǎng)，乙隊(duì)已經(jīng)比賽了兩場(chǎng)，丙隊(duì)已經(jīng)比賽了一場(chǎng)，丁隊(duì)比賽了幾場(chǎng)？分別是與哪個(gè)隊(duì)比賽的？在畫(huà)圖的過(guò)程中，首先要引導(dǎo)學(xué)生抽象構(gòu)圖，將四個(gè)隊(duì)分別用小圓點(diǎn)來(lái)表示;其次要引導(dǎo)學(xué)生表征比賽的結(jié)果，如果每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間進(jìn)行了一場(chǎng)比賽，就用線連接起來(lái);再次要引導(dǎo)學(xué)生邊畫(huà)圖、邊思考：乙隊(duì)是與哪些隊(duì)比賽的？丙隊(duì)是與哪些隊(duì)比賽的？丁隊(duì)是與哪些隊(duì)比賽的？通過(guò)構(gòu)圖、畫(huà)圖，能引導(dǎo)學(xué)生借助直觀的圖形，正確地推出丁隊(duì)的比賽場(chǎng)次。這樣，借助圖形，能有效地突破解題難點(diǎn)。

從幾何直觀視角引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能穿透問(wèn)題的表象，穿越思維的鴻溝，進(jìn)而抵達(dá)問(wèn)題解決的彼岸。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)盡可能地培育學(xué)生構(gòu)圖、畫(huà)圖、創(chuàng)圖的機(jī)會(huì)和條件，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)積極的構(gòu)圖、畫(huà)圖、創(chuàng)圖實(shí)踐，激活學(xué)生的圖感，不斷發(fā)掘?qū)W生讀圖、析圖、構(gòu)圖和創(chuàng)圖的潛質(zhì)。讓學(xué)生通過(guò)圖形的解讀、分析與構(gòu)造，有效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)不斷提升學(xué)生的幾何直觀力。