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    同構(gòu)換元法求解含指對數(shù)混合式的問題

    2021-09-27 05:54:12楊蒼洲
    數(shù)理化解題研究 2021年25期
    關(guān)鍵詞:易知換元元法

    楊蒼洲

    (福建省泉州第五中學(xué) 362000)

    有一類混合指對數(shù)式的函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸試題,常??梢酝ㄟ^指數(shù)與對數(shù)的互相轉(zhuǎn)化,實現(xiàn)局部同構(gòu),并對同構(gòu)部分的式子進(jìn)行換元,從而化繁為簡,并結(jié)合重要不等式進(jìn)行求解,我們把此方法稱為“局部同構(gòu)換元法”.要掌握這種解題方法:

    有了上述的兩個基礎(chǔ)知識,我們就可以應(yīng)用“局部同構(gòu)換元法”解決求函數(shù)的最值、不等式的證明、恒成立問題求參數(shù)等問題.

    一、同構(gòu)換元法求函數(shù)最值

    利用重要的不等式進(jìn)行放縮,是求函數(shù)最值的一種常見方法.因此,含有復(fù)雜的指對數(shù)函數(shù)問題,可以通過局部同構(gòu)換元,并結(jié)合重要不等式進(jìn)行放縮,把函數(shù)放縮至某常數(shù),則該常數(shù)可能為函數(shù)的最值.此時,需注意在函數(shù)的定義域內(nèi)是否存在對應(yīng)的變量使得函數(shù)取得該最值.

    A.a=bB.a

    C.a>bD.a,b的大小關(guān)系不確定

    解法1f(x)=xex-lnx-x-2=elnx+x-(lnx+x)-2,易知et-t≥1,當(dāng)且僅當(dāng)t=0時,等號成立.

    所以elnx+x-(lnx+x)-2≥1-2 =-1.

    所以當(dāng)且僅當(dāng)lnx+x=0時,f(x)取得最小值-1,即a=-1.

    所以ex-lnx-2-(x-lnx-2)-2≥1-2 =-1.

    所以當(dāng)且僅當(dāng)x-lnx-2=0時,g(x)取得最小值-1,即b=-1.

    因此a=b,故選A.

    解法2f(x)=xex-lnx-x-2=xex-ln(xex)-2,易知t-lnt≥1,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時,等號成立.

    所以xex-ln(xex)-2≥1-2=-1.

    故當(dāng)且僅當(dāng)xex=1時,f(x)取得最小值-1,即a=-1.

    因此a=b,故選A.

    二、同構(gòu)換元法證明不等式

    證明含有指對數(shù)式的不等式,可以嘗試先對原不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而構(gòu)造出相同的式子,并進(jìn)行換元,然后構(gòu)造關(guān)于新元的函數(shù),并求解含新元函數(shù)的最值,從而實現(xiàn)不等式的證明.

    例2已知函數(shù)h(x)=(ax-1)·ex,a∈R.

    (1)討論f(x)的單調(diào)性;

    (2)若a=1,求證:當(dāng)x>-1時,h(x)≥exln(x+1)-x-1.

    解法1 (1)略;

    (2)不等式(x-1)·ex≥exln(x+1)-x-1,等價于(x+1)·e-x-ln(x+1)+x-1≥0,等價于eln(x+1)-x-[ln(x+1)-x]-1≥0.

    易知et-t-1≥0.

    令t=ln(x+1)-x,故上式成立,不等式得證.

    解法2 (1)略;

    (2)不等式(x-1)·ex≥exln(x+1)-x-1,等價于(x+1)·e-x-ln(x+1)+x-1≥0,等價于(x+1)·e-x-ln[(x+1)·e-x]-1≥0.

    易知t-lnt-1≥0.

    令t=(x+1)·e-x,故上式成立,不等式得證.

    三、同構(gòu)換元法求參數(shù)范圍

    在含參不等式的恒成立問題中,若能構(gòu)造出幾個熟悉不等式的形式,那么就可以猜測參數(shù)的臨界位置及其范圍,并對其進(jìn)行證明.如此可使得解題目標(biāo)、方向更加明確.

    A.(-∞,1-e] B.(-∞,-3]

    C.(-∞,-2] D.(-∞,2-e2]

    ex·x-3-ln(ex·xa)-1≥0.

    (*)

    易知t-lnt-1≥0,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時,等號成立.

    (1)當(dāng)a≤-3時,由x∈(1,+∞)知,xa≤x-3,ex·xa≤ex·x-3.

    所以ex·x-3-ln(ex·xa)-1≥ex·x-3-ln(ex·x-3)-1≥0,故(*)恒成立,滿足題意.

    (2)當(dāng)a>-3時,由x∈(1,+∞)知,xa>x-3,ex·xa>ex·x-3.

    所以ex·x-3-ln(ex·xa)-1

    又因為當(dāng)x=x0時,ex·x-3-ln(ex·x-3)-1=0,此時ex·x-3-ln(ex·xa)-1<0,不滿足題意.

    綜上,a≤-3.

    (*)

    易知et-t-1≥0,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時,等號成立.

    令t=x-3lnx,則ex-3lnx-(x-3lnx)-1≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=x0(其中x0滿足x0-3lnx0=1)時,等號成立.

    (1)當(dāng)a≤-3時,由x∈(1,+∞)知,lnx>0,alnx≤-3lnx,x-3lnx≥x+alnx.

    所以ex-3lnx-(x+alnx)-1≥ex-3lnx-(x-3lnx)-1≥0,故(*)恒成立,滿足題意.

    (2)當(dāng)a>-3時,由x∈(1,+∞)知,lnx>0,alnx>-3lnx,x-3lnx

    所以ex-3lnx-(x+alnx)-1

    又因為當(dāng)x=x0時,ex-3lnx-(x-3lnx)-1=0,此時ex-3lnx-(x+alnx)-1<0,不滿足題意.

    綜上,a≤-3.

    由上述三例可知,此方法的應(yīng)用:一在于如何進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?,從而得到相同的式子;二在于心中要有幾個重要的不等式及其變式.此方法的應(yīng)用一般都可以有兩條途徑,即,若能利用不等式t-lnt-1≥0解題,也應(yīng)該能利用不等式et-t-1≥0解題.

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