用數(shù)學文化滋養(yǎng)理性精神
——《走進幻方》教學

文|戚洪祥

與常規(guī)知識相比，數(shù)學文化因其特有的趣味性、故事性而被學生所喜愛。為了落實《數(shù)學課程標準（2011年版）》提出的“數(shù)學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中”這一要求，現(xiàn)行的各版本教材通過原題植入、方法融入、史料嵌入等方式，從多個角度將數(shù)學文化引入數(shù)學教育教學活動。由“河圖”“洛書”演變而來的“三階幻方”因其神秘的“幻和”，常常在中低年級教學整數(shù)加法時出現(xiàn)，用以激發(fā)學生的學習興趣。恰巧2020年鹽城市中考將“三階幻方”編入考題，以此為生活背景，設計了一節(jié)五年級數(shù)學文化活動課。

【教學過程】

一、挑戰(zhàn)考題，激發(fā)學生學習興趣

師：同學們知道中考嗎？中考雖然離咱們小學生很遙遠，但中考數(shù)學卷上卻有我們小學生會做的題。這是一道2020年鹽城市中考題，請你試試看。

PPT出示題目：

把1~9這9個數(shù)填入3×3的方格中，使其任意一行、任意一列及兩條對角線上的數(shù)之和都相等，這樣便構成了一個“九宮格”。它源于我國古代的“洛書”（圖1），是世界上最早的“幻方”。圖2是僅可以看到部分數(shù)值的“九宮格”，則涂陰影的小方格內應該填（）。

圖1

圖2

A.1 B.3 C.6 D.無法確定

生：我選A。我是根據(jù)圖1，看到涂陰影的小方格對應的是1個圓圈，所以我認為它應該填1。

（教師借助PPT將兩個圖重疊在一起，出示圖3。師生一起讀圖，2對應著2個點……而陰影部分對應著1個點，所以應該填1）

圖3

生：我也選A，但我的方法與他不同。我是根據(jù)“任意一行、任意一列及兩條對角線上的數(shù)之和都相等”這個信息來算的，根據(jù)斜線上的8、5、2可以算出和是15，最右邊一列已經有了2和7，所以右下角那一格為6。這時最下面一行有了8和6，那么中間一個數(shù)就應該是1。

師：感謝這兩位同學，一道中考題，我們五年級的同學卻能用兩種不同的方法解決，真是非常厲害，老師為你們點贊。你能繼續(xù)將這個九宮格填完嗎？

（學生獨立思考后回答，教師呈現(xiàn)完整的“九宮格”）

師：這個九宮格圖其實我們并不陌生。一年級時，我們就會填“九宮格”（出示圖4）。到了四年級時，我們還學會了借助計算器從加法的角度探究“九宮格”的奧秘（出示圖5）。

圖5 蘇教版四年級下冊第43頁

師：像這樣橫、豎、斜格中數(shù)的和都相等的方格圖，在數(shù)學里叫“幻方”，相等的和叫“幻和”?！熬艑m格”的橫、豎、斜都有三格，所以又叫“三階幻方”，我們今天一起走進幻方，探索其中的奧秘。

二、問題引學，探究三階幻方奧秘

1.獨立觀察，初探奧秘。

師：三階幻方可不只有同學們填的這一種（PPT出示圖6），觀察一下，你發(fā)現(xiàn)了什么？

圖6

生：每種填法橫、豎、斜格中數(shù)的和都等于15。

師：是的，這個15就是三階幻方的幻和。

生：我發(fā)現(xiàn)對角都是1和9、2和8、3和7、4和6這樣一對一對的。

師：這一對一對有什么相同點？

生：它們的和都是10。

生：我發(fā)現(xiàn)5都在正中間一格。

師：一對的兩個數(shù)和為10，再加上中心位置的5，所以幻和是15。

2.自主學習，突破難點。

師：有人研究過三階幻方的所有填法，發(fā)現(xiàn)5如果不在中心位置，就填不起來了。你有什么疑問嗎？

生：為什么三階幻方的中心一定是5？

師：這個問題真好！請大家四人小組借助《學習單》研究一下。

生：我們選擇的是第二種填法。中間橫行的三個數(shù)分別是（9，5，1），中間豎行的三個數(shù)是（3，5，7），斜格的兩組數(shù)分別是（4，5，6）和（8，5，2），這四組數(shù)的和是60。

生：我們選擇的是第一種填法，和也是60。

生：我們也是60，我們選的是第四種。

生：其實每一種填法的和都是60，因為三階幻方的幻和是15，四組數(shù)就是4個幻和，15×4=60。

師：感謝這位同學的解釋，繼續(xù)匯報第二個問題。

生：1至9的和是45。

生：我們發(fā)現(xiàn)4個幻和中5出現(xiàn)的次數(shù)最多，它出現(xiàn)了4次，其余每個數(shù)都只出現(xiàn)了1次。

生：60比45多了15，就是因為5多出現(xiàn)了3次，所以中間數(shù)一定是5。

師：（PPT演示）中間橫行、中間豎行、兩個斜格一共有12個小方格，它們的和是60。所有的方格都被圈到了，它們的和是45，處于中心位置的方格被圈了4次，也就是多圈了3次，所以相差的15就是中心方格中數(shù)的3倍，中間位置的數(shù)一定是5。

3.讀思結合，理解填法。

師：三階幻方的神奇奧秘一下子被大家發(fā)現(xiàn)了。如果沒有這幾個圖做參考，你們能不能用1~9這9個數(shù)，也填一個三階幻方呢？

（學生獨立嘗試，同桌檢查）

師：這里有三階幻方的幾種填法，我們一起來了解一下。先來看名氣最大的“楊輝填法”（PPT出示圖7），誰來讀一讀？

圖7

師：對照上面的圖，你能看明白每句話的意思嗎？動手試一試。

（學生動手嘗試，同桌交流）

師：（PPT出示）“好玩的數(shù)學”系列叢書中的《幻方與素數(shù)》介紹了這樣一種填法，誰讀一讀？

生：戴9履1，左3右7，2、4為肩，6、8為足，5在中間。

師：這段話比“楊輝填法”難懂一些，誰能結合填好的三階幻方解釋一下？

（學生嘗試解釋）

師：戴，就是頭上戴的東西，也就是頭的位置；履，就是鞋的意思，指向下面一行的中間。把三階幻方想象成人，根據(jù)人體的各部分來記憶每個數(shù)的位置，也是我國古代數(shù)學家的創(chuàng)舉。

4.實踐應用，體驗填法。

師：你還有什么問題嗎？

生：三階幻方是不是一定要用1~9這9個數(shù)？

生：有沒有四階幻方、五階幻方？

師：好問題！我們依次來研究，對于第一個問題，你們覺得呢？

生：我覺得2~10也行。

生：只要9個數(shù)是等差數(shù)列就一定行。

師：請你用5、15、25、35、45、55、65、75、85這9個數(shù)來填一填。

生：（展示填法，如圖8）中間數(shù)為45，幻和為135。

圖8

三、學法遷移，自主探究四階幻方

1.整體觀察，自由表達。

師：會不會有四階幻方呢？（PPT出示圖9）老師這里就有一

圖9

個，誰來介紹一下它？

生：它有四行，每行四個數(shù)。

生：填的數(shù)是1~16這16個數(shù)。

生：與三階幻方不同，它沒有中間一個數(shù)，因為4是偶數(shù)。

生：它的幻和是34。

師：請大家驗證一下，它的幻和是不是34？

生：（驗證并匯報）每行、每列、斜行四個數(shù)的和都是34。

生：我還發(fā)現(xiàn)左上角的四個數(shù)16、2、5、11這四個數(shù)的和也是34。

生：每個角上四個數(shù)的和都是34。

師：是的。在這個四階幻方中，不止每行、每列、斜行四個數(shù)和相等，左上、左下、右上、右下四個區(qū)域方格中數(shù)的和也都等于幻和。（PPT借助不同的顏色相機呈現(xiàn)）

2.讀圖辨析，自悟填法。

師：想不想知道四階幻方是怎么填的？（PPT出示下圖）請大家仔細觀察，試著用簡短的語言總結一下四階幻方的填法。

生：先把16個數(shù)從小到大寫成四行，然后先把四個角上的數(shù)對換一下，最后再把中間的四個數(shù)對換一下。

師：你說的對換是怎樣的？

生：（演示）這樣斜過來對換。

3.嘗試應用，自破定勢。

師：說得真好！老師在一年級的書上看到了這樣的一個方格圖（PPT出示圖10），用剛才的方法進行變換，能將它變成一個四階幻方嗎？咱們先猜一猜。

圖10 蘇教版

一年級下冊第78頁

生：我猜不能，因為它們不是等差數(shù)列，中間少了11、21、31三個數(shù)。

師：看來許多同學都同意你的觀點。猜想需要驗證，請大家利用《學習單》上4×4的方格圖，換一換，填一填。

生：我將3和39、9和33、15和27、17和25分別調換，然后計算發(fā)現(xiàn)橫、豎、斜得到的和都是84，竟然是一個四階幻方。（如圖11）

圖11

師：現(xiàn)在你想說什么？

生：填的數(shù)不一定是連續(xù)自然數(shù)，也不一定是等差數(shù)列的數(shù)。

師：是呀！幻方里的數(shù)是不固定的，但它們都有一定的規(guī)律。

四、歸類填法，嘗試構造奇階幻方

1.歸類填法，引出數(shù)學閱讀。

師：回顧學習過程，你現(xiàn)在頭腦中有沒有產生新的問題？（PPT出示三階幻方、四階幻方圖）

生：有沒有五階幻方？它應該怎么去填呢？

師：剛剛研究了三階幻方、四階幻方，自然而然就會想到有沒有五階幻方，甚至六階、七階，如果用從1開始的連續(xù)自然數(shù)去填，它們的幻和又會是多少？我在準備這節(jié)課的時候，也與同學們一樣，產生了許多問題。有了問題怎么辦呢？

生：上網查資料、看書。

師：這些都是好方法，老師喜歡用課外閱讀來解決自己的問題。通過閱讀《幻方與素數(shù)》這本書，我對幻方問題有了非常詳細的了解。這是根據(jù)書中的內容，總結出了所有“奇階幻方”的填法。（PPT出示填法）1居上行正中央，依次斜填不能忘；上出下補右則左，無路可走下一格。

奇階幻方

師：請你來讀一讀，想一想每句是什么意思。

生：奇階幻方，就是三階、五階、七階這樣的，奇數(shù)的幻方。

生：“1居上行正中央”的意思就是把1寫在最上面一行的正中間位置。“依次斜填不能忘”，我的感覺就是應該要斜過來填。

師：你的感覺真好，就是要斜著向上填。

2.直觀演示，準確理解填法。

師：后面兩句是有難度的，下面我們以三階幻方為例，借助演示，邊讀邊填邊理解。（PPT出示圖12）

圖12

3.實踐體驗，形成創(chuàng)造能力。

師：請用這樣的方法，在《學習單》上自己構造一個三階幻方或五階幻方。

（學生嘗試填，教師巡視并展示學生作品，略）

師：有興趣的同學，課后可以用這樣的方法嘗試去創(chuàng)造一個更高階的奇次幻方。