車(chē)輛沖擊荷載作用下橋梁振動(dòng)響應(yīng)分析

王亞?wèn)|，石興娜

（1.中交機(jī)場(chǎng)勘察設(shè)計(jì)院有限公司，廣州 510230；2.廣州華夏職業(yè)學(xué)院建筑與藝術(shù)傳媒學(xué)院，廣州 510935）

在車(chē)輛沖擊荷載和自然環(huán)境長(zhǎng)期共同作用下，橋梁結(jié)構(gòu)都不同程度地存在結(jié)構(gòu)性缺陷、損傷和功能性失效。為確保橋梁結(jié)構(gòu)安全和正常使用，需定期對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行檢測(cè)。靜載試驗(yàn)是橋梁檢測(cè)的主要方法，其測(cè)試?yán)碚撆c技術(shù)較為成熟，但測(cè)試成本較高，且在交通要道或特殊地形條件下難以實(shí)施[1-4]。近年來(lái)，橋梁動(dòng)態(tài)測(cè)試方法因其方便快捷的優(yōu)勢(shì)，備受廣大工程技術(shù)人員青睞，但動(dòng)載檢測(cè)方法仍存在一定局限性，在精度方面存在一定不足[5]。如何提高移動(dòng)汽車(chē)荷載作用下橋梁撓度、應(yīng)力、應(yīng)變等試驗(yàn)精度是橋梁動(dòng)態(tài)測(cè)試研究的目標(biāo)。沖擊系數(shù)是連接橋梁靜載試驗(yàn)與動(dòng)載試驗(yàn)的中間紐帶，也是解決橋梁快速檢測(cè)的關(guān)鍵。

影響橋梁沖擊系數(shù)的因素包括：車(chē)輛行駛速度、路面平整度、橋梁剛度等，其中路面平整度最為復(fù)雜。首先，路面平整度引起的汽車(chē)荷載對(duì)橋梁的動(dòng)態(tài)沖擊不容忽視；其次，路面平整度具有隨機(jī)性和不確定性，準(zhǔn)確描述路面平整度非常困難。為此，提出采用枕木跳車(chē)測(cè)試方法來(lái)壓制路面平整度影響的測(cè)試方法，即跳車(chē)條件下的動(dòng)載沖擊系數(shù)不再受路面平整度影響。

首先，基于車(chē)-橋耦合振動(dòng)理論利用數(shù)值計(jì)算方法求解耦合振動(dòng)方程，對(duì)車(chē)輛行駛速度、路面平整度等影響橋梁沖擊系數(shù)的主要因素進(jìn)行研究；其次，進(jìn)一步分析枕木跳車(chē)條件下的車(chē)-橋系統(tǒng)耦合振動(dòng)問(wèn)題。研究結(jié)果表明：枕木跳車(chē)測(cè)試方法能有效壓制路面平整度對(duì)橋梁沖擊系數(shù)的影響，避免了定量描述路面平整度的困難，為橋梁快速動(dòng)態(tài)測(cè)試奠定基礎(chǔ)。

1 車(chē)-橋耦合系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型及相關(guān)理論

車(chē)-橋耦合振動(dòng)是一種強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題，先后經(jīng)歷了5 個(gè)研究階段[6]。其中，1954年Biggs 提出利用勻速移動(dòng)單自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)分析簡(jiǎn)支梁動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題的理論模型?；谠摾碚撃Ｐ停⒁肼访嫫秸葪l件，可用于分析路面平整度對(duì)車(chē)-橋耦合系統(tǒng)的影響。

1.1 車(chē)-橋耦合系統(tǒng)計(jì)算理論

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理建立簡(jiǎn)支梁、彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)平衡方程如下

式中：E 為簡(jiǎn)支梁彈性模量；I 為抗彎慣性矩；y 為關(guān)于時(shí)間和位置的撓度函數(shù)；y˙和y′分別為關(guān)于時(shí)間和位置的一階導(dǎo)數(shù)；m 為簡(jiǎn)支梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量；M 為車(chē)輛質(zhì)量；g 為重力加速度；z 為車(chē)輛質(zhì)量相對(duì)于平衡位置的位移；r 為路面平整度值；k 為彈簧剛度；c 為彈簧阻尼；v 為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)（車(chē)輛）水平方向的行駛速度；t 為時(shí)間；δ 為狄拉克函數(shù)。

采用數(shù)值計(jì)算方法求解振動(dòng)微分方程[7-11]。根據(jù)模態(tài)疊加原理，橋梁振動(dòng)位移可表示為振型的級(jí)數(shù)形式，即

式中：φn（x）是與x 相關(guān)的三角函數(shù)；qn（t）是與時(shí)間t相關(guān)的位移函數(shù)；L 為簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)度。將式（3）和式（4）代入式（1）和式（2）并利用模態(tài)函數(shù)正交性對(duì)式（1）積分，同時(shí)引入邊界條件：簡(jiǎn)支梁兩端位移為0、彎矩為0。式（1）和式（2）可表示為

式中ωi為簡(jiǎn)支梁固有振動(dòng)頻率。

在qn（0）=q˙n（0）=z（0）= z˙（0）=0 初始條件下，可知上述方程組可求出唯一解。采用四階Runge-Kutta 算法，利用數(shù)值計(jì)算方法依次可求得qn（t）、q˙n（t）、z（t）、z˙（t）時(shí)間序列，從而求出式（1）和式（2）中y 和z的解。

1.2 路面平整度函數(shù)計(jì)算理論

路面平整度是具有0 均值、各態(tài)歷經(jīng)性的高斯平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，可利用路面平整度的功率譜密度獲得路面平整度值[12]。采用由隨機(jī)相位角組成的三角函數(shù)線性疊加模型計(jì)算路面平整度值。路面平整度的功率譜密度計(jì)算如下

式中：n 為空間頻率；n0為基準(zhǔn)空間頻率；Gx（n）為空間頻率n 對(duì)應(yīng)的功率譜密度；Gx（n0）為基準(zhǔn)空間頻率n0對(duì)應(yīng)的功率譜密度，又稱(chēng)為路面平整度系數(shù)，可通過(guò)查表獲得；w 為頻率指數(shù)，一般情況下取值為2。

由于汽車(chē)具有一定的隔振作用，僅選取對(duì)振動(dòng)影響顯著的有效空間頻率區(qū)間進(jìn)行計(jì)算[12]。根據(jù)三角級(jí)數(shù)法求解路面平整度值公式如下

式中：nk為有效空間頻率內(nèi)的離散值；φn為[0，2π]中均勻分布的隨機(jī)相位角；A（nk）為空間頻率nk對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)振幅；Δn 為有效空間頻率分辨率。

通過(guò)上述公式即可得到路面平整度等級(jí)A、B、C、D條件下的路面模型。

1.3 路面平整度對(duì)車(chē)-橋耦合振動(dòng)的影響

由式（1）和式（2）可知路面平整度、車(chē)輛行駛速度是影響振動(dòng)響應(yīng)的因素，其中車(chē)輛行駛速度是可確定變量，路面平整度是隨機(jī)變量，即路面等級(jí)與路面平整度值之間不存在唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系。為更好地研究車(chē)-橋耦合振動(dòng)問(wèn)題，采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對(duì)同一等級(jí)路面隨機(jī)產(chǎn)生100 個(gè)路面平整度樣本進(jìn)行分析，再依次代入式（1）和式（2）求解。選取簡(jiǎn)支梁橋跨中撓度沖擊系數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)支梁橋沖擊系數(shù)）作為統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析。

計(jì)算模型中參數(shù)設(shè)為：M = 30 000 kg；k = 1 ×106N/m；c=2×M×1.0 N·s/m；L=25 m；m=4 800 kg/m；EI=3.48×1010m4。簡(jiǎn)支梁橋在靜載條件下跨中撓度為2.75 mm。

不考慮路面平整度的影響，當(dāng)v=2 m/s、v=10 m/s時(shí),簡(jiǎn)支梁橋跨中撓度位移曲線如圖1 所示。二者跨中撓度最大值分別為2.76、2.81 mm，對(duì)應(yīng)的沖擊系數(shù)為1.004、1.022。計(jì)算結(jié)果表明：車(chē)輛行駛速度越大，簡(jiǎn)支梁橋沖擊系數(shù)越大。

圖1 跨中撓度位移曲線Fig.1 Mid-span deflection displacement curve

考慮路面平整度的影響，車(chē)輛在不同路面等級(jí)和不同勻速行駛速度下簡(jiǎn)支梁橋沖擊系數(shù)均值如表1所示。計(jì)算結(jié)果表明：①?zèng)_擊系數(shù)在同一路面平整度等級(jí)上滿足正態(tài)分布；②路面平整度等級(jí)、車(chē)輛行駛速度均對(duì)沖擊系數(shù)產(chǎn)生影響[13-14]；③當(dāng)4 m/s≤v≤10 m/s時(shí)，車(chē)輛行駛速度對(duì)簡(jiǎn)支梁橋沖擊系數(shù)影響很小，路面平整度對(duì)沖擊系數(shù)影響很大；④當(dāng)v ＜4 m/s 時(shí)，車(chē)輛行駛速度、路面平整度均對(duì)簡(jiǎn)支梁橋沖擊系數(shù)有較大影響。綜上分析，車(chē)輛行駛速度大于4 m/s 時(shí)，路面平整度是影響橋簡(jiǎn)支梁橋沖擊系數(shù)的最主要因素。

表1 不同勻速行駛速度下簡(jiǎn)支梁橋沖擊系數(shù)統(tǒng)計(jì)表Tab.1 Impact coefficient statistics of simply supported beam bridge under the different constant driving speeds

2 跳車(chē)模型分析

路面平整度對(duì)車(chē)-橋耦合振動(dòng)的影響不容忽略，但在實(shí)際工程中定量描述路面平整度非常困難，定性評(píng)價(jià)路面平整度引起的結(jié)果誤差又難以控制。采用橋面枕木跳車(chē)試驗(yàn)方法，能夠有效避免求解路面平整度，使得簡(jiǎn)支梁橋沖擊系數(shù)可表示為僅與跳車(chē)高度、車(chē)輛行駛速度有關(guān)的函數(shù)。

2.1 橋面枕木跳車(chē)簡(jiǎn)化模型

橋面枕木跳車(chē)簡(jiǎn)化模型如圖2 所示，其中h 為跳車(chē)高度。

圖2 橋面枕木跳車(chē)簡(jiǎn)化模型Fig.2 Vehicle′s bumping model of the crosstie

由于橋面跳車(chē)所用枕木高度、長(zhǎng)度相對(duì)于車(chē)輛和橋梁尺寸很小，且車(chē)輛行駛速度緩慢（v≤10 m/s）。為便于計(jì)算進(jìn)行如下假設(shè)：①車(chē)輛行駛過(guò)程中，除跳車(chē)瞬時(shí)外，車(chē)輛與橋梁始終保持接觸；②不考慮枕木對(duì)橋面平整度值的影響；③彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)駛離枕木后在豎直方向上做有初速度的自由落體運(yùn)動(dòng)。由此可求出跳車(chē)后的邊界條件，假設(shè)已求得跳車(chē)前速度（i）、位移z（i），則跳車(chē)后

2.2 橋面枕木跳車(chē)條件下車(chē)-橋耦合振動(dòng)問(wèn)題

模型參數(shù)與1.3 節(jié)保持一致，分別計(jì)算車(chē)輛行駛速度為4 ～10 m/s，枕木高度為5、10、15 cm，路面平整度等級(jí)為A、B、C、D 條件下簡(jiǎn)支梁橋沖擊系數(shù)，計(jì)算結(jié)果如表2～表4 所示。

表2 跳車(chē)高度5 cm 時(shí)簡(jiǎn)支梁橋沖擊系數(shù)統(tǒng)計(jì)表Tab.2 The coefficient statistics of simply supported beam bridge under 5 cm bump height of the vehicle

表3 跳車(chē)高度10 cm 時(shí)簡(jiǎn)支梁橋沖擊系數(shù)統(tǒng)計(jì)表Tab.3 The coefficient statistics of simply supported beam bridge under 10 cm bump height of the vehicle

表4 跳車(chē)高度15 cm 時(shí)簡(jiǎn)支梁橋沖擊系數(shù)統(tǒng)計(jì)表Tab.4 The coefficient statistics of simply supported beam bridge under 15 cm bump height of the vehicle

計(jì)算結(jié)果表明：①相同跳車(chē)高度下，相同路面平整度等級(jí)的簡(jiǎn)支梁橋沖擊系數(shù)在不同車(chē)輛速度下具有相近均值；在相同車(chē)輛速度下，隨著路面平整度變差，沖擊系數(shù)逐漸增大；②對(duì)于路面平整度等級(jí)較好（不低于C 級(jí)）的簡(jiǎn)支梁橋，通過(guò)采用5 cm 高及以上的枕木跳車(chē)法計(jì)算的簡(jiǎn)支梁橋沖擊系數(shù)能有效削減路面平整度的影響，與忽略路面不平整度的沖擊系數(shù)偏差小于5%；③對(duì)于路面平整度等級(jí)較差（D 級(jí))的簡(jiǎn)支梁橋，該方法效果不顯著，采用15 cm 高的枕木跳車(chē)方法計(jì)算的簡(jiǎn)支梁橋與忽略路面不平整度的沖擊系數(shù)偏差為6.6%；④為減小車(chē)輛行駛速度對(duì)枕木跳車(chē)條件下簡(jiǎn)支梁橋沖擊系數(shù)的影響，建議車(chē)輛行駛速度采用4 m/s。

3 工程實(shí)例

以保定市某鋼筋混凝土T 梁橋?yàn)楣こ虒?shí)例，對(duì)枕木跳車(chē)方法進(jìn)行驗(yàn)證。橋梁物理參數(shù)如下：EI=1.2×1010m4；L = 16 m；m = 6 750 kg/m；橋面路面平整度等級(jí)為B 級(jí)。采用加速度傳感器測(cè)試橋梁跳車(chē)振動(dòng)信號(hào)。加載汽車(chē)質(zhì)量為30 t，其中前軸承重為6 t，后軸承重為24 t，車(chē)輛行駛速度5 m/s，枕木設(shè)置在橋梁跨中位置處，枕木高度h=15 m。跳車(chē)時(shí)，汽車(chē)前軸與后軸依次通過(guò)枕木，當(dāng)后軸通過(guò)枕木時(shí)，前軸通過(guò)枕木引起的振動(dòng)已衰減至很小，因此可認(rèn)為前后軸的跳車(chē)沖擊相互獨(dú)立。為便于分析，這里僅考慮后軸對(duì)橋梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，則彈簧-質(zhì)量模型參數(shù)為：c=2×M×1.0 N·s/m；k=1×106N/m。

根據(jù)上述橋梁參數(shù)建立跳車(chē)模型計(jì)算的沖擊系數(shù)均值為2.28，方差為0.002 8。

3.1 試驗(yàn)方法

汽車(chē)緩慢通過(guò)橋梁時(shí)，橋梁加速度響應(yīng)將很小，引起橋梁的變形相當(dāng)于跨中撓度的影響線，將該位移值定義為靜位移。當(dāng)汽車(chē)通過(guò)枕木發(fā)生跳車(chē)后將引起橋梁明顯的加速度振動(dòng)，此時(shí)通過(guò)加速度傳感器測(cè)試分析到的位移是相對(duì)于靜位移線的振動(dòng)位移，定義為相對(duì)動(dòng)位移。相對(duì)動(dòng)位移與靜位移的和定義為總位移[15]。簡(jiǎn)支梁橋跨中截面位移關(guān)系示意圖如圖3 所示。

圖3 簡(jiǎn)支梁橋跨中截面位移關(guān)系示意圖Fig.3 Displacement diagram of simply supported beam bridge

試驗(yàn)中采用美國(guó)橋梁診斷公司（BDI）橋梁疲勞監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，采用動(dòng)靜對(duì)比分析計(jì)算沖擊系數(shù)計(jì)算結(jié)果。加速度傳感器用于采集跨中截面處的加速度信息，對(duì)加速度傳感器所采集數(shù)據(jù)進(jìn)行二次積分即為跨中相對(duì)動(dòng)位移[16]。

工況1汽車(chē)緩慢行駛通過(guò)橋面，采集橋梁跨中撓度。試驗(yàn)結(jié)果表明，橋梁跨中最大靜位移為1.80 mm。通過(guò)計(jì)算分析可知：當(dāng)加載車(chē)后軸位于跨中位置時(shí)，此時(shí)前軸對(duì)跨中撓度的貢獻(xiàn)值為16.6%，即前軸對(duì)跨中位移的貢獻(xiàn)為0.30 mm，則加載汽車(chē)后軸引起的橋梁跨中撓度為1.80-0.30=1.50 mm。

工況2汽車(chē)以5 m/s 的速度通過(guò)橋面并在跨中位置進(jìn)行15 cm 枕木跳車(chē)，通過(guò)布置在橋梁跨中位置的加速度傳感器采集加速度信息。對(duì)加速度傳感器所采集加速度信號(hào)濾波并進(jìn)行二次積分可計(jì)算出橋梁跨中最大相對(duì)動(dòng)位移1.84 mm，則跨中總位移為1.84+1.50=3.34 mm，加速度傳感器實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與二次積分結(jié)果如圖4～5 所示。

圖4 加速度傳感器實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)Fig.4 Measured data of acceleration sensor

圖5 加速度傳感器二次積分結(jié)果Fig.5 Quadratic integral result of acceleration sensor

因此，15 cm 枕木跳車(chē)引起的橋梁跨中沖擊系數(shù)為3.34÷1.50=2.23。

3.2 試驗(yàn)結(jié)果

通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)可知：①車(chē)輛靜載工況下橋梁跨中位移為1.50 mm；②15 cm 枕木跳車(chē)工況下橋梁跨中總位移為3.34 mm；③15 cm 跳車(chē)引起的沖擊系數(shù)為2.23，同跳車(chē)模型計(jì)算的沖擊系數(shù)2.28 相比僅相差2.2%，說(shuō)明計(jì)算方法的正確性。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)車(chē)-橋耦合振動(dòng)系統(tǒng)模型分析了車(chē)輛行駛速度、跳車(chē)高度、路面平整度對(duì)橋梁沖擊系數(shù)的影響，并結(jié)合工程案例分析如下。

（1）利用數(shù)值計(jì)算方法求解車(chē)-橋耦合振動(dòng)方程，模擬車(chē)輛沖擊作用下橋梁振動(dòng)響應(yīng)情況，工程實(shí)例表明該方法能較準(zhǔn)確反映簡(jiǎn)支梁橋在車(chē)輛荷載作用下的響應(yīng)情況，可以用于計(jì)算簡(jiǎn)支梁橋動(dòng)態(tài)響應(yīng)沖擊系數(shù)。

（2）路面平整度、車(chē)輛行駛速度均對(duì)簡(jiǎn)支梁橋沖擊系數(shù)有影響。當(dāng)v ＜4 m/s 時(shí)沖擊系數(shù)隨車(chē)輛行駛速度的增大而顯著增大，當(dāng)速度大于4 m/s 時(shí)，沖擊系數(shù)隨車(chē)輛行駛速度的增大而緩慢增長(zhǎng)。相同加載條件下，同一路面平整度等級(jí)的沖擊系數(shù)滿足正態(tài)分布，不同路面平整度等級(jí)的沖擊系數(shù)變化顯著。

（3）枕木跳車(chē)試驗(yàn)?zāi)苡行褐坡访嫫秸葘?duì)沖擊系數(shù)的影響，當(dāng)車(chē)輛行駛速度、路面平整度等級(jí)滿足一定條件時(shí)（速度大于4 m/s，路面等級(jí)不低于C 級(jí)），5 cm 高跳車(chē)試驗(yàn)?zāi)軌蛉〉昧己玫臏y(cè)試效果。

（4）采用車(chē)輛簡(jiǎn)化模型分析了簡(jiǎn)支梁橋在車(chē)輛沖擊荷載作用下的振動(dòng)響應(yīng)情況，為便于計(jì)算，對(duì)車(chē)輛和橋梁模型進(jìn)行了一定的簡(jiǎn)化，因此計(jì)算結(jié)果存在一定誤差。在后續(xù)的研究工作中將采用有限元方法建立車(chē)輛和橋梁全尺寸模型，分析簡(jiǎn)支梁橋在車(chē)輛沖擊荷載作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)情況。