豐富教材內(nèi)容 凸顯方程本質(zhì)

于偉玲

[摘 要]方程是小學(xué)數(shù)學(xué)中重要的概念。在尊重教材的基礎(chǔ)上，文章深入挖掘教材，將方程的形式化表征與其蘊(yùn)含的思想內(nèi)涵有機(jī)融合，突出等量關(guān)系在列方程中的重要作用，讓學(xué)生經(jīng)歷建立方程模型的過程，凸顯方程本質(zhì)，建構(gòu)方程概念。

[關(guān)鍵詞]方程本質(zhì);等量關(guān)系;建模

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）23-0067-02

“方程的意義”是人教版教材五年級(jí)上冊(cè)第五單元的教學(xué)內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)的開始，它實(shí)現(xiàn)了從算術(shù)思維向代數(shù)思維的重大跨越。學(xué)生在學(xué)習(xí)中需要經(jīng)歷把實(shí)際問題抽象為方程模型，也就是建模的過程，如何滲透這數(shù)學(xué)建模思想，體現(xiàn)方程的核心價(jià)值，這是教師面臨的挑戰(zhàn)。

一、關(guān)于“方程的意義”教材的編排

教材編排“方程的意義”時(shí)是以連環(huán)畫（5幅圖片）的形式呈現(xiàn)的，第一幅圖：由天平左右兩端平衡引出等式;第二幅圖：天平平衡，發(fā)現(xiàn)空杯子的質(zhì)量是100克;第三幅圖：空杯子中加水后顯然比100克重;第四幅圖：兩次調(diào)試，由方程不平衡引出不等式;第五幅圖：第三次調(diào)試方程平衡，由一杯水重250克列出含有未知數(shù)的等式。最后脫離天平模型列出含有未知數(shù)的等式，總結(jié)方程的意義。

教材內(nèi)容很簡單，教師是應(yīng)該遵循教材，還是拋棄教材，進(jìn)行大刀闊斧地創(chuàng)新呢？筆者查閱了各個(gè)版本的教材，對(duì)比和分析后發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)都是采用天平這個(gè)媒介引入等式和方程，再也沒有比天平作為等式的模型更直觀，更利于學(xué)生理解了。“天平”這一形式化的媒介，生動(dòng)揭示了方程概念的內(nèi)涵和外延。這是一節(jié)課題研究課，借助視頻動(dòng)態(tài)演示能體現(xiàn)信息技術(shù)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用優(yōu)勢?；镜慕虒W(xué)思路已經(jīng)清晰：尊重教材的基礎(chǔ)上深入挖掘教材內(nèi)容，豐富方程的內(nèi)涵。

怎樣才能講出方程的本質(zhì)和內(nèi)涵呢？著名數(shù)學(xué)家陳重穆教授指出：“‘含有未知數(shù)的等式叫方程這樣的定義要淡化，不要記，無須背，更不要考。關(guān)鍵是要理解方程思想的本質(zhì)以及它的價(jià)值和意義。”因此，要改變常規(guī)課堂中緊扣方程字面意義的局面，從靜態(tài)定義轉(zhuǎn)向讓學(xué)生積極主動(dòng)地動(dòng)態(tài)建構(gòu)對(duì)方程的認(rèn)識(shí)，從表面深入其本質(zhì)，真正領(lǐng)悟方程的思想精髓。

二、此“等式”，非彼“等式”

教材中第一幅圖的天平左邊有2個(gè)50克砝碼，右邊有一個(gè)100克砝碼，天平處于平衡狀態(tài)，要求學(xué)生列出一個(gè)等式，為接下來利用天平認(rèn)識(shí)方程提供了有利的支撐。

【教學(xué)片段1】

演示天平平衡：

師：天平上發(fā)生了什么？

生1：天平左邊放了2個(gè)50克的砝碼，右邊放了100克砝碼，天平平衡了。

師：能用一個(gè)式子把天平左右兩邊相等的關(guān)系表示出來嗎？

生2：50+50=100。

師：誰來說說這個(gè)式子的各個(gè)部分是怎樣得到的？

生3：左邊是2個(gè)50克的砝碼，就是50+50，右邊是100克砝碼，左邊和右邊相等，所以用等號(hào)連接。

師：像這樣表示左右兩邊相等的式子就是等式。

師：大家在低年級(jí)時(shí)就會(huì)口算50+50，今天這個(gè)50+50=100和口算50+50=100一樣嗎？

生4：不一樣的，今天學(xué)習(xí)的這個(gè)等式是通過天平平衡得到的。

師：對(duì)呀，今天學(xué)習(xí)的這個(gè)等式帶給我們不一樣的體驗(yàn)，它是通過天平兩邊平衡之后得到的。

利用天平平衡讓學(xué)生列出等式對(duì)五年級(jí)學(xué)生來說并不是一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)閷W(xué)生從一年級(jí)開始就會(huì)用等式表示運(yùn)算結(jié)果。但是今天學(xué)習(xí)的等式和以前學(xué)習(xí)的等式內(nèi)涵一樣嗎？學(xué)生對(duì)這個(gè)概念是模糊的，這就需要利用天平對(duì)等式進(jìn)行全新的學(xué)習(xí)。學(xué)生以前接觸的算式是知道數(shù)據(jù)和運(yùn)算符，通過運(yùn)算得出結(jié)果，這就是程序化的思考方式，它是單向的。而這節(jié)課認(rèn)識(shí)的等式是結(jié)構(gòu)化的思考方式，它表達(dá)的是一種關(guān)系和結(jié)構(gòu)，等號(hào)兩邊的數(shù)學(xué)對(duì)象是等價(jià)的。等式是認(rèn)識(shí)方程的基礎(chǔ)，方程表示的也是一種等價(jià)關(guān)系，雖然都是等式，但是有本質(zhì)區(qū)別。

三、未知數(shù)與已知數(shù)“平起平坐”

學(xué)生以前學(xué)習(xí)的都是用已知數(shù)通過運(yùn)算得到未知數(shù)，也就是算術(shù)的解法，而方程就是在未知數(shù)與已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系，未知數(shù)和已知數(shù)一樣參與運(yùn)算，享受同等的地位，這是算術(shù)向代數(shù)發(fā)展的重大飛躍。在教學(xué)中如何體現(xiàn)方程這一核心本質(zhì)呢？

【教學(xué)片段2】

視頻演示天平經(jīng)過三次調(diào)試平衡的過程：

師：一起來看一看找平衡的過程。通過第一幅圖，我們知道了什么？

生1：空杯子的質(zhì)量是100克。

師：第二、三、四幅圖的意思是什么？

生2：第二幅圖中，空杯子加水之后一定會(huì)比100克重;第三幅圖中，右邊加100克砝碼之后，天平的左邊重一些;第四幅圖中，繼續(xù)調(diào)試，右邊再加100克砝碼，天平右邊又重了，說明這杯水比300克砝碼輕。

師：通過第三幅和第四幅圖，想到什么？

生3：這杯水的質(zhì)量應(yīng)該在200克與300克之間。

師：最后一次調(diào)試，把右邊的一個(gè)100克砝碼換成50克砝碼。經(jīng)過三次調(diào)整，天平終于平衡了。

師：我們已經(jīng)知道空杯子的質(zhì)量是100克，可以把它看成已知數(shù)，水的質(zhì)量不知道，那應(yīng)該怎么辦呢？用x克來表示，能用一個(gè)等式把天平左右兩邊相等的關(guān)系表示出來嗎？

生4：100+x=250。

師：通常情況下我們用x、y、z來表示未知數(shù)。

師：在以前的學(xué)習(xí)中，未知數(shù)不會(huì)出現(xiàn)在我們列的算式中?，F(xiàn)在它不但出現(xiàn)了，而且和50、100這樣的已知數(shù)平起平坐。這標(biāo)志著我們的學(xué)習(xí)進(jìn)入了一個(gè)新的階段。

本節(jié)課的重點(diǎn)是建模思想，因?yàn)樗欠匠趟枷氲暮诵?。方程的模型就是用等?hào)將相互等價(jià)的兩件事情聯(lián)系起來，在闡述這個(gè)事實(shí)中，未知數(shù)因勢而生，把它和已知數(shù)放到了同等的地位，就要引領(lǐng)學(xué)生轉(zhuǎn)換視角，把未知數(shù)看成一個(gè)已知條件參與到運(yùn)算中，這對(duì)于學(xué)生來說是一種思維的顛覆。

四、“等量關(guān)系”不能避而不談

人教版教材 “方程的意義” 中并沒有提到等量關(guān)系，那么教學(xué)中是否要把等量關(guān)系提煉出來呢？構(gòu)建方程的最重要的環(huán)節(jié)就是分析具體情境中的數(shù)量關(guān)系，找出兩件等價(jià)的事情后建立等式，也就是數(shù)量間的相等關(guān)系即等量關(guān)系，如果避而不談，弱化等量關(guān)系，學(xué)生就會(huì)憑著感覺走，對(duì)方程的認(rèn)識(shí)就會(huì)僅僅停留在形式上，不能上升到理性認(rèn)識(shí)，淡化了對(duì)方程內(nèi)涵的理解。學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)只有集中到方程表示的等量關(guān)系，對(duì)于方程的認(rèn)識(shí)才能達(dá)到更高的水平。因此在教學(xué)過程中，還是要讓學(xué)生找出等量關(guān)系，經(jīng)歷構(gòu)建方程的過程。

【教學(xué)片段3】

視頻演示調(diào)試砝碼天平平衡：

學(xué)生列出含有未知數(shù)的等式：

[杯子的質(zhì)量+水的質(zhì)量=砝碼的質(zhì)量][100+x=250]

師：這個(gè)等式表示什么？

生1：天平的左邊表示杯子加水的質(zhì)量，天平的右邊表示砝碼的質(zhì)量。

師：這是根據(jù)“杯子的質(zhì)量+水的質(zhì)量=砝碼的質(zhì)量”這個(gè)等式列出來的。大家不要小瞧了這個(gè)相等關(guān)系，我們稱它為等量關(guān)系。100+x=250這個(gè)等式就是根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系寫出來的。

師：同桌先說一說，再結(jié)合下圖說說這個(gè)等式表示的意思，它的等量關(guān)系是什么？

在建立方程模型的過程中，一般是先讓學(xué)生用自己的語言闡述要解決的問題，然后抽象為數(shù)學(xué)語言，提煉出等量關(guān)系，最后用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程解決問題，建立方程的關(guān)鍵就是找出等量關(guān)系。學(xué)生在這節(jié)課上才初識(shí)等量關(guān)系，教材中提供的具體情境比較簡單，學(xué)生又剛剛認(rèn)識(shí)了等式，所以順應(yīng)學(xué)生的思維先列出等式，再讓學(xué)生講講等式表達(dá)的含義，自然引出等量關(guān)系，最后通過練習(xí)再次強(qiáng)化等量關(guān)系。實(shí)踐證明，方程模型的建立不是一蹴而就的，需要一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，但是對(duì)方程本質(zhì)的深入認(rèn)識(shí)要貫穿其中。

對(duì)方程思想的認(rèn)識(shí)比定義更重要，體會(huì)等量關(guān)系比技巧訓(xùn)練更重要。讓學(xué)生在具體情境中，經(jīng)歷建構(gòu)方程模型、解決問題的過程中，感悟方程的思想內(nèi)涵，應(yīng)該是方程教學(xué)的價(jià)值所在。

（責(zé)編 金 鈴）