周期開孔約束阻尼板的有限元建模與阻尼特性分析

房占鵬，劉志奇，侯俊劍，冉凱文

（鄭州輕工業(yè)大學河南省新能源汽車輕量化設計與制造工程研究中心,河南 鄭州450002）

1 引言

粘彈性阻尼材料不僅具有重量輕、成本低、可靠性高、易于實現(xiàn)的優(yōu)點，而且具有良好的噪聲和振動控制能力，被廣泛應用于汽車、船舶、航空航天等領域［1］。通過對粘彈性阻尼材料減振機理深入分析,局部覆蓋的阻尼結構更適用于工程應用的結構。周期開孔阻尼結構作為局部覆蓋阻尼結構的一種,具有構型規(guī)整,對特定頻段具有很好的減振降噪效果等特點［2］。文獻3］對周期開孔自由阻尼管道結構進行了有限元建模，對比了全覆蓋自由阻尼管道和周期開孔的自由阻尼管道的振動響應，結果表明：在某一頻段內(nèi)，某一頻段內(nèi)，周期開孔自由阻尼管道結構的減振響應比全覆蓋結構的減振響應有明顯的下降。周敬東等［4］研究了周期性開孔阻尼夾層板結構的聲輻射特性，分析了開孔率和周期數(shù)對周期性開孔阻尼夾層板結構聲輻射特性的影響。文獻［5］針對傳統(tǒng)大塊敷設阻尼雖能提高隔聲量，但不利于輕量化的問題，提出了二維周期阻尼結構并分析了阻尼塊分布、形狀等參數(shù)對薄板隔聲特性的影響。在以上研究中，采用傳統(tǒng)的有限元方法在對周期開孔的阻尼結構建模，保證計算精度，需對有限元網(wǎng)格細化，使建立的有限元模型單元數(shù)多，動力學分析時計算效率低。

均勻化方法廣泛應用于材料的性能預測、拓撲優(yōu)化和材料設計等領域。文獻［6］采用均勻化理論計算了復合材料的存儲模量和損耗模量，在此基礎上，采用雙向漸進優(yōu)化算法（BESO）對粘彈性復合材料的微觀構型進行了優(yōu)化。文獻［7］研究了粘彈性阻尼材料的最佳微觀構型，改善了宏觀約束阻尼梁結構的阻尼特性。文獻［8］對粘彈性阻尼材料的微觀結構進行了優(yōu)化，有效地衰減了粘彈性阻尼結構的瞬態(tài)響應。文獻［9］利用均勻化理論計算了周期胞元的等效性能，依據(jù)此對宏觀的粘彈性阻尼結構進行了動力學分析，對周期胞元的布局進行了優(yōu)化，以提高宏觀結構的固有頻率和阻尼特性。當前的研究大多集中于粘彈性阻尼層的截面由二維周期胞元構成的粘彈性阻尼結構，對截面的二維周期胞元進行均勻化分析和構型優(yōu)化，對于周期開孔的約束阻尼板結構（如圖1）的均勻化分析和建模研究還比較少。

圖1 周期開孔約束層阻尼懸臂板Fig.1 The Cantilever CLD Plate with Periodically Perforated Damping Material

以周期開孔約束阻尼板為研究對象，首先，采用8節(jié)點實體單元建立粘彈性阻尼胞元的有限元模型，基于均勻化理論對粘彈性阻尼胞元的等效特性進行分析，得到均勻化本構矩陣；然后，建立周期開孔約束阻尼板的有限元模型并對其進行求解，得到了周期開孔約束阻尼板的固有頻率和損耗因子，最后分析了粘彈性阻尼層的剪切模量和厚度、約束層厚度和開孔率對其阻尼特性的影響。

2 粘彈性阻尼胞元的均勻化分析

約束阻尼結構的耗能主要靠粘彈性阻尼層產(chǎn)生的橫向剪切變形，采用均勻化方法對粘彈性阻尼層胞元的等效特性分析時，需對等效橫向剪切彈性模量進行計算，因而，采用8節(jié)點實體單元對粘彈性阻尼層胞元建模，均勻化本構矩陣為：

式中：I—6×6單位矩陣其可通過求解式（2）得到。

式中：n—粘彈性阻尼胞元的單元數(shù)，be、De和Ωe—單元e的應變矩陣、本構矩陣和體積，εi—給定的應變，其取值：ε1=(1,0,0,0,0,0)T，ε2=(0,1,0,0,0,0)T，ε3=(0,0,1,0,0,0)T，ε4=(0,0,0,1,0,0)T，ε5=(0,0,0,0,1,0)T，ε6=(0,0,0,0,0,1)T。在求解式（2）時，需加入周期性邊界條件，并引入固定位移約束。

當粘彈性阻尼胞元為橫觀各向同性材料時，均勻化本構矩陣可表示為。

粘彈性阻尼胞元的等效密度可表示為：

3 周期開孔約束阻尼板的有限元模型

采用均勻化分析得到粘彈性阻尼胞元的均勻化本構矩陣之后，建立周期開孔約束阻尼板的有限元模型。周期開孔約束阻尼板的有限元模型采用4節(jié)點的復合單元，單元每個節(jié)點有7個自由度［10］?；贖amilton原理，建立周期開孔約束阻尼板的動力學方程為：

式中：m—周期開孔約束阻尼結構的單元數(shù)基板和約束層的質量矩陣和剛度矩陣，計算方法詳見參考文獻［10］。根據(jù)粘彈性阻尼胞元的均勻化本構矩陣，周期開孔粘彈性阻尼層的等效質量矩陣等效剛度矩陣和等效剪切剛度矩陣可表示為：

式中：N—對應單元節(jié)點自由度的形函數(shù)，B—應變矩陣，Nγxz和Nγyz—粘彈性阻尼層剪切應變γxz和γyz的形函數(shù)向量。粘彈性阻尼層的等效本構矩陣DHv可由式（3）獲得，其為：

粘彈性阻尼材料采用復常數(shù)剪切模量模型，根據(jù)文獻［6］的分析，等效的復常量剪切彈性模量可表示為：

式中：ηv—粘彈性阻尼材料的損耗因子。

4 算例分析

4.1 阻尼特性分析

為了驗證周期開孔約束阻尼板減振的有效性和文中建模方法的正確性，考慮一矩形周期開孔約束層阻尼懸臂板，對其阻尼特性分析。周期開孔約束阻尼板的長和寬分別為0.2m和0.1m。粘彈性阻尼層由20×10個胞元組成，胞元中心開有方孔，如圖1（b）所示，開孔率p=(L1/L)2，其中L1和L分別為方孔的邊長和胞元的邊長，通過改變方孔的邊長即可得到不同的開孔率，本算例的開孔率為1/9。粘彈性阻尼材料的剪切模量、密度、泊松比和損耗因子分別為：13.38 MPa、1200kg/m3、0.495和0.5，厚度為0.5 mm，開孔率為50%?；鶎雍图s束層均為鋁，其彈性模量、密度和泊松比分別為：70 GPa、2700 kg/m3和0.3，其厚度分別為2mm和0.5mm。周期開孔約束阻尼板的一短邊固支，其它邊自由。

采用本文提出的建模方法，首先建立粘彈性阻尼胞元的有限元模型，對其進行靜力學分析，得到等效的粘彈性阻尼胞元的本構矩陣。在建立周期開孔的約束阻尼板的有限元模型時，將粘彈性阻尼層視為均勻材料，不用考慮粘彈性阻尼層的具體結構。而采用傳統(tǒng)的有限元方法對周期開孔的約束阻尼板建模時，為了保證計算精度，就必須根據(jù)粘彈性阻尼層的具體結構進行網(wǎng)格細化，其單元數(shù)就會大大增加。

采用本文提出的方法建立周期開孔約束阻尼板的有限元模型，其單元數(shù)為200個。而采用文獻［10］的有限元方法建立細劃分網(wǎng)格的周期開孔約束阻尼板的有限元模型，為了保證計算精度，其單元數(shù)為1800個。分別對有限元模型進行模態(tài)分析并提取基板層、粘彈性阻尼層和約束層的模態(tài)應變能，根據(jù)模態(tài)應變能的方法，第r階模態(tài)損耗因子ηr可由下式計算得到：

將文獻［10］和本文提出的方法計算得到的前三階固有頻率及模態(tài)損耗因子進行對比，如表1所示。

表1 前三階固有頻率和模態(tài)損耗因子Tab.1 The First Three Natural Frequencies and Mode Loss Factors

從表1可以看出，本文計算的固有頻率與文獻［10］的計算頻率相差很小，三階固有頻率的誤差最大，其為1.13%，一階模態(tài)損耗因子的誤差最大，誤差為6.09%，其主要是因為粘彈性阻尼胞元開孔率為1/9時，等效剪切模量為10.5MPa，在此處，一階模態(tài)損耗因子對剪切模量的變化較為敏感。等效剪切模量的計算誤差導致一階模態(tài)損耗因子計算誤差較大。計算采用的電腦處理器為“Intel（R）Core i7”，內(nèi)存為16GB，本文提出的方法計算時間為0.89秒，而文獻［10］細劃分網(wǎng)格的方法計算時間為8.15秒?？梢钥闯?，在對周期開孔的約束阻尼板進行動力學分析時，本文提出的方法計算效率遠高于傳統(tǒng)的有限元方法。

4.2 粘彈性阻尼材料剪切模量和開孔率對阻尼特性的影響

對于約束阻尼結構，存在最佳的粘彈性阻尼材料剪切模量使各階次模態(tài)損耗因子最大［6，11］，如圖2所示。

圖2 模態(tài)損耗因子隨剪切模量的變化Fig.2 The Modal Loss Factor Varies with the Shear Modulus

粘彈性阻尼層的剪切模量從3.34MPa逐步增加到33.4MPa，開孔率從10%逐步增加到90%，其他參數(shù)不變，分別對建立的約束阻尼懸臂板的有限元模型進行模態(tài)分析，并采用模態(tài)應變能的方法計算結構的模態(tài)損耗因子。約束阻尼懸臂板前三階模態(tài)損耗因子的變化分別，如圖3～圖5所示。

圖3 一階模態(tài)損耗因子變化Fig.3 Variation of the First Order Modal Loss Factor

從圖3可以看出，在研究的剪切模量的范圍內(nèi)，隨著剪切模量的減小和開孔率的增大模態(tài)損耗因子逐漸增大。其原因是當前研究的剪切模量大于使一階模態(tài)損耗因子最大的最佳剪切模量，粘彈性阻尼層開孔率的增大使其等效剪切模量減小，從而使等效剪切模量更接近于最佳剪切模量。

從圖4可以看出，當剪切模量為3.34MPa時，全覆蓋結構二階損耗因子最大，當剪切模量為6.68MPa-33.4MPa時，二階模態(tài)損耗因子存在峰值，并且隨著剪切模量的增大，二階模態(tài)損耗因子峰值所對應的開孔率也逐漸增大，因為隨著開孔率的增大，等效剪切模量減小從而更接近于最佳的剪切模量所致。三階模態(tài)損耗因子的變化也具有同樣的規(guī)律，如圖5所示，只是三階模態(tài)損耗因子的最佳剪切模量小于二階模態(tài)損耗因子的最佳剪切模量，當剪切模量大于26.72Mpa時，開孔率為90%時等效剪切模量仍大于三階模態(tài)損耗因子的最佳剪切模量，因而，三階模態(tài)損耗因子一直是增大的趨勢。

圖4 二階模態(tài)損耗因子變化Fig.4 Variation of the Second Order Modal Loss Factor

圖5 三階模態(tài)損耗因子變化Fig.5 Variation of the Third Order Modal Loss Factor

綜合以上分析，當粘彈性阻尼層材料的剪切模量大于最佳的剪切模量時，可以通過周期開孔的方式，使等效剪切模量接近于最佳剪切模量，在減輕阻尼材料使用量的情況下，有效提高結構的阻尼特性。

4.3 粘彈性阻尼層厚度和開孔率對結構阻尼特性的影響

粘彈性阻尼層厚度從0.3mm逐步增加到2mm，粘彈性阻尼層剪切模量為13.38MPa，開孔率從10%逐步增加到90%，其他參數(shù)不變，分別對建立的約束阻尼懸臂板的有限元模型進行模態(tài)分析，并采用模態(tài)應變能的方法計算結構的模態(tài)損耗因子。前三階模態(tài)損耗因子的變化分別，如圖6～圖8所示。

圖6 一階模態(tài)損耗因子變化Fig.6 Variation of the First Order Modal Loss Factor

從圖6可以看出隨著粘彈性阻尼層的厚度增大和開孔率的增大，一階模態(tài)損耗因子都是增加的趨勢，其原因是粘彈性阻尼層的剪切模量遠大于使一階模態(tài)損耗因子最大的最佳剪切模量，隨著開孔率的增大，等效剪切模量逐步減小從而更接近于最佳的剪切模量，從而使一階模態(tài)損耗因子更大。

從圖7可以看出，粘彈性阻尼層的厚度為0.3mm-1.1mm時，隨著開孔率的增加二階模態(tài)損耗因子先逐漸增大，并出現(xiàn)峰值，開孔率進一步增大時，二階模態(tài)損耗因子則減??；隨著粘彈性阻尼層厚度的增加，二階模態(tài)損耗因子峰值所對應的開孔逐漸變小。粘彈性阻尼層的厚度為1.3mm-2mm時，隨著開孔率的增大，二階模態(tài)損耗因子逐步減小。主要是因為隨著粘彈性阻尼層厚度的增大，使二階模態(tài)損耗因子最大的最佳剪切模量也增大。三階模態(tài)損耗因子變化也具有同樣的規(guī)律，如圖8所示，不同的是，粘彈性阻尼層的厚度為0.3mm-1.3mm時三階模態(tài)損耗因子有峰值，并且三階模態(tài)損耗因子峰值所對應的開孔率比二階模態(tài)損耗因子峰值所對應的開孔率要?。ㄈ绫?所示），因為三階模態(tài)損耗因子的最佳剪切模量小于二階模態(tài)損耗因子的最佳剪切模量。

圖7 二階模態(tài)損耗因子變化Fig.7 Variation of the Second Order Modal Loss Factor

圖8 三階模態(tài)損耗因子變化Fig.8 Variation of the Third Order Modal Loss Factor

表2 模態(tài)損耗因子的峰值及對應的開孔率Tab.2 The Peak Value of The Modal Loss Factor and the Corresponding Opening Rate

5 結論

以周期開孔約束阻尼板為研究對象，采用8節(jié)點實體單元建立粘彈性阻尼胞元的有限元模型，基于均勻化理論對粘彈性阻尼胞元的等效特性進行分析；建立周期開孔約束阻尼板的有限元模型并對其進行了阻尼特性分析，研究了周期開孔阻尼板的結構參數(shù)對其阻尼特性的影響。得到如下結論：

（1）基于均勻化理論建立的周期開孔阻尼板有限元模型，由于周期開孔的阻尼層視為具有橫觀各向同性的均勻材料，不需要考慮粘彈性阻尼層具體結構，因而，與傳統(tǒng)有限元建模方法比較，可有效減小有限元單元數(shù)量，可有效提高周期開孔阻尼板有限元模型在動力學分析的計算效率。

（2）通過對周期開孔的粘彈性阻尼層均勻化分析，將開孔率與材料等效剪切模量對應起來。當粘彈性阻尼材料的剪切模量大于最佳的剪切模量時，可以通過周期開孔的方式，使等效剪切模量接近于最佳剪切模量，在減輕阻尼材料使用量的情況下，有效提高結構的阻尼特性，并且粘彈性阻尼材料的剪切模量越大，最佳開孔率也越大。

（3）分析了粘彈性阻尼層厚度和開孔率對結構阻尼特性的影響，對于模態(tài)損耗因子出現(xiàn)峰值的階次，隨著粘彈性阻尼層厚度的增加，模態(tài)損耗因子峰值所對應的開孔率逐漸減小。