廣義四次高斯和的四次均值

張文鵬

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710127)

設(shè)q為一個正整數(shù)且q≥3,m為任意整數(shù)。對任意狄利克萊特征χmodq，廣義k次高斯和G(m,k,χ;q)定義為

其中：k為正整數(shù);e(y)=e2πiy。

若k=1,則G(m,1,χ;q)=G(m,χ;q)稱為經(jīng)典高斯和，它具有許多重要的性質(zhì)。例如, 當(dāng)χ是模q的原特征或(m,q)=1時,有恒等式

如果χ是模q的原特征，則

有關(guān)經(jīng)典高斯和的其他相關(guān)性質(zhì)見文獻[1-3],此處不再一一列舉。

由于經(jīng)典高斯和在解析數(shù)論研究中十分重要,很多學(xué)者研究了它的各種性質(zhì)，并得到了一系列有趣的結(jié)果。例如,文獻[4]證明了上界估計

|G(m,k,χ;q)|≤2ω(q)q1/2。

其中：(m,q)=1；ω(q)表示q的不同素因子的個數(shù)。

特別當(dāng)q為奇素數(shù)時，更一般的高斯和的上界估計也被給出，具體工作可參閱文獻[5-6]。

另一方面,文獻[7]研究了三次高斯和的四次均值問題，并得到了以下計算公式：

(1)

此外，文獻[8]研究狄利克萊L-函數(shù)的加權(quán)均值的漸近性質(zhì)時指出了以下2個恒等式:

以及

10p3-25p2-4p-1,若p≡3 mod 4。

最近,文獻[9]研究了廣義二項指數(shù)和的四次均值的計算問題，并得到了以下結(jié)果:

若p為奇素數(shù)且滿足(3,p-1)=1,n為滿足(n,p)=1的任意整數(shù)，則對任意狄利克萊特征λmodp,有恒等式

與文獻[7]和[9]相關(guān)的其他研究工作可參閱文獻[10-17]，此處不再列舉。

受到文獻[7-8]的啟發(fā),本文利用解析方法以及經(jīng)典高斯和的性質(zhì)研究了G(1,4,χ;p)的四次均值的計算問題,并給出了幾個確切的計算公式，即證明了以下3個結(jié)論。

定理1設(shè)p為素數(shù)且滿足p=4k+3,則有恒等式

定理2設(shè)p為素數(shù)且滿足p=8k+5,則有恒等式

定理3設(shè)p為素數(shù)且滿足p=8k+1,則有恒等式

其中α的定義與定理2相同。

事實上,常數(shù)α=α(p)有著特殊的含義，即對任意奇素數(shù)p且滿足p=4k+1,則有恒等式

p=α2+β2=

其中r是模p的任意二次非剩余。

推論設(shè)p為奇素數(shù)且滿足p≡1 mod 4，則有漸近公式

注定理3的缺點在于不能確定其中的正負號。即對素數(shù)p=8k+1,以下2式哪一個成立：

或

1 幾個簡單引理

本節(jié)將給出一些基本引理, 這些結(jié)果在定理的證明過程中是必不可少的。這些引理的證明所用到的初等和解析數(shù)論知識可參考文獻[1-3]。

引理1設(shè)p為奇素數(shù)且滿足p≡1 mod 4，則對模p的任意四階特征ψ,有恒等式

證明參閱文獻[16]中的引理2.2。

引理2設(shè)p為奇素數(shù)且滿足p≡1 mod 4，則對模p的任意四階特征ψ,有恒等式

證明對任意整數(shù)1≤a≤p-1,顯然有ψ2=χ2和

(2)

即證引理2。

引理3設(shè)p為奇素數(shù)且滿足p≡1 mod 4，則有恒等式

-2+ψ(-1)·2α。

即證引理3。

2 定理的證明

首先證明定理1。如果p=4k+3,則χ2(-1)=-1,由模p特征的正交性可得

p[4(p-1)-4]-(p-1)2-

3p2-6p-1-τ(χ2)·

3p2-6p-1-τ(χ2)·

3p2-6p-1-τ(χ2)·

3p2-6p-1。

即證定理1。

p[8(p-1)-16]-(p-1)2+

(3)

若p=8k+5，則ψ(-1)=-1。由(3)式可得恒等式

即證定理2。

若p=8k+1,則ψ(-1)=1。由(3)式可得恒等式

(4)

因為有恒等式

(5)

所以由(5)式和引理1可得

(6)

同時，由引理1可得恒等式

(7)

(8)

結(jié)合(4)、(6)—(8)式即得恒等式

于是完成了定理3的證明。

3 總結(jié)

本文的主要結(jié)果是給出了廣義四次高斯和的四次均值的幾個精確的計算公式，是對已有工作的進一步補充和完善。