相交圓內(nèi)一類內(nèi)接蝶形的等積性質(zhì)

☉福建省大田第一中學(xué) 田富德 吳賽瑛

相交圓內(nèi)一類內(nèi)接蝶形的等積性質(zhì)

☉福建省大田第一中學(xué) 田富德 吳賽瑛

筆者對相交圓內(nèi)接蝶形進(jìn)行探究時，得到了兩個有趣的等積性質(zhì).

為了陳述方便，先給出如下定義：

定義 兩圓相交，若一個圓的圓弧含于另一個圓內(nèi)，則稱此段圓弧為該圓的內(nèi)??；若一個圓的圓弧不含于另一個圓內(nèi)，則稱此段圓弧為 該圓的外弧.其中內(nèi) 弧和外弧均不包含兩圓交點(diǎn).如圖1所示為圓O2的內(nèi)弧為圓O1的外弧.

現(xiàn)以定理形式，將等積性質(zhì)陳述如下：

定理1 圓O1與圓O2相交于A、B兩點(diǎn)，過A的直線分別交圓O1與圓O2于F、E，過B的直線分別交圓O1與圓O2于D、C，若線段CD和線段EF不相交，CF交DE于M，則S△CDM=S△EFM.

證明：易知C、D至多一點(diǎn)在內(nèi)弧，E、F至多一點(diǎn)在內(nèi)弧.

（1）若C、D、E、F均在外弧上，如圖1所示，連接CE、AB、DF.

因?yàn)锳、B、D、F四點(diǎn)均在圓O1上，所以∠AFD=∠ABC.

因?yàn)锳、B、C、E四點(diǎn)均在圓O2上，所以∠ABC+∠AEC=180°.

因此，∠AFD+∠AEC=180°，從而DF∥CE.

故S△CEF=S△CED，即S△CDM=S△EFM.

（2）若C、F在內(nèi)弧上，D、E在外弧上，如圖2所示.

連接AB、DF、CE.

因?yàn)锳、D、B、F四點(diǎn)均在圓O1上，所以∠AFD=∠ABD.

因?yàn)锳、C、B、E四點(diǎn)均在圓O2上，所以∠ABC=∠AEC.

因此∠AFD=∠ABD=∠ABC=∠AEC，從而DF∥CE.

故S△CEF=S△CED，即S△CDM=S△EFM.

若D、E在內(nèi)弧上，C、F在外弧上，同上可證S△CDM=S△EFM.

（3）若D、F在內(nèi)弧上，C、E在外弧上，如圖3所示.

連接AB、DF、CE.

因?yàn)锳、B、F、D四點(diǎn)均在圓O1上，所以∠BDF=∠BAF.

因?yàn)锳、B、E、C四點(diǎn)均在圓O2上，所以∠BAE=∠BCE.

因此∠BDF=∠BAF=∠BAE=∠BCE，從而DF//CE.

故S△CEF=S△CED，即S△CDM=S△EFM.

若C、E在內(nèi)弧上，D、F在外弧上，同上可證S△CDM=S△EFM.

（4）若F在內(nèi)弧上，C、D、E在外弧上，如圖4所示.

連接AB、DF、CE.

因?yàn)锳、F、B、D四點(diǎn)均在圓O1上，所以∠AFD=∠ABD.

因?yàn)锳、B、C、E四點(diǎn)均在圓O2上，所以∠ABD=∠AEC.

因此，∠AFD=∠AEC，從而DF∥CE.

圖1

圖2

圖3

圖4

故S△CEF=S△CED，即S△CDM=S△EFM.

若C、D、E、F其中一點(diǎn)在內(nèi)弧，另三點(diǎn)在外弧，同上可證S△CDM=S△EFM.

綜上，定理1得證.

定理2 圓O1與圓O2相交于A、B兩點(diǎn)，過A的直線分別交圓O1與圓O2于F、E，過B的直線分別交圓O1與圓O2于D、C，若線段CD和線段EF相交于M，連接CF、DE，則S△CFM=S△EDM.

證明：易知C、D至多一點(diǎn)在內(nèi)弧，E、F至多一點(diǎn)在內(nèi)弧.

（1）若C、D、E、F均在外弧上，如圖5所示.

連接AB、CE、DF、AC、BE.

因?yàn)锳、B、D、F四點(diǎn)均在圓O1上，所以∠AFD=∠ABC.

因?yàn)锳、B、E、C四點(diǎn)均在圓O2上，

所以∠CAE=∠CBE及∠ABE+∠ACE=180°.

（2）若D、F在內(nèi)弧上，C、E在外弧上，如圖6所示，

連接AB、DF、CE、AC、BE.

因?yàn)锳、B、E、C四點(diǎn)均在圓O1上，

所以∠CAE=∠CBE及∠ACE+∠ABE=180°.

因?yàn)锳、B、D、F四點(diǎn)均在圓O2上，所以∠EFD=∠ABD.

因此，∠CFD+∠FCE=（∠CFE+∠EFD）+∠FCE

若C、E在內(nèi)弧上，D、F在外弧上，同上可證S△CFM=S△EDM.

若C、F在內(nèi)弧上，D、E在外弧上，線段CD和線段EF不相交，與條件矛盾.

若D、E在內(nèi)弧上，C、F在外弧上，線段CD和線段EF也不相交，與條件矛盾.

（3）若F在內(nèi)弧上，C、D、E在外弧上，如圖7所示.

連接AB、DF、CE.

因?yàn)锳、F、B、D四點(diǎn)均在圓O1上，所以∠BAF=∠BDF.

因?yàn)锳、B、E、C四點(diǎn)均在圓O2上，所以∠BAE=∠BCE.

∠DCE=∠BCE=∠BAE=∠BAF=∠BDF=∠CDF，因此，∠ECF+∠CFD=（∠DCE+∠FCD）+∠CFD=∠CDF+∠FCD+∠CFD=180°（三角形內(nèi)角和定理），從而DF∥CE.

故S△CEF=S△CED，即S△CDM=S△EFM.

若C、D、E、F其中一點(diǎn)在內(nèi)弧，另三點(diǎn)在外弧，同上可證S△CDM=S△EFM.

綜上，定理2得證.

圖5

圖6

圖7