含參數(shù)的一元二次不等式的分類求解策略

【摘 要】解含參數(shù)的一元二次不等式的主要難點(diǎn)在于分類討論，除了常用的三種分類方法：對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a的討論、對(duì)判別式?的討論、按方程ax2+bx+c=0的根x1，x2的大小來分類，本文還介紹了一種“通法”。

【關(guān)鍵詞】一元二次不等式;含參數(shù);解法;分類討論

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）16-0088-02

一元二次不等式作為基礎(chǔ)不等式，在高中數(shù)學(xué)中有非常廣泛的應(yīng)用。它的解法不但將二次函數(shù)、二次方程和二次不等式密切聯(lián)系起來，體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合，而且是導(dǎo)數(shù)中求單調(diào)區(qū)間、極值、最值的常用工具[1]。對(duì)含參數(shù)的一元二次不等式的求解，始終是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)，學(xué)生往往不清楚該如何對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論。對(duì)含參數(shù)的一元二次不等式常用的分類求解方法有三種[2]，下面通過四個(gè)例子指出其中的奧妙。

1? ?對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a的討論

若二次項(xiàng)系數(shù)a含有參數(shù)，則需要對(duì)a的符號(hào)分類，即分a>0，a=0，a<0。

例1：解關(guān)于x的不等式：ax2?（2a+1）x+2<0（a∈R）。

解析：二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，因此須對(duì)a的符號(hào)進(jìn)行討論。

解：原不等式可化為（ax?1）（x?2）<0。

①當(dāng)a>0時(shí)，原不等式等價(jià)于（x?2）（x?）<0。

∵ （x?2）（x?）=0的兩個(gè)根分別是2，，

∴ 當(dāng)a∈（0，）時(shí)，2<，則ax2?（2a+1）x+2<0的解集是{x|2

當(dāng)a=時(shí)，ax2?（2a+1）x+2<0的解集是 ?;

當(dāng)a∈（，+∞）時(shí)，<2，則ax2?（2a+1）x+2<0的解集是{x|

②當(dāng)a=0時(shí)，原不等式為?x+2<0，解得x>2，即ax2?（2a+1）x+2<0的解集是{x|x>2}。

③當(dāng)a<0時(shí)，ax2?（2a+1）x+2<0等價(jià)于（x?2）（x?

）>0，由于<2，故ax2?（2a+1）x+2<0的解集是{x|x<或x>2}。

綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，ax2?（2a+1）x+2<0的解集為{x|x<或x>2};

當(dāng)a=0時(shí)，ax2?（2a+1）x+2<0的解集為{x|x>2};

當(dāng)0

};

當(dāng)a=時(shí)，ax2?（2a+1）x+2<0的解集為?;

當(dāng)a>時(shí)，ax2?（2a+1）x+2<0的解集為{x|

2? ?對(duì)所對(duì)應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類

若判別式?=b2?4ac中含有參數(shù)，無法確定所對(duì)應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)，則需要對(duì)判別式?的符號(hào)分類，即分?>0，

?=0，?<0。

例2：解關(guān)于x的不等式x2+ax+5≤0。

解析：由于判別式?=a2?20中含有參數(shù)，因此須對(duì)?的符號(hào)進(jìn)行討論。

解：∵ ?=a2?20，

∴ 當(dāng)a∈（?，）即?<0時(shí)，不等式的解集為 ?;

當(dāng)a=±即?=0時(shí)，不等式的解集為{x|x=?};

當(dāng)a>或a0，對(duì)應(yīng)方程的兩根分別為x1= ，x2= ，顯然x1> x2，

∴ 不等式的解集為

。

3? ?按方程ax2+bx+c=0的根x1，x2的大小來分類

若不等式對(duì)應(yīng)的方程的根為x1，x2，且其中含有參數(shù)，則須對(duì)x1，x2的大小分類，即分x1> x2，x1=x2，x1< x2。

例3：解關(guān)于x的不等式12x2?ax>a2（a∈R）。

解析：不等式可分解為（4x+a）（3x?a）>0，故只需比較兩根與的大小。

解：原不等式可化為12x2?ax?a2>0，即（4x+a）（3x?a）>0。

令（4x+a）（3x?a）=0，解得x1=，x2=。

①當(dāng)a>0時(shí)，<，不等式的解集為{x|x<或x>};

②當(dāng)a=0時(shí)，x2>0，不等式的解集為{x|x∈R，且x≠0};

③當(dāng)a<0時(shí)，>，不等式的解集為{x|x<或x>}。

綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為{x|x<或x>};當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為{x|x∈R，且x≠0};當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為{x|x<或x>}。

上面三個(gè)例子，分別代表了含參數(shù)的一元二次不等式求解的三種常見的類型，但如果參數(shù)涉及多種類型的討論，那么分起類來就會(huì)難以把握。如何掌握好分類討論的層次呢？一般按下面的次序進(jìn)行討論：首先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類;其次根據(jù)根的個(gè)數(shù)，即?的符號(hào)進(jìn)行分類;最后在根存在的前提下，再根據(jù)根的大小進(jìn)行分類。通過對(duì)上述三個(gè)例子的解題過程進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)簡(jiǎn)易的分類方法：根據(jù)一元二次不等式中二次項(xiàng)系數(shù)等于0和判別式等于0時(shí)所得到的值作為數(shù)軸的分點(diǎn)，然后對(duì)參數(shù)進(jìn)行分區(qū)間討論。

例4：解關(guān)于x的不等式：（a2?1）x2?3ax+3<0

解：（a2?1）x2?3ax+3<0? ? ? ? ? ? ? （*）

a2?1=0a=1或a=?1;

?=（?3a）2?4×（a2?1）×3=0a=2或a=?2;

∴當(dāng)a0且?<0，（*）解集為?;

當(dāng)a=?2時(shí)，a2?1>0且?=0，（*）解集為?;

當(dāng)?20且?>0，（*）解集為（，）;

當(dāng)a=?1時(shí)，（*）3x+3<0x

當(dāng)?10，（*）解集為（?∞，）∪（，+∞）;

當(dāng)a=1時(shí)，（*）?3x+3<0x>1，（*）解集為（1，+∞）;

當(dāng)10且?>0，（*）解集為（，）;

當(dāng)a=2時(shí)，a2?1>0且?=0，（*）解集為?;

當(dāng)a>2時(shí)，a2?1>0且?<0，（*）解集為?。

綜上，可知當(dāng)a≤?2或a≥2時(shí)，（*）解集為?;

當(dāng)?2

當(dāng)a=?1時(shí)，（*）解集為（?∞，?1）;

當(dāng)?1

（，+∞）;

當(dāng)a=1時(shí)，（*）解集為（1，+∞）;

通過上面的例子，可以體會(huì)到這類問題的“通法”有一定的便捷性。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張娟，杜以海.含字母參數(shù)的一元二次不等式的解法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2010（20）.

[2]李軍文.“含參數(shù)一元二次不等式的解法”教學(xué)設(shè)計(jì)及體會(huì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（8）.

【作者簡(jiǎn)介】

梁東（1979～），男，漢族，廣東信宜人，本科，高中數(shù)學(xué)一級(jí)教師。研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。