初中規(guī)律性問(wèn)題解法談

鐘蒙川

【摘 要】在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們會(huì)遇到許多具有規(guī)律性的問(wèn)題，這些問(wèn)題采用什么樣的解法才能更容易的解答，是我們研究的重點(diǎn)與難點(diǎn)。為了幫助大家更好的理解和解決規(guī)律性問(wèn)題，本文在結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)初中數(shù)學(xué)規(guī)律性問(wèn)題的分類，探索其中的解題方法。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);規(guī)律;解法

初中規(guī)律性問(wèn)題多數(shù)指的是高中的數(shù)列問(wèn)題。高中學(xué)生對(duì)數(shù)列都感到頭疼，更別說(shuō)初中學(xué)生了。以下我就其特點(diǎn)歸納為幾種常見(jiàn)的類型并以求某一項(xiàng)為例談?wù)勄蠼夥椒ā?/p>

（1）等差型

等差型是指數(shù)據(jù)從第二個(gè)數(shù)（項(xiàng)）起，每一個(gè)數(shù)（項(xiàng)）與它前面的數(shù)（項(xiàng)）的差等于一個(gè)常數(shù)，故為等差型（或等差數(shù)列），等差型的每一個(gè)數(shù)（項(xiàng)）都可以寫(xiě)成這個(gè)常數(shù)的倍數(shù)的加減。

例1、某餐廳中，一張桌子可坐6人，有以下兩種擺放方式：當(dāng)有n張桌子時(shí)，兩種擺法各坐多少人？

分析：數(shù)字化后第一種的數(shù)據(jù)為：6，10，14，……屬等差型，常數(shù)為4，則可得4n+2。

第二種的數(shù)據(jù)為：6，8，10，……屬等差型，常數(shù)為2，則可得2n+4。

（2）等比型

等比型是指數(shù)據(jù)從第二個(gè)數(shù)（項(xiàng)）起，每一個(gè)數(shù)（項(xiàng)）與它前面的數(shù)（項(xiàng)）的比等于一個(gè)常數(shù)，故為等比型（或等比數(shù)列），等比型的每一項(xiàng)都可以寫(xiě)成這個(gè)常數(shù)的乘方的乘積。

例2、如圖是一幅“蘋果排列圖”，第一行有1個(gè)蘋果，第二行有2個(gè)，第三行有4個(gè)，第四行有8個(gè)，…第n行有_____個(gè)蘋果。

分析：數(shù)字化得數(shù)據(jù)：1，2，4，8，……

顯然是等比型，常數(shù)為2，

則可得第n項(xiàng)為2n-1。

（3）乘方型

乘方型一般數(shù)據(jù)都是平方數(shù)。若以圖形出現(xiàn)，要求學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行觀察分析，將規(guī)律數(shù)字化后，進(jìn)行合理的分析就可以得到。

例3、已知下列一組數(shù)：1，，，，……;用代數(shù)式表示第n個(gè)數(shù)，則第n個(gè)數(shù)是________。

分析：從分子看是連續(xù)奇數(shù)（等差型常數(shù)為2），分母則為平方數(shù)，則第n項(xiàng)為。

（4）周期型

周期型的數(shù)據(jù)常常是要通過(guò)計(jì)算方可得出數(shù)據(jù)，數(shù)字化后，數(shù)據(jù)每隔一定的數(shù)字后數(shù)據(jù)就循環(huán)，這些數(shù)字的個(gè)數(shù)就是周期，再利用周期分析就可以得到。

例4、如圖，給正五邊形的頂點(diǎn)依次編號(hào)為1，2，3，4，5。若從某一頂點(diǎn)開(kāi)始，沿正五邊形的邊順時(shí)針行走，頂點(diǎn)編號(hào)的數(shù)字是幾，就走幾個(gè)邊長(zhǎng)，則稱這種走法為一次“移位”如：小宇在編號(hào)為3的頂點(diǎn)時(shí)，那么他應(yīng)走3個(gè)邊長(zhǎng)，即從3→4→5→1為第一次“移位”，這時(shí)他到達(dá)編號(hào)為1的頂點(diǎn);然后從1→2為第二次“移位”。若小宇從編號(hào)為2的頂點(diǎn)開(kāi)始，第10次“移位”后，則他所處頂點(diǎn)的編號(hào)是____________。

分析：結(jié)合題意數(shù)字化得：4，3，1，2，4，3，……

觀察知道周期是4，第10次位移是兩個(gè)周期后又兩次位移，則為3。

（5）裂變型

若將規(guī)律數(shù)字化后按照以上幾種類型均無(wú)法解決，就可以考慮對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行裂變（拆分），然后對(duì)裂變所得數(shù)據(jù)再分析。一次裂變不行可再進(jìn)行第二次裂變。一般裂變?yōu)楹筒钚问交蚍e的形式的題型較多。

例5、如圖，用圍棋子按下面的規(guī)律擺圖形，則擺第n個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)為_(kāi)____。

分析：此題無(wú)論從圖或數(shù)字化后觀看都可以看出只需將每項(xiàng)減去1，就變成乘方型。

數(shù)字化后為：2，5，10，17，……，裂變?yōu)?+1，4+1，9+1，16+1，……

則答案為n2+1。

（6）復(fù)合型

復(fù)合型數(shù)據(jù)中融合了幾種類型的數(shù)據(jù)。復(fù)合型一般常以分式或等式形式出現(xiàn)，因此既要考慮分子又考慮分母或既要尋找等號(hào)左邊的規(guī)律又要尋找等號(hào)右邊的規(guī)律。

例6、觀察下列等式：

第一行 ? 3=4-1

第二行 ? 5=9-4

第三行 ? 7=16-9

… ? ? …

按照上述規(guī)律，第n行的等式為_(kāi)_____。

分析：等號(hào)左邊是等差型，常數(shù)為2，第n項(xiàng)為2n+1，等號(hào)右邊是兩個(gè)乘方型，第n項(xiàng)為（n+1）2-n2。故第n項(xiàng)為2n+1=（n+1）2-n2。

總之，規(guī)律性問(wèn)題的求解的關(guān)鍵是找出他們內(nèi)在的變化規(guī)律，然后結(jié)合其所屬類型進(jìn)行猜想，對(duì)猜想的結(jié)果再進(jìn)行驗(yàn)證，從而得出答案。事實(shí)上我們把握了每一項(xiàng)的變化特點(diǎn)，解起來(lái)就方便多了也就不會(huì)頭疼了。

【參考文獻(xiàn)】

[1]房延華.探索規(guī)律性問(wèn)題解析[J].數(shù)學(xué)探索.2004（10）

[2]周銀.例說(shuō)規(guī)律性問(wèn)題[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué).2010（23）

（作者單位：四川省達(dá)州市達(dá)川區(qū)城南學(xué)校）