基于APOS理論的二次函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計

楊靈娥 丘文斯

【摘 要】概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的教學(xué)方式之一，但如何開展概念教學(xué)，使學(xué)生不僅能理解概念的生成過程，還能形成對概念的抽象理解并將其運用是很多教師感到困擾的問題。本文以“二次函數(shù)”的概念教學(xué)為例，運用APOS理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，使學(xué)生體驗二次函數(shù)的推理過程并形成抽象理解，希望為數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供參考和借鑒。

【關(guān)鍵詞】APOS理論;二次函數(shù);概念教學(xué)

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）16-0033-02

美國教育家、數(shù)學(xué)家杜賓斯基基于傳統(tǒng)的概念教學(xué)模式和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點提出了APOS理論，把概念教學(xué)分為四個階段，即活動階段、程序階段、對象階段、圖式階段。教師基于APOS理論開展概念教學(xué)，能夠創(chuàng)新概念教學(xué)模式，把教學(xué)的重心轉(zhuǎn)移到概念生成過程中，使學(xué)生能更好地認(rèn)識概念的二重屬性[1]。

因此，本文嘗試基于APOS理論進(jìn)行二次函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生了解二次函數(shù)概念的推理過程，并能夠把二次函數(shù)抽象成對象進(jìn)行理解和運用。以下是基于APOS理論的二次函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計。

1? ?活動階段

在活動階段，教師需要創(chuàng)設(shè)合適的情境，為學(xué)生提供理解概念的背景，使學(xué)生通過適當(dāng)?shù)牟僮骰顒芋w會數(shù)學(xué)概念的背景，并理解數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的原因和意義，即在活動階段通過引導(dǎo)學(xué)生自主操作，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)概念的形成過程[2]。

【教學(xué)設(shè)計】

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧常量與變量、函數(shù)的概念及其表示方法，并提出三個問題，創(chuàng)設(shè)二次函數(shù)概念的教學(xué)情境：

問題1：正方體的棱長為x，表面積為y，則y與x的關(guān)系怎樣表示？

問題2：某廣告公司要設(shè)計一個周長為20米的矩形廣告牌，設(shè)矩形廣告牌的一邊長為x米，面積為S，則S與x間的關(guān)系如何表示？

問題3：某工廠 2018年某種產(chǎn)品的產(chǎn)量為20噸，該產(chǎn)品產(chǎn)量的年平均增長率為x，設(shè)2020年該產(chǎn)品的產(chǎn)量為 y，則 y與x的關(guān)系應(yīng)該怎樣表示？

學(xué)生經(jīng)過思考，不難解決上述三個問題：① y=6x2;② S=x（10?x）;③ y=20（1+x）2。

教師追問學(xué)生：上述三個問題得到的結(jié)果是否能構(gòu)成函數(shù)？有哪些變量？其中自變量是什么？若能構(gòu)成函數(shù)，它們在結(jié)構(gòu)上存在什么相同之處？

【設(shè)計意圖】

教師通過創(chuàng)設(shè)具體情境，使學(xué)生感受現(xiàn)實生活與二次函數(shù)概念間的關(guān)系，為學(xué)生理解二次函數(shù)的概念提供知識背景。學(xué)生通過分析和解決問題能夠發(fā)現(xiàn)，存在一種陌生的函數(shù)且自變量的最高次數(shù)為2，但學(xué)生還無法抽象出二次函數(shù)的概念。

2? ?程序階段

在程序階段，學(xué)生經(jīng)歷了對概念的操作過程，可以把在這一過程中形成的經(jīng)驗和材料作為思維對象，進(jìn)行思考和建構(gòu)，并抽象出概念。在這個階段，學(xué)生不再需要依靠提示或輔助條件學(xué)習(xí)概念，而是可以內(nèi)化、抽象、反思活動階段的經(jīng)驗，掌握概念的所有屬性[3]。

【教學(xué)設(shè)計】

問題1：請同學(xué)們觀察以下三個函數(shù)，從解析式看有什么共同點與不同點。① y=6x2;② S=x（10?x）=?x2+10x;③ y=20（1+x）2=20x2+40x+20。

通過觀察，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，上述函數(shù)的解析式中未知數(shù)的最高次數(shù)都為2，且每一個解析式都存在未知數(shù)的最高次數(shù)為2的一項。不同點在于，三個解析式中，有些含有一次項和常數(shù)項，有的沒有。

隨后教師引導(dǎo)學(xué)生討論，在這一類函數(shù)中最重要的、不可缺少的是哪一項。學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，含有未知數(shù)的最高次數(shù)為2的一項是三個解析式中共同存在的，因此它是這一類函數(shù)中十分重要且不可缺少的一項。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧一次函數(shù)的概念及其一般形式，嘗試說出二次函數(shù)的一般形式及二次函數(shù)的概念。在得出二次函數(shù)的概念后，教師通過類比一次函數(shù)解析式中k≠0的要求和一次項的概念，引導(dǎo)學(xué)生理解二次函數(shù)解析式中a≠0的要求，以及二次項、一次項和常數(shù)項等概念。

【設(shè)計意圖】

教師設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生思考活動階段例子的本質(zhì)特征，學(xué)生通過小組討論歸納出二次函數(shù)的共同特征，并把這些共同特征與一次函數(shù)類比，形成二次函數(shù)的一般形式，并在教師的引導(dǎo)下抽象出二次函數(shù)的概念。在這一階段，學(xué)生通過活動階段積累的知識體驗，能夠抽象出二次函數(shù)的概念和一般形式。

3? ?對象階段

在對象階段，學(xué)生已經(jīng)理解了概念的全部屬性，并能將概念抽象為一個整體進(jìn)行理解和應(yīng)用，即學(xué)生能夠把概念作為獨立的對象，完成相關(guān)的數(shù)學(xué)運算。在這一階段，教師需要通過設(shè)置各種類型的題目訓(xùn)練學(xué)生對概念的抽象和運用能力，使學(xué)生能理解概念的對象屬性。

【教學(xué)設(shè)計】

問題1：下列函數(shù)中（x，t是自變量），哪些是二次函數(shù)？①y=+3x2;②y=x2?x3+25;③y=2x2+2x;④s=1+t+5t2。

問題2：下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？分別指出二次函數(shù)中的二次項、一次項和常數(shù)項。① y=?x2;② y=

x+;③ y=x（1?x）;④ y=（x+3）2?x2;⑤ y=3（x?1）2+3。

問題3：若正方形的邊長是4 cm，當(dāng)它的邊長增加x時，面積增加 y。①寫出 y與x之間的關(guān)系式;②當(dāng)邊長增加3 cm時，面積增加多少？③當(dāng)面積增加48 cm2時，邊長增加多少？

問題4：某工廠計劃為一批長方體的產(chǎn)品表面涂上油漆，長方體的長和寬相等，高比長多0.5 m。①長方體的長和寬用x表示，長方體的表面積S的表達(dá)式是什么？②如果油漆每平方米所需要的費用是5元，每個長方體所需油漆費用用 y表示，那么 y的表達(dá)式是什么？

【設(shè)計意圖】

對象階段的主要目標(biāo)是通過習(xí)題使學(xué)生把二次函數(shù)當(dāng)作一個整體對象進(jìn)行理解和運用，把對二次函數(shù)概念的理解上升為易于把握本質(zhì)的抽象對象。因此，筆者在這一階段的習(xí)題設(shè)置中，不僅設(shè)置了從形式上理解二次函數(shù)的解析式，還要引導(dǎo)學(xué)生建立二次函數(shù)模型，使學(xué)生理解二次函數(shù)的概念，解決實際問題。

4? ?圖式階段

數(shù)學(xué)概念之間存在著許多聯(lián)系，圖式階段就是使學(xué)生建立起概念之間聯(lián)系的過程，即學(xué)生將前三個階段與原有的數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系整合到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成新圖式的過程。

【教學(xué)設(shè)計】

問題1：函數(shù) y=ax2+bx+c在何時分別是二次函數(shù)、一次函數(shù)、正比例函數(shù)？你能寫出二次函數(shù)的幾種特殊

形式？

問題2：已知關(guān)于x的函數(shù) y=（m+4）+（n?2）x+4。①當(dāng)m、n滿足什么條件是一次函數(shù)？②當(dāng)m、n滿足什么條件是二次函數(shù)？

【設(shè)計意圖】

在圖式階段，學(xué)生不僅能夠形成對二次函數(shù)概念的抽象理解，實現(xiàn)對二次函數(shù)的實際運用，而且能將二次函數(shù)的概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的知識經(jīng)驗結(jié)合起來理解，并建立起聯(lián)系，讓二次函數(shù)以一種綜合的心理圖式存在于腦海里。在這一階段，教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生思考二次函數(shù)與一次函數(shù)、正比例函數(shù)等知識的聯(lián)系和區(qū)別，將二次函數(shù)的概念與這些知識結(jié)合起來，能促進(jìn)學(xué)生對二次函數(shù)的概念的深刻理解。

總之，我國現(xiàn)行的數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式存在重視概念應(yīng)用、輕視概念推理過程的問題，APOS理論是解決這一問題的理論工具。基于APOS理論開展概念教學(xué)設(shè)計，不僅能夠充分體現(xiàn)概念的二重性，還可以使學(xué)生在經(jīng)歷概念生成的過程中加深對概念的理解[4]。本文嘗試運用APOS理論進(jìn)行概念教學(xué)設(shè)計，希望這一教學(xué)方法能對廣大教師有所啟發(fā)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]喬連全.APOS：是一種建構(gòu)主義理論[J].全球教育展望，2001（3）.

[2]程華.APOS理論的內(nèi)涵及其對中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的啟示[J].教學(xué)與管理，2010（24）.

[3]張敏，李軍，孫迪.基于APOS理論下數(shù)學(xué)史融入一元二次方程概念教學(xué)設(shè)計[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（35）.

[4]余小萍，李云杰.基于APOS理論的“函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2020（20）.

【作者簡介】

楊靈娥（1963～），女，漢族，山西長治人，博士，教授。研究方向：數(shù)學(xué)教育。

丘文斯（1995～），女，漢族，廣東韶關(guān)人，佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院與大數(shù)據(jù)學(xué)院學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)2019級碩士研究生。研究方向：數(shù)學(xué)教育。