圓的最值問(wèn)題探究

【摘 要】圓作為特殊的幾何圖形，其相關(guān)知識(shí)是中考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)，圓的考查在中考中占有舉足輕重的位置，其中圓的最值問(wèn)題尤其重要。筆者試圖通過(guò)研討一堂初三復(fù)習(xí)課，探討解決圓的最值問(wèn)題的策略。

【關(guān)鍵詞】圓的最值問(wèn)題;初中數(shù)學(xué);復(fù)習(xí)課

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）22-0070-02

如何提高初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的創(chuàng)新性和有效性，是一線初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該研究的問(wèn)題。以圓為載體的最值問(wèn)題（“隱圓”）是中考的常見(jiàn)題型，也是中考的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題[1]。有的學(xué)生對(duì)圓的最值問(wèn)題感到束手無(wú)策，主要原因就是對(duì)求最值的方法了解不多，思維不夠靈活。下面筆者通過(guò)一堂初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，給出一道例題的解法并對(duì)例題進(jìn)行辨析，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維，以達(dá)到舉一反三的效果。

1? ?思路分析

例題：如圖1，在邊長(zhǎng)為的等邊?ABC中，動(dòng)點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且AE=CD，連接BE、AD，相交于點(diǎn)P，求CP的最小值。

分析：對(duì)于等邊三角形，不僅要明白等邊三角形邊角的特殊性，還要從對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)（將圖形繞中心旋轉(zhuǎn)120°會(huì)與原來(lái)重合）的角度看待它。而本題又提供了線段等定性關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)存在兩個(gè)全等三角形，得到對(duì)應(yīng)角相等。發(fā)現(xiàn)∠APE是一個(gè)定角，從而發(fā)現(xiàn)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，利用“定弦定角的隱圓模型求CP的最值。

常規(guī)型1：如圖1，C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，嘗試是否能夠解決點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡。AB為定長(zhǎng)，∠APB為定值，想象定弦定角的隱圓模型。

常規(guī)型2：如圖2，作過(guò)A、B、P三點(diǎn)的外接圓，可在說(shuō)理過(guò)程中略顯不足，故考慮先將其轉(zhuǎn)換為對(duì)角，在構(gòu)造固定三角形的情況下建立外接圓，再證明點(diǎn)P是圓上一點(diǎn)。而點(diǎn)到圓的距離最值為連心線的近交點(diǎn)和遠(yuǎn)交點(diǎn)分別為最小值和最大值時(shí)的位置。

2? ?具體解法

2.1? 常規(guī)型1

解：∵ ?ABC是等邊三角形，

∴ ?ABE≌?CAD（SAS），

∴ ∠1=∠2，∴ ∠APB=180°?（∠1+∠3）=180°?（∠2+∠3）=180°?60°=120°，

∵ AB=，則A、B、P三點(diǎn)共圓，在該優(yōu)弧上任取一點(diǎn)G，連接AG、BG，

∵ A、G、B、P四點(diǎn)共圓，

∴ ∠AGB=60°，∴ ∠AOB=2∠AGB=120°。如圖3，連OC，與圓O的交點(diǎn)是P，CP取最小值。

∵ OA=OB，CA=CB，∴ OC垂直平分AB，

∴ AF=BF=，∠4=∠5=60°，

∴ tan ∠4=，∴ OF==1

∴ OA=2OF=2

同理，OC=4?！?CP=OC?OP=2，∴ CP的最小值為2。

2.2? 常規(guī)型2

解：等邊三角形ABC中，可證?ABE≌?CAD，

∴ ∠CAD=∠ABE，

∴ ∠BPD=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，∴ ∠APB=120°，

如圖4，過(guò)A作OA⊥AC于A，過(guò)B作OB⊥BC于B，OA、OB交于O。

可證∠1=∠2=30°，∴ ∠AOB=180°?2∠1=120°，

∴ OA=OB。

以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，則AB為圓O的弦。

①假設(shè)P在圓外，如圖5，∵ ∠AOB=120°，

∴ ∠AFB=∠AOB=60°，

∴ ∠AMB=180°?∠AFB=120°，

∴ ∠APB=∠AMB?∠MAP<120°，

這與∠APB=120°矛盾，故P不在圓O外。

②假設(shè)P在圓O內(nèi)，如圖6。

同理可證矛盾，故P不在圓O外，

∴ P在圓O上，連接OC交圓O于P'。

根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知，

如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在P'處時(shí)，CP最小。

又∵ OA⊥AC，OB⊥BC，∴ AC、BC為圓O切線。

∴ ∠OCB=∠ACB=30°，

∴ tan∠OCB==，

∴ OB=·BC=2=OP。

∴ OB=2OB=4，∴ CP=OC?OP=2，

則CP的最小值為2。

3? ?總結(jié)

（1）最值問(wèn)題常規(guī)思路：①根據(jù)已知條件得到圖形中不變的量，如推導(dǎo)出定角、定長(zhǎng);②確定變化的點(diǎn)的軌跡，如見(jiàn)定角→找對(duì)邊（定長(zhǎng)）→想周角→轉(zhuǎn)心角→現(xiàn)隱圓→定軌跡→求最值;③將待求未知量最值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓的距離最值問(wèn)題[2]。

（2）關(guān)注學(xué)法：利用隱圓解決這類(lèi)最值問(wèn)題對(duì)初中生而言是一個(gè)難題。一個(gè)難點(diǎn)是點(diǎn)的軌跡是圓（或?。┑呐袛啵硪粋€(gè)難點(diǎn)是點(diǎn)的軌跡是圓的證明。日常教學(xué)中教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與作圖能力，隱圓的問(wèn)題可開(kāi)展探究型的專(zhuān)題課程，讓學(xué)生逐步掌握方法，引導(dǎo)學(xué)生歸納定角定弦題型的一般解題步驟，包括①（直觀感知）動(dòng)由靜生，取若干個(gè)不同位置的P點(diǎn)，觀察發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段弧;②（對(duì)比發(fā)現(xiàn)）變中不變，尋找不變的張角（定角）或找張角的鄰補(bǔ)交角（常為特殊角），尋找該定角所對(duì)的定邊（定長(zhǎng)）;③（條件轉(zhuǎn)化）隱圓出現(xiàn);④（求得最值）雙定確認(rèn)。

（3）提升認(rèn)知：平面幾何在解決動(dòng)的變化過(guò)程中，尋找不變性是通法。本問(wèn)題中?ACD≌?BAE是最本質(zhì)的不變性，抓住全等的不變性發(fā)現(xiàn)D、C、E、P四點(diǎn)共圓，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)∠APB=120°的不變性，再探知點(diǎn)P的軌跡，然后“穿心”可解。

通過(guò)上面的例題可以看出，初中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的創(chuàng)新研究至關(guān)重要。因圓的最值問(wèn)題是常考題型，所以復(fù)習(xí)時(shí)教師可以在習(xí)題教學(xué)中通過(guò)改變題目的條件、背景，引導(dǎo)學(xué)生多角度地探索習(xí)題。

【參考文獻(xiàn)】

[1]曹建聯(lián)，李翠.把握問(wèn)題本質(zhì)巧解圓中最值[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（30）.

[2]王國(guó)兵.探究以圓為背景的最值問(wèn)題[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，

2014（1）.

【作者簡(jiǎn)介】

王偉（1983～），男，福建惠安人，中學(xué)一級(jí)教師。研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。