Hilbert型級(jí)數(shù)不等式的研究進(jìn)展及應(yīng)用

洪 勇, 陳 強(qiáng)

(1. 廣州華商學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系, 廣州 511300； 2. 廣東第二師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系, 廣州 510303)

0 引 言

Hilbert型級(jí)數(shù)不等式是研究級(jí)數(shù)算子有界性及算子范數(shù)的重要工具, 自1908年Hilbert級(jí)數(shù)不等式誕生以來(lái), 隨著獨(dú)立參數(shù)的引入和權(quán)函數(shù)研究方法的創(chuàng)立, 目前已形成了較完善的理論體系. 1908年, 文獻(xiàn)[1]給出了著名的Hilbert不等式：

(1)

(2)

若將序列空間lp推廣為更廣泛的加權(quán)序列空間：

(3)

為Hilbert型級(jí)數(shù)不等式.若定義級(jí)數(shù)算子T：

則可證明式(3)等價(jià)于算子T的不等式：

(4)

關(guān)于Hilbert型不等式理論和應(yīng)用的研究目前已取得了豐富成果[3-25]. 文獻(xiàn)[3]對(duì)齊次核的Hilbert型積分不等式的研究進(jìn)展進(jìn)行了綜述； 文獻(xiàn)[4]對(duì)Hilbert型積分不等式從齊次核到非齊次核的發(fā)展進(jìn)行了回顧. 事實(shí)上, Hilbert型級(jí)數(shù)不等式是伴隨積分不等式的發(fā)展而發(fā)展的, 它們有許多共性, 也有一些較大差異, 在一定程度上級(jí)數(shù)不等式的討論更具挑戰(zhàn)性. 本文對(duì)Hilbert型級(jí)數(shù)不等式的研究進(jìn)展與現(xiàn)狀進(jìn)行分析綜述， 并給出部分最新研究結(jié)果.

1 Hilbert型級(jí)數(shù)不等式的研究特點(diǎn)

類(lèi)似于Hilbert型積分不等式, Hilbert型級(jí)數(shù)不等式的研究方法仍主要是權(quán)函數(shù)方法： 引入兩個(gè)搭配參數(shù)a,b, 根據(jù)級(jí)數(shù)形式的H?lder不等式可得

引入權(quán)函數(shù)：

此時(shí)需要對(duì)ω1(b,p,m)和ω2(a,q,n)進(jìn)行處理, 通常需要將其化為積分后再利用實(shí)分析的各種技巧進(jìn)行估算, 要求K(m,t)t-bp和K(t,n)t-aq關(guān)于t在(0,+∞)上單調(diào)遞減, 若不滿(mǎn)足該遞減條件, 則要用Euler-Marclaurin求和公式對(duì)ω1(b,p,m)和ω2(a,q,n)進(jìn)行分析處理, 因而討論通常變得很困難.若能得到

則可得

從而得到了Hilbert型級(jí)數(shù)不等式.然后再討論式(5)的常數(shù)因子是否為最佳的.

從上述過(guò)程可見(jiàn), 用權(quán)函數(shù)方法研究Hilbert型級(jí)數(shù)不等式, 其特點(diǎn)之一就是要求K(m,t)t-bp和K(t,n)t-aq在(0,+∞)上單調(diào)遞減.否則, 要得到具有最佳常數(shù)因子的不等式難度很大.一般地, 任意選取的搭配參數(shù)a,b, 并不能使利用權(quán)函數(shù)方法得到的Hilbert型級(jí)數(shù)不等式具有最佳的常數(shù)因子, 從而不能得到相應(yīng)級(jí)數(shù)算子的范數(shù), 因此搭配參數(shù)a,b的選取技巧性較高.

2 針對(duì)特定核選取特定最佳搭配參數(shù)

引入與共軛指數(shù)(p,q)相獨(dú)立的參數(shù), 是Hilbert型不等式研究的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn), 這一階段的研究特點(diǎn)是： 針對(duì)某個(gè)含有獨(dú)立參數(shù)的具體核, 技巧性地引入適當(dāng)?shù)拇钆鋮?shù)a,b, 得到具有最佳常數(shù)因子的Hilbert型不等式.

其中常數(shù)因子(r2+s2)是最佳的.

由定理3和定理4可見(jiàn), 對(duì)于同樣的核, 可以選取不同的搭配參數(shù)得到不同的具有最佳常數(shù)因子的Hilbert型不等式.

上述具有最佳常數(shù)因子的Hilbert型級(jí)數(shù)不等式, 都是基于選取適當(dāng)?shù)拇钆鋮?shù)a,b后利用權(quán)函數(shù)方法得到的.

3 最佳搭配參數(shù)的規(guī)律

要利用權(quán)函數(shù)方法獲得最佳Hilbert型不等式, 最核心的問(wèn)題是要選取最佳的搭配參數(shù)a,b, 因此討論最佳搭配參數(shù)的內(nèi)在規(guī)律具有重要的理論意義.通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)[6-9]成果的分析研究, 文獻(xiàn)[10]針對(duì)擬齊次核的情形, 討論了最佳搭配參數(shù)的充分條件, 但未能證明該條件是否是必要的.文獻(xiàn)[11]針對(duì)齊次核的Hilbert型不等式, 得到了完善的結(jié)果.

都收斂, 則下列結(jié)論成立：

(6)

根據(jù)定理7, 可以選取各種滿(mǎn)足bp+aq=λ+2的搭配參數(shù), 利用權(quán)函數(shù)方法即可得到很多具有齊次核的最佳Hilbert型級(jí)數(shù)不等式.本文通過(guò)進(jìn)一步探討擬齊次核的情形, 可得下列結(jié)果.

Gλ(1,tλ2)t-bp,Gλ(tλ1,1)t-aq,Gλ(1,tλ2)t-bp+λ2c/q和Gλ(tλ1,1)t-aq+λ1c/p都在(0,+∞)上遞減, 且

收斂, 則下列結(jié)論成立：

(7)

其中W0=|λ2|W1(b,p)=|λ1|W2(a,q).

(8)

其中

試判斷不等式的常數(shù)因子是否最佳.

且

故a,b是最佳搭配參數(shù).根據(jù)已知條件, 易知G(1,tλ2)t-bp和G(tλ1,1)t-aq都在(0,+∞)上遞減.因此由定理8知, 式(8)的常數(shù)因子是最佳的.

目前, 關(guān)于Hilbert型級(jí)數(shù)不等式最佳搭配參數(shù)等價(jià)條件的研究已取得了許多成果[12-14].

4 Hilbert型級(jí)數(shù)不等式的構(gòu)建條件

設(shè)核Kλ1,λ2,…,λk(m,n)含有參數(shù)λ1,λ2,…,λk, 則Hilbert型不等式

(9)

中含有參數(shù)λ1,λ2,…,λk,p,q,α,β.這些參數(shù)在什么條件下存在常數(shù)M使式(9)成立以及當(dāng)式(9)成立時(shí), 如何得到其最佳常數(shù)因子, 上述問(wèn)題是Hilbert型級(jí)數(shù)不等式的終極理論問(wèn)題. 該階段的研究對(duì)于最終完善Hilbert型不等式理論意義重大.

文獻(xiàn)[15]首先對(duì)Hilbert型不等式的構(gòu)造進(jìn)行探討, 開(kāi)啟了Hilbert型不等式研究的新階段.之后， 我們相繼得到了如下結(jié)果.

則下列結(jié)論成立：

(10)

infM=W1(β,q)=W2(α,p).

Gλ(1,tλ2)t-(β+1)/q,Gλ(tλ1,1)t-(α+1)/p和Gλ(tλ1,1)t-(α+1)/p+c均在(0,+∞)上遞減, 且

則下列結(jié)論成立：

1) 當(dāng)且僅當(dāng)c≥0時(shí), 存在常數(shù)M>0, 使得

(11)

其中W0=|λ1|W2(α,p)=|λ2|W1(β,q).

收斂, 則下列結(jié)論成立：

1) 當(dāng)λ1c≥0, 且K(1,t)t-(β+1)/q和K(t,1)t-(α+1-λ1pc)/p均在(0,+∞)上遞減時(shí), 有

(12)

2) 當(dāng)λ1c≤0, 且K(1,t)t-(β+1+λ2qc)/q和K(t,1)t-(α+1)/p均在(0,+∞)上遞減時(shí), 有

(13)

這里需要指出的是, 式(12)與式(13)的常數(shù)因子并不能確定是否是最佳值, 其最佳常數(shù)因子是什么仍需進(jìn)一步研究.

(14)

其中常數(shù)因子是最佳的.

不難驗(yàn)證

根據(jù)定理10, 式(14)成立, 且其常數(shù)因子是最佳的.

關(guān)于Hilbert型不等式構(gòu)建的其他結(jié)果可參見(jiàn)文獻(xiàn)[16-18].

5 重級(jí)數(shù)Hilbert型不等式的研究進(jìn)展

文獻(xiàn)[19]首次對(duì)高維Hilbert型不等式進(jìn)行了探討, 之后涌現(xiàn)了大量高維情形的研究成果, 這些成果有積分型、 級(jí)數(shù)型和半離散型, 本文只考慮級(jí)數(shù)型Hilbert不等式. 目前, 許多低維Hilbert型級(jí)數(shù)不等式的結(jié)果都被推廣到了n重級(jí)數(shù)的情形, 我們得到了下列結(jié)果.

均收斂, 則下列結(jié)論成立：

(15)

均收斂, 則下列結(jié)論成立：

1) 當(dāng)且僅當(dāng)c≥0時(shí), 存在常數(shù)M>0, 使得

(16)

2) 當(dāng)c=0時(shí), 式(16)的最佳常數(shù)因子為

6 Hilbert型級(jí)數(shù)不等式在算子理論中的應(yīng)用

Hilbert型級(jí)數(shù)不等式的重要應(yīng)用之一, 就是將其用于討論具有相同核的級(jí)數(shù)算子的有界性與算子范數(shù). 由于式(3)與式(4)等價(jià), 因而根據(jù)定理10和定理11, 可得下列結(jié)果.

定理14在定理10的條件下, 定義級(jí)數(shù)算子T為

則下列結(jié)論成立：

其中W0=|λ1|W2(α,p)=|λ2|W1(β,q).

定理15在定理11的條件下, 定義級(jí)數(shù)算子T為

則下列結(jié)論成立：

例3試討論級(jí)數(shù)算子T：

是否是l2中的有界算子.

解： 記

則G(x3y2)≥0.由于λ1=3,λ2=2,α=β=0,p=q=2, 故

均在(0,+∞)上遞減.又因?yàn)?/p>

故根據(jù)定理15知,T是l2中的有界算子.