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    一類分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步行為分析

    2021-09-22 06:38:18張瑋瑋張紅梅
    關(guān)鍵詞:時滯導(dǎo)數(shù)神經(jīng)元

    王 爽,張瑋瑋,張紅梅,張 海

    (安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院,安徽安慶246133)

    分?jǐn)?shù)微積分在物理、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、信號處理、生物工程和電磁學(xué)等領(lǐng)域具有潛在應(yīng)用,引起了越來越多研究人員的關(guān)注。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的重要特點是非局部性,并具有弱奇異核,與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)相比,它最主要的優(yōu)點是為描述各種材料和過程的記憶與遺傳特性提供了極好的工具。研究表明,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)描述的動力學(xué)系統(tǒng)在交叉學(xué)科領(lǐng)域的推廣與應(yīng)用比整數(shù)階導(dǎo)數(shù)更加精確。近幾年,為了更好地描述神經(jīng)動力學(xué)行為,一些學(xué)者將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)形成分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有無限記憶性和更多的自由度,在圖像處理、信號處理、組合優(yōu)化、聯(lián)想記憶、模式識別等方面應(yīng)用廣泛,這些應(yīng)用在很大程度上依賴于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為。文獻(xiàn)[1]利用Lyapunov方法建立了基于憶阻器分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局Mittag-Leffler穩(wěn)定性和同步條件,并采用右不連續(xù)分?jǐn)?shù)階微分方程理論的結(jié)果進(jìn)行分析;文獻(xiàn)[2]報道了一種新的分?jǐn)?shù)階微分不等式,通過開環(huán)控制與自適應(yīng)控制相結(jié)合的方法,導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)投影同步的一些準(zhǔn)則。

    同步是混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的一個重要動力學(xué)特征,它在安全通信、信息科學(xué)、圖像處理等多個領(lǐng)域有著成功的應(yīng)用。迄今為止,混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步主要有完全同步、全局Mittag-Leffler同步、投影同步等類型。這些類型的同步表明,響應(yīng)系統(tǒng)的軌跡可以達(dá)到無窮遠(yuǎn)處導(dǎo)出系統(tǒng)的軌跡。同步應(yīng)該在有限時間內(nèi)實現(xiàn),許多學(xué)者對混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步問題進(jìn)行了研究,例如文獻(xiàn)[3]利用拉普拉斯變換、廣義格羅瓦爾不等式、Mittag-Leffler函數(shù)以及線性反饋控制技巧導(dǎo)出帶時滯的分?jǐn)?shù)階基于憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步的充分條件。

    關(guān)于分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有著豐富的研究結(jié)果[2-4],對其有限時間同步的結(jié)果也有大量報道[5-7]。但是,這些文獻(xiàn)討論的階數(shù)都是0<α<1情形,在1<α<2情形下,關(guān)于分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的成果很少,例如文獻(xiàn)[4]研究的是分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限穩(wěn)定性問題,而對1<α<2情形,分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限同步問題還沒開展討論,這就是本文研究的動機(jī)。本文首先在上升函數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展一個不等式,然后利用H?lder不等式、Jensen不等式、廣義Gronwall不等式以及線性反饋控制技巧,推導(dǎo)出一個保證1<α<2的分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時間同步的充分條件。

    1 預(yù)備知識

    1.1 分?jǐn)?shù)微積分定義和引理

    定義1[8]函數(shù)f(t)∈C([0,+∞),?)的α階Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)定義為

    其中,Dα表示α(1<α<2)階Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù),n是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的數(shù)量,x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t),…,xn(t))T,xi(t)代表驅(qū)動系統(tǒng)第i個神經(jīng)元狀態(tài)變量,C=(c1,c2,c3,…,cn)T,ci>0表示第i個神經(jīng)元的自調(diào)節(jié)參數(shù),A=(aij)n×n和B=(bij)n×n分別表示無時滯和有時滯的鏈接權(quán)重矩陣,f(x(t))=(f1(x1(t)),f2(x2(t)),…,fn(xn(t)))T和f(x(t-τ))=(f1(x1(t-τ)),f2(x2(t-τ)),…,fn(xn(t-τ)))T分別表示無時滯和有時滯的神經(jīng)元激活函數(shù),I=(I1,I2,I3,…,In)T表示第i個神經(jīng)元的外部輸入,τ表示時滯且>0。

    其中,y(t)=(y1(t),y2(t),y3(t),…,yn(t))T,U(t)=(u1(t),u2(t),u3(t),…,un(t))T,yi(t)代表響應(yīng)系統(tǒng)中第i個神經(jīng)元狀態(tài)變量,ui(t)是合適的控制器。其初始條件形式:yi(t)=?i(t),t∈[-τ,0],i=1,2,3,…,n。我們選擇線性反饋控制器:

    其中,γi是控制增益。

    假設(shè)1神經(jīng)元激活函數(shù)fj在?上滿足Lipschitz條件,即對?x,y∈?,存在Lipschitz常數(shù)kj>0,使得|fj(y)-fj(x)|≤kj|y-x|,j=1,2,3,…,n。

    假設(shè)2max{ ‖φ‖,‖ D e(0) ‖}≤δ。

    備注設(shè)x∈?n×n,定義矩陣范數(shù):

    定義ei(t)=yi(t)-xi(t)為驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)之間的誤差系統(tǒng),則

    2 主要結(jié)果

    定理在假設(shè)1和假設(shè)2的基礎(chǔ)上,若

    則對于t0=0、δ、ε,J=[0,T],驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)在線性控制器(5)下是有限時間同步的。

    證明從定義3、方程(8)可以得到

    根據(jù)超幾何函數(shù),有

    因此,根據(jù)定義可知,驅(qū)動系統(tǒng)(1)與響應(yīng)系統(tǒng)(3)實現(xiàn)了有限時間同步。

    3 數(shù)值算例

    考慮一類分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為驅(qū)動系統(tǒng)

    取初始條件x1(0)=0.4,y1(0)=0.3,x2(0)=0.2,y2(0)=0.1。圖1和圖2分別是驅(qū)動系統(tǒng)(19)和響應(yīng)系統(tǒng)(20)之間的同步軌跡,圖3和圖4分別表示驅(qū)動系統(tǒng)(19)和響應(yīng)系統(tǒng)(20)之間的誤差狀態(tài)軌跡。

    圖1 x1和y1的同步軌跡

    圖2 x2和y2的同步軌跡

    圖3 誤差e1的狀態(tài)軌跡

    圖4 誤差e2的狀態(tài)軌跡

    4 結(jié)論

    本文研究了在1<α<2的情況下,分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時間同步問題,利用不等式技巧和線性反饋控制器,推導(dǎo)出保證這類分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)有限時間同步的一個充分條件。通過仿真證明了所得結(jié)論的有效性和可行性。本文的主要貢獻(xiàn)可以概括為:(1)討論的階數(shù)是1<α<2,根據(jù)狀態(tài)反饋控制技術(shù),設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器來保證此類分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步;(2)基于H?lder不等式、Jensen不等式、廣義Gronwall不等式等,得到驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時間同步準(zhǔn)則;(3)與早期文獻(xiàn)中的結(jié)果相比,所得結(jié)果更一般、更不保守。值得注意的是,近年來許多微積分系統(tǒng)都得到了廣泛的研究,也可以利用本文中的一些技巧來處理其他復(fù)雜的模型,這些都是今后要繼續(xù)研究的課題。

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