創(chuàng)新思考 建模突破

彭良才

摘? ?要：解答數(shù)學(xué)題，是教學(xué)活動的一種重要形式，也是實現(xiàn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)目標不可缺少的手段。通過解題教學(xué)，使學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，能從根本上提高學(xué)生分析和解決問題的能力。有些問題往往可以有不同的解題方式和不同的解題思路，常常能找到非常規(guī)的解題方式，這有助于開拓學(xué)生的思維深度與廣度。但是非常規(guī)解題方法的運用有一定的難度和局限性，應(yīng)當處理好常規(guī)和非常規(guī)性的解題關(guān)系，開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展思維的靈活性和創(chuàng)造性，實現(xiàn)學(xué)生思維能力的全面提升。

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新;思考;非常規(guī)

中圖分類號：G633.6? ?文獻標識碼：A? ?文章編號：1009-010X（2021）20/23-0115-02

新課標強調(diào)學(xué)生應(yīng)學(xué)會“數(shù)學(xué)地思考”，即面對一個問題時，能主動嘗試著從數(shù)學(xué)的角度，運用所學(xué)的知識和方法，建立恰當?shù)臄?shù)學(xué)模型，尋求解決問題的策略。各地中考試卷中的一些“非常規(guī)”性題型很好地體現(xiàn)了這一點。這些問題背景清新，非日常教學(xué)所及，讓人感覺無從下手。經(jīng)過一番細致分析、豐富聯(lián)想之后，相關(guān)數(shù)學(xué)模型才能浮出水面。

例1.（玉林中考）如圖1所示，點A1、A2、A3、A4是某市正方形道路網(wǎng)的部分交匯點，且它們都位于同一對角線上.某人從點A1出發(fā)，規(guī)定向右或向下行走，那么到達點A3的走法共有（? ? ）種。

A.4? ?B.6? ?C.8? ?D.10

解析：觀察圖中道路網(wǎng)可見，按題目所述方法（從點A1出發(fā)，向右或向下行走）到達每一個交匯點的走法種數(shù)，等于按要求到達其左側(cè)格點和上方格點的走法種數(shù)之和。于是可得圖中數(shù)字，每個數(shù)字表示行走至該點的走法種數(shù)，故到達點A3的走法共有6種.將之推廣，可得類似“楊輝三角”的“數(shù)陣”發(fā)展規(guī)律。

例2.（德城中考）如圖2，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點A處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是65°.為了監(jiān)控整個展廳，最少需在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器（? ?）臺.

A.3? ? B.4? ? C.5? ? D.6.

解析：設(shè)圓心為O，則圖中圓心角∠O=65°×2=130°，而360÷130=2，則最少需在圓形邊緣上安裝這樣的監(jiān)視器3臺.

例3.（嵊州中考）將自然數(shù)按如圖3所示規(guī)律排列，則位于第6行第45列的數(shù)是? ? ? ? ? ?.

解析：觀察數(shù)陣，在圖3中畫出線，有助于顯示其中的排列規(guī)律，可見第1、2、3、…、n個“? ? ”上依次排列了1、3、5、…、2n-1個數(shù)，且第奇數(shù)個“? ? ”上的數(shù)按逆時針方向依次增大，而第偶數(shù)個“? ? ”上的數(shù)按順時針方向依次增大.

第6行第45列的數(shù)在第45個“? ? ”上，前45個“? ? ”總共用去1+3+5+7+9+…+89=（1+89）×=2025個數(shù)，則第45（它上面的數(shù)按逆時針方向依次增大）個“? ? ”上的最大數(shù)為2025（在第1行第45列），往下數(shù)6個數(shù)應(yīng)為2020，即位于第6行第45列的數(shù)是2020.

例4.（鄂州中考）在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米經(jīng)過一個限速標志牌，并且從10千米處開始，每隔9千米經(jīng)過一個速度監(jiān)控儀，剛好在19千米處第一次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施，那么，第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施是在

（? ?）千米處。

A.36? ? B.37? ? ?C.55? ? ?D.91

解析：設(shè)第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施是在x千米處，則x-19是4和9的最小公倍數(shù)，即x=55，選C。

例5.（內(nèi)江中考）如圖4，小陳從O點出發(fā)，前進5米后向右轉(zhuǎn)20°，再前進5米后又向右轉(zhuǎn)20°，……，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點O時一共走了（? ? ）

A.60米? ?B.100米? ?C.90米? ?D.120米

解析：容易發(fā)現(xiàn)，這是與“多邊形外角”相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，由“任意多邊形的外角和是360°”，可知小陳第一次回到出發(fā)點O時，一共轉(zhuǎn)了360÷20=18個彎，走了18個5米，共90米，選 C.

例6.（撫順中考）觀察圖5（每幅圖中最小的三角形都是全等的），請寫出最小的三角形的個數(shù)有? ? ? ? ? ?個.

解析：容易知道，第n個圖中，所有的最小三角形與最大的三角形之間都是相似的;又易發(fā)現(xiàn)第n個圖中的最小三角形與最大三角形對應(yīng)邊長之比為1：2n-1，則第n個圖中最小的三角形的個數(shù)為==22n-2（個）.

點評：從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號表示，是將問題一般化的過程，它超越了原有問題的具體情境，揭示了問題的核心特征，把認知和推理提高到一個更高的水平。一般化和符號化，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須經(jīng)歷的過程。尤其在例3中，引入符號“? ? ”更容易直觀勾勒“數(shù)陣”發(fā)展規(guī)律，便于把規(guī)律符號化，易于合情推理過程的進行。由以上諸例可見，非常規(guī)性問題對學(xué)生的符號感、應(yīng)用意識、創(chuàng)新能力能做較好區(qū)分。