融通算理算法，讓關(guān)鍵能力落到實處

鄭端麗

數(shù)的運算包含了運算能力、抽象思維、遷移思想、模型思想等。如何讓這些數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力落實課堂，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)。下面，筆者以人教版四上“三位數(shù)乘兩位數(shù)”為例，談?wù)勗谟嬎憬虒W(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。

一、融合算法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算能力

運算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力之一，指的是學(xué)生運用運算的知識技能，根據(jù)法則和計算律正確進行計算的能力。培養(yǎng)運算能力，有助于學(xué)生理解運算的算理，運用合理的運算方法來解決問題。

1. 讀懂教材，理解“三算”。人教版三位數(shù)乘兩位數(shù)這一部分內(nèi)容，教材沒有單獨編排運用口算或估算的例題，而是將估算、筆算、口算三種算法融合在問題解決例題中。三位數(shù)乘兩位數(shù)是一個學(xué)習(xí)乘法模型的單元，它是學(xué)生學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)以及三位數(shù)乘一位數(shù)的筆算乘法的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的。因此，教材把口算、筆算、估算融于問題解決中，并適當(dāng)?shù)靥岢鲵炈愕囊?，讓學(xué)生充分體驗這三種計算方法均有各自的特點，又能相互補充。

2. 根據(jù)情境，融合“三算”。課伊始，筆者設(shè)計了這樣的問題情境：“我們學(xué)校的合唱團有12名同學(xué)，老師準(zhǔn)備為大家購買服裝，現(xiàn)有A、B兩種服裝供選擇：A種每套98元，B種每套145元。老師帶了1200元，能夠買哪種呢？”學(xué)生根據(jù)情境，通過口算和估算得出選擇A方案的結(jié)論。而B方案，學(xué)生回答只要估算，就能得出結(jié)果超過1200元的結(jié)論，因此不做選擇。隨后，筆者提問：“那么145乘以12的具體結(jié)果是多少呢？”讓學(xué)生明確在口算和估算無法解決時，學(xué)習(xí)筆算也很有必要，從而為三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法教學(xué)做鋪墊。

口算、筆算、估算三種算法是學(xué)生在解決問題過程中常用的計算方法，是培養(yǎng)運算能力的主要途徑，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的有效手段。融合三算，讓學(xué)生有機會思考和選擇合適的計算方式，切實培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力。

二、遷移比較，培養(yǎng)數(shù)學(xué)推理能力

推理能力是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。推理包含演繹推理、歸納推理和類比推理，三位數(shù)乘兩位數(shù)的內(nèi)容主要培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理和類比推理能力。

1. 算法多樣，尋求優(yōu)化。在探究145×12的結(jié)果時，學(xué)生的方法歸總為三種：第一種是把第二個因數(shù)12拆成兩數(shù)相乘的形式，如拆分成2×6或3×4，使145×12=145×2×6=290×6=1740或145×12=145×3×4=435×4=1740;第二種是把因數(shù)12拆分成兩數(shù)相加的形式，如8+4，使145×12=145×8+145×4=1160+580=1740，或把第二個因數(shù)12拆分成10+2，使145×12=145×10+145×2=1450+290=1740的算法;第三種是豎式計算。學(xué)生通過觀察、分析每種方法的計算過程，得出把12拆分成10+2的算法和第三種豎式計算的算法一樣，只是表現(xiàn)形式不同。一種是用口算的方式得出145×10+145×2的計算結(jié)果，另一種則是將145×10+145×2中口算的每一步過程以豎式的形式一一記錄下來。通過分析比較，學(xué)生們一致認(rèn)為計算比較復(fù)雜的算式時，豎式計算更清晰。

2. 新舊聯(lián)系，融通算理。算法是一種技能，而算理則是一種推理與理解形式。教學(xué)中，筆者溯源而上先請學(xué)生回憶：“之前咱們已經(jīng)學(xué)習(xí)過三位數(shù)乘一位數(shù)與兩位數(shù)乘兩位數(shù)，大家說一說咱們是怎么進行計算的？”在喚醒學(xué)生對計算方法的記憶，并明確計算算理的情況下，順勢讓學(xué)生再次列豎式計算145×12，并提出問題：豎式中的290表示什么？豎式過程中的145是從哪里來的？這個145末尾的5為什么要與十位對齊？學(xué)生通過充分觀察、思考、對比后，明確145×12的算理與之前兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理一樣，要用第二個因數(shù)的個位和十位分別乘第一個因數(shù)，然后加總和。

三位數(shù)乘兩位數(shù)是數(shù)的運算的重要組成部分，也是整數(shù)乘法的最后一次計算教學(xué)。教學(xué)中，教師要給學(xué)生更多觀察比較、交流合作的時間與空間，讓學(xué)生真正明確三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理與算法，并能對整數(shù)乘法進行系統(tǒng)的歸納與總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生類比分析與概括的能力，提高知識的應(yīng)用意識。

3.數(shù)形結(jié)合，發(fā)展思維。數(shù)形結(jié)合思想是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的思想方法，能把抽象問題變得形象直觀，有助于培養(yǎng)學(xué)生主動探究知識的意識，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。如在教學(xué)四上教材第50頁的第12題（題略），這是一道綜合應(yīng)用乘法知識解決問題的開放性題目。學(xué)生關(guān)注到0的特殊性，發(fā)現(xiàn)0放個位與任何兩位數(shù)組成三位數(shù)，都不影響最后的乘積，于是把這道題的三位數(shù)乘兩位數(shù)知識轉(zhuǎn)化成了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的問題來解決。此時學(xué)生最大的困惑是：52乘43和53乘42，誰的乘積更大？知其然還要知其所以然，筆者引導(dǎo)學(xué)生借助下圖（圖1）進行觀察、比較和思考，他們通過數(shù)形結(jié)合看出40乘50與3乘2這兩塊的面積相等，要比較的是剩下兩塊;再通過面積大小的計算，學(xué)生充分理解為什么52乘43比53乘42的乘積大，從而得知乘積最大的算式應(yīng)該是430×52或520×43。教師借助圖形幫助學(xué)生突破知識難點，適時引導(dǎo)學(xué)生運用不同的方法去解決問題，這不僅鍛煉了學(xué)生的直覺思維，也培養(yǎng)了數(shù)學(xué)推理能力。

三、合理建構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力

在教學(xué)三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法時，筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、辯析三位數(shù)乘兩位數(shù)與前面學(xué)過的兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘一位數(shù)的相似處，溝通豎式的內(nèi)在聯(lián)系，增強學(xué)生對乘法豎式模型特征的把握，促進學(xué)生更好地掌握算法、領(lǐng)悟算理，從而抽象出整數(shù)乘法的算法模型，實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)逐步邁向“多元”與“關(guān)聯(lián)”。

在教學(xué)的最后，筆者這樣拓展知識：“如果因數(shù)變成四位數(shù)、五位數(shù)呢？”然后讓學(xué)生通過題組探究，發(fā)現(xiàn)整數(shù)乘法的算法是相通的（圖2）：第二個因數(shù)有幾位數(shù)，就有幾層，分別與第一個因數(shù)逐位相乘，表示幾個一、幾個十、幾個百、幾個千……相加。

由一道題進階一類題，并延伸至整個整數(shù)乘法領(lǐng)域，雖然數(shù)學(xué)教材上沒有出示多位數(shù)乘多位數(shù)的一般方法，但作為整數(shù)乘法的最后一次教學(xué)，教師需要幫助學(xué)生建立整數(shù)乘法的算法模型，在從具體到抽象，從特殊到一般的推理中實現(xiàn)模型的感知與強化，促進數(shù)學(xué)理解的深度、廣度和完整度的相互關(guān)聯(lián)。