數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

朱嘉松 劉燕萍

【摘要】本文以面積解題為例，論述在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略，用面積解題幫助學(xué)生理解運(yùn)算定律、解平均數(shù)、求租船問(wèn)題、進(jìn)行數(shù)的計(jì)算等，有效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 面積解題 小學(xué)數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）25-0095-02

數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面，數(shù)形結(jié)合既是一種常用的教學(xué)方法，又是重要的數(shù)學(xué)思想。針對(duì)小學(xué)生邏輯思維能力不強(qiáng)，面對(duì)抽象復(fù)雜的問(wèn)題缺乏理解力和分析力的問(wèn)題，數(shù)學(xué)課堂運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可以將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得形象直觀，使繁難的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單明了。下面，以巧用面積解題的方式讓學(xué)生在直觀理解的基礎(chǔ)上，充分感知抽象運(yùn)算的過(guò)程，達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁有效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的。

一、用面積解題幫助學(xué)生理解運(yùn)算定律

數(shù)與形關(guān)系密切。在運(yùn)算定律教學(xué)過(guò)程中，筆者運(yùn)用教學(xué)圖形巧妙地把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，利用面積解題指導(dǎo)學(xué)生理解運(yùn)算定律，掌握計(jì)算方法，把抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化，把抽象的問(wèn)題形象化，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征。如教學(xué)乘法分配律（一個(gè)數(shù)乘兩個(gè)數(shù)的和，等于這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)所得的積的和）時(shí)，部分學(xué)生在運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算時(shí)總是出錯(cuò)，且不會(huì)分析錯(cuò)誤的原因，對(duì)算理的理解基本處于無(wú)意識(shí)狀態(tài)。小學(xué)生思維的發(fā)展，正逐步從具體形象思維向抽象思維過(guò)渡，由于乘法分配律這一部分內(nèi)容抽象性較強(qiáng)，學(xué)生學(xué)起來(lái)確實(shí)有難度，怎樣才能突破這一教學(xué)難點(diǎn)呢？傳統(tǒng)的教學(xué)方法是強(qiáng)背概念和大量練習(xí)，這樣的教學(xué)往往事倍功半。對(duì)此可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，以面積解題的方式幫助學(xué)生理解運(yùn)算定律。

例1：下列三個(gè)長(zhǎng)方形面積之和，等于把三個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形的面積。（單位：厘米）

得出：21×73+21×26+21×1

=21×（73+26+1）

=21×100

=2100（平方厘米）

將三個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，呈現(xiàn)一個(gè)直觀性和操作性較強(qiáng)的素材圖，使得學(xué)生更易于掌握乘法分配律。

二、用面積解題幫助學(xué)生解平均數(shù)

在總和不變的條件下，把幾個(gè)不相等的數(shù)通過(guò)移多補(bǔ)少，使它們完全相等，得到的數(shù)就是平均數(shù)。學(xué)生在做一般的平均數(shù)問(wèn)題時(shí)，只須牢記三個(gè)數(shù)量關(guān)系式，即平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)，總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)，總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)。但在實(shí)際運(yùn)用中遇到較復(fù)雜的平均數(shù)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生雖然懂得要“移多補(bǔ)少”，但不知道將移去的部分補(bǔ)到哪里，移補(bǔ)前后哪些數(shù)據(jù)發(fā)生了變化，導(dǎo)致做題時(shí)很茫然。對(duì)此，教師可以利用面積解題的方式幫助學(xué)生解平均數(shù)。下面以一道數(shù)學(xué)題為例談?wù)劷虒W(xué)實(shí)踐。

例2：一次語(yǔ)文測(cè)試，四年級(jí)（2）班全體同學(xué)平均分為92.5分，已知女生20人，平均每人94分，男生平均每人91.3分，求這個(gè)班男生有多少人？

在教學(xué)中，筆者利用圖“形”作為直觀工具幫助學(xué)生分析、理解問(wèn)題，即通過(guò)畫(huà)圖用面積公式來(lái)求平均數(shù)問(wèn)題。解題過(guò)程如下：

將平均分看作長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)”，將人數(shù)看作長(zhǎng)方形的“寬”，總分就自然可以當(dāng)作長(zhǎng)方形的“面積”。如圖所示：

用線段gh表示男生平均分?jǐn)?shù)91.3分，線段bc則表示全班平均分?jǐn)?shù)92.5分，線段be表示女生平均分?jǐn)?shù)94分，線段ab表示女生人數(shù)20人，線段ag表示男生的人數(shù)（橫線的長(zhǎng)短表示平均數(shù)的多少，豎線的長(zhǎng)短表示人數(shù)的多少）。求男生人數(shù)是多少，即求線段ag長(zhǎng)多少？由平均數(shù)的“移多補(bǔ)少”可知，長(zhǎng)方形dcef的面積是女生高出全班平均分的部分，它正好補(bǔ)到男生低于全班平均分的那一部分，也就是長(zhǎng)方形idkh的面積，由此可知，長(zhǎng)方形dcef的面積等于長(zhǎng)方形idkh的面積，這樣就能將其轉(zhuǎn)換成用長(zhǎng)方形的面積公式來(lái)求問(wèn)題。由圖形可知，男生人數(shù)ag，正是長(zhǎng)方形idkh的寬邊。解題過(guò)程應(yīng)先求出女生高出全班平均分的總分?jǐn)?shù)，如下：

長(zhǎng)方形dcef的面積=長(zhǎng)×寬

=（94-92.5）×20

=30（分）

因?yàn)殚L(zhǎng)方形dcef的面積表示女生高出總平均分的總分?jǐn)?shù)，所以30的單位是“分”。這個(gè)面積與長(zhǎng)方形idkh的面積相等：

寬ag=寬dk=長(zhǎng)方形dcef的面積÷長(zhǎng)hk

=30÷（92.5-91.3）

=25（人）

因?yàn)榫€段ag的長(zhǎng)表示男生的人數(shù)，所以25的單位是“人”，也就是說(shuō)男生有25人。列綜合算式為：

20×（94-92.5）÷（92.5-91.3）

=30÷1.2

=25（人）

答：這個(gè)班男生有25人。

對(duì)兩批學(xué)生用新老方法進(jìn)行教學(xué)可知，畫(huà)圖移補(bǔ)面積的方法更能讓學(xué)生直觀形象地接受并掌握知識(shí)點(diǎn)。

三、用面積解題幫助學(xué)生求租船問(wèn)題

圖形的直觀形象特點(diǎn)，決定了化數(shù)為形往往能達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁的目的。如利用面積解題策略可以幫助學(xué)生理解如何調(diào)整船只，讓學(xué)生在直觀理解的基礎(chǔ)上充分感知調(diào)整的過(guò)程，從而提升思維能力。

例3：全班同學(xué)去劃船。如果減少一條船，每條船正好坐9人;如果增加一條船，每條船正好坐6人。那么全班共有多少人？

在教學(xué)時(shí)，教師的解題策略側(cè)重于先假設(shè)有x條船，減少一條船，每條船坐9人與增加一條船正好坐6人的總?cè)藬?shù)相等，利用關(guān)系式列出下列方程。

方法1：設(shè)有x條船。

9×（x-1）=6×（x+1）

9x-9=6x+6

9x-6x=6+9

3x=15

x=5

全班共有9×（5-1）=36（人）

答：全班共有36人。

方法2：將每條船上的人數(shù)看作長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)”，船數(shù)看作長(zhǎng)方形的“寬”，從而將總?cè)藬?shù)自然看作長(zhǎng)方形的“面積”。

分析：把C+B的面積看作總?cè)藬?shù)，將橫線的長(zhǎng)短看作每條船上的人數(shù)，豎線的高矮看作船數(shù)。因?yàn)樵黾右粭l船，每條船正好坐9人，所以ab的長(zhǎng)等于9人，而減少一條船，每條船正好坐6人，de的長(zhǎng)等于6人，dc的長(zhǎng)等于2條船，增加一條船和減少一條船的情況下，二者相差兩條船，可得：

面積C+B=A+C[]A=B

陰影A的面積=2×6=12（人）

陰影B的寬=12÷3=4（條）

總?cè)藬?shù)=4×9=36（人）

四、用面積解題幫助學(xué)生計(jì)算數(shù)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有相當(dāng)一部分內(nèi)容是計(jì)算問(wèn)題，計(jì)算教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生理解算理。數(shù)和數(shù)之間的運(yùn)算本身是很抽象的，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)以形助數(shù)的方法體會(huì)數(shù)形結(jié)合的直觀生動(dòng)性，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性。巧用“幾何意義”來(lái)解題時(shí)，可以觀察、尋找圖形的特點(diǎn)，從不同角度觀察得出所求之?dāng)?shù)。這樣很多學(xué)生就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)思維產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)和體會(huì)，從中直觀感受到數(shù)學(xué)的“美”。

例4：兩個(gè)自然數(shù)，它們的和加上它們的積恰為34，那么這兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)是多少？

分析：利用長(zhǎng)方形面積的定義，特別是巧用“1”作為兩個(gè)小長(zhǎng)方形的寬。

a+b+a×b=34

a×1+b×1+a×b=34

如圖：

（a+1）×（b+1）=34+1=35=5×7

a+1=5，（b+1）=7，即a=4，b=6

結(jié)合以上例子，學(xué)生逐漸明白了數(shù)形結(jié)合之間的關(guān)系、利用面積解題前后的情況變化，對(duì)面積公式能夠運(yùn)用自如，這樣學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)更得心應(yīng)手。

總之，利用面積解題幫助學(xué)生理解“租船問(wèn)題和簡(jiǎn)便運(yùn)算、解決求平均數(shù)和數(shù)”問(wèn)題，其實(shí)是借助形的幾何直觀性來(lái)闡明幾個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，這就是數(shù)形結(jié)合思想中的“以形助數(shù)”，它有利于協(xié)調(diào)發(fā)展學(xué)生的抽象思維、形象思維，優(yōu)化解決問(wèn)題的方法。教師在教學(xué)中遇到難講的題目時(shí)，可以找一找數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題，從而得到一條捷徑，促使學(xué)生學(xué)得輕松愉快，更加有效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

注：本文系廣西教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“美術(shù)效應(yīng)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值研究”（編號(hào)：2017C253）的研究成果。

【作者簡(jiǎn)介】朱嘉松（1968— ），男，漢族，廣西賀州人，高級(jí)教師，賀州市平桂區(qū)黃田鎮(zhèn)里寧小學(xué)科技輔導(dǎo)員，研究方向?yàn)橹行W(xué)數(shù)學(xué)教育、美術(shù)教育;劉燕萍（1970— ），女，漢族，廣西賀州人，高級(jí)教師，研究方向?yàn)橹行W(xué)數(shù)學(xué)教育。

（責(zé)編 楊 春）