基于GeoGebra的數(shù)學(xué)探究性活動(dòng)設(shè)計(jì)
——以“瓜豆原理”的教學(xué)為例

翟小芳 (江蘇省江陰實(shí)驗(yàn)中學(xué) 214433)

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題涉及圖形變換，學(xué)生往往很難看到動(dòng)點(diǎn)之間的變換、路徑之間的聯(lián)系，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題也是當(dāng)下中考的一熱門話題，此類問(wèn)題又以所謂的“瓜豆原理”模型為典型．筆者帶領(lǐng)學(xué)生圍繞具體問(wèn)題，以GeoGebra(簡(jiǎn)稱GGB)為平臺(tái)開(kāi)展了一次數(shù)學(xué)探究之旅，在挖掘問(wèn)題的教育價(jià)值的同時(shí)，幫助學(xué)生從圖形變換視角認(rèn)識(shí)并歸納動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的本質(zhì)．

1 過(guò)程實(shí)錄

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，聚類分析

出示兩個(gè)問(wèn)題，并演示其動(dòng)圖，教師引領(lǐng)學(xué)生思考問(wèn)題解決策略．

圖1 圖2

問(wèn)題2(2019年宿遷中考)如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EF，以EF為腰向右側(cè)作等邊△EFG，連結(jié)CG，則CG的最小值為．

兩問(wèn)題均屬于典型的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.以問(wèn)題1為例，點(diǎn)F因點(diǎn)E的變化而變化(通常稱F為“從動(dòng)點(diǎn)”、E為“主動(dòng)點(diǎn)”)，要求出OF的最小值便需追蹤動(dòng)點(diǎn)F的軌跡，而從動(dòng)點(diǎn)的軌跡顯然取決于主動(dòng)點(diǎn)的軌跡和圖形變換規(guī)則(將E繞D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)E′，再將E′點(diǎn)以D為中心縮放一半得到點(diǎn)F)，而這種“旋轉(zhuǎn)+位似”的變換恰是我們需要重點(diǎn)關(guān)注的模型．

設(shè)計(jì)意圖與文[4]的設(shè)計(jì)相區(qū)別的是，我們不是簡(jiǎn)單地將探究任務(wù)拋給學(xué)生，而是從具體實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，在動(dòng)點(diǎn)間依存關(guān)系的具體分析中，聚類提煉出需要探究的具體任務(wù)，即“旋轉(zhuǎn)+位似”的變換模型．

1.2 嘗試探究，形成命題

(1)創(chuàng)建角度滑動(dòng)條α(范圍0～π)和數(shù)值滑動(dòng)條t(范圍0～5)，構(gòu)造兩點(diǎn)A,P，輸入指令“位似(旋轉(zhuǎn)(A,α,P),t,P)”得到從動(dòng)點(diǎn)B，構(gòu)造線段PA,PB；

(2)任意構(gòu)造點(diǎn)C,D，輸入“圓周(C,D)”得到圓f，修改主動(dòng)點(diǎn)A的屬性為“描點(diǎn)(f)”，輸入指令“軌跡(B,A)”，得到從動(dòng)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡loc1，拖動(dòng)滑動(dòng)條改變參數(shù)α,t的值，可以發(fā)現(xiàn)軌跡loc1始終為圓(圖3)；

圖3 圖4

(3)輸入“直線(C,D)”得到直線g，修改主動(dòng)點(diǎn)A的屬性為“描點(diǎn)(g)”，可以發(fā)現(xiàn)從動(dòng)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡loc1變?yōu)榱酥本€，而拖動(dòng)滑動(dòng)條改變參數(shù)α,t的值，軌跡loc1始終為直線(圖4)；

圖5

(4)任意構(gòu)造點(diǎn)E,F,G,H，輸入“折線(E,F,C,G,H)”得到折線h，修改主動(dòng)點(diǎn)A的屬性為“描點(diǎn)(h)”，可以發(fā)現(xiàn)從動(dòng)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡loc1變?yōu)榱苏劬€，而拖動(dòng)滑動(dòng)條改變參數(shù)α,t的值，軌跡loc1始終為折線(圖5)．

從上述實(shí)驗(yàn)探究結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，從動(dòng)點(diǎn)軌跡與主動(dòng)點(diǎn)軌跡相似；正如“種瓜得瓜，種豆得豆”，這兒可是“種”圓得圓，“種”線得線，于是不難歸納出可謂之“瓜豆原理”的如下命題：如圖3～5，已知P為定點(diǎn)，A,B兩點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有∠APB=α,PA=tPB；若點(diǎn)A在曲線Γ(圓、直線、折線等)上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡T與曲線Γ相似．簡(jiǎn)而言之可概括為：一條折線段，固定其折點(diǎn)；鄰邊定比例，夾角不改變．主動(dòng)于直線，從動(dòng)于直線；主動(dòng)于圓(弧)，從動(dòng)于圓(弧)．

設(shè)計(jì)意圖將所謂“瓜豆原理”的結(jié)論寓于實(shí)驗(yàn)、觀察、探究中，在此過(guò)程中不僅有結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，更有規(guī)則的強(qiáng)化，通過(guò)“旋轉(zhuǎn)+位似”的表達(dá)，演繹運(yùn)動(dòng)軌跡的相似，而這恰是證實(shí)的基礎(chǔ)．

1.3 正本清源，證實(shí)命題

通過(guò)前面的實(shí)驗(yàn)探究，我們已經(jīng)確信從動(dòng)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡T與主動(dòng)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡Γ相似，即“種”圓得圓、“種”線得線，那么如何證明呢？考慮到旋轉(zhuǎn)變換不改變曲線形狀，而位似變換說(shuō)明相似，因此命題的證明可以從三角形的相似角度加以證實(shí)．

圖6 圖7

當(dāng)曲線Γ為圓時(shí)，設(shè)圓心為C、半徑為r；如圖6，構(gòu)造圓心C的旋轉(zhuǎn)位似變換點(diǎn)D．由PA=tPB，PC=tPD，∠APB=∠CPD=α?∠APC=∠BPD=α-∠CPB．證得△APC∽△BPD，從而有BD=tAC=tr，即點(diǎn)B在以D為圓心、tr為半徑的定圓上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)曲線Γ為直線時(shí)，如圖7，作PA0⊥Γ于點(diǎn)A0，構(gòu)造點(diǎn)A0的旋轉(zhuǎn)位似變換點(diǎn)B0，設(shè)直線AA0,BB0相交于點(diǎn)Q．易證△APA0∽△BPB0，所以∠AA0P=∠BB0P=90°；于是四點(diǎn)P,A0,Q,B0共圓，故而∠A0QB0=π-∠A0PB0=π-α．從而證得點(diǎn)B在定直線T(與直線Γ的夾角為α或π-α)上運(yùn)動(dòng)．

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)中講究“大膽猜想、小心求證”，在求證過(guò)程中可以觸及數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).事實(shí)上，旋轉(zhuǎn)改變位置、位似改變大小，這正可以在命題證明的過(guò)程中幫助學(xué)生理解“旋轉(zhuǎn)+位似”的涵義．

1.4 應(yīng)用模型，彰顯實(shí)效

當(dāng)我們認(rèn)識(shí)了“瓜豆原理”，便可以由主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡得到從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，繼而從整體上解決相關(guān)的運(yùn)動(dòng)路程求解及線段最值問(wèn)題.這樣上課伊始給出的兩個(gè)問(wèn)題便可輕松得到解決．

問(wèn)題1主動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為半圓弧，故而從動(dòng)點(diǎn)F的軌跡也為一個(gè)半圓．

圖8 圖9

問(wèn)題2主動(dòng)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段AB，則點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡也是一線段(長(zhǎng)度與AB相等)．

如上兩例是當(dāng)前中考試題和中考模擬試題中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)是旋轉(zhuǎn)(全等)變換，以“瓜豆原理”為指向，使解決問(wèn)題的思路變得簡(jiǎn)約通暢．

圖10

例如圖10，AB=4，O為AB的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，PC⊥PB(點(diǎn)B,P,C順時(shí)針?lè)较蚺帕?且滿足PC=tPB，則線段AC的取值范圍為．

2 教后反思

隨著新一輪課程改革的逐步深入，如何幫助學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光、視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、模型描述問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問(wèn)題”，已成為擺在數(shù)學(xué)教育人面前的共同課題．開(kāi)展數(shù)學(xué)探究性活動(dòng)，在經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程中深入思考學(xué)科問(wèn)題，可引領(lǐng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從表層進(jìn)入深層，在其內(nèi)心深處培植理性的種子．

2.1 探究活動(dòng)——深度教學(xué)的重要課題

核心素養(yǎng)時(shí)代，要求我們的數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越表層的符號(hào)教學(xué)，在準(zhǔn)確把握學(xué)科本質(zhì)的基礎(chǔ)上觸動(dòng)學(xué)生情感和思維的深處，即“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”，這其實(shí)就是深度教學(xué)．類似于本節(jié)課開(kāi)展的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，圍繞某些具體問(wèn)題(問(wèn)題1、問(wèn)題2)，從共性角度發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題(“旋轉(zhuǎn)+位似”動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題)，通過(guò)動(dòng)態(tài)觀察猜測(cè)出合理的數(shù)學(xué)結(jié)論(種瓜得瓜、種豆得豆)，開(kāi)展自主探究、合作研究來(lái)證實(shí)一般性的結(jié)論(瓜豆原理)，并最終應(yīng)用一般結(jié)論解決具體問(wèn)題．在這樣的探究活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程，從發(fā)現(xiàn)、證實(shí)到應(yīng)用，不僅有問(wèn)題解決更有問(wèn)題提出，不僅有邏輯推理更有歸納猜想，不僅有教師點(diǎn)撥引導(dǎo)更有學(xué)生自主參與.這樣的數(shù)學(xué)課堂因探究而精彩，因深度而富于啟迪．

2.2 技術(shù)融合——探究活動(dòng)的必然選擇

“種瓜得瓜、種豆得豆”固然通俗易懂，但引用到數(shù)學(xué)問(wèn)題中卻顯艱澀.我們應(yīng)用GGB創(chuàng)設(shè)圖3這樣的活動(dòng)場(chǎng)景，使所有學(xué)生都過(guò)目難忘，且“種瓜得瓜、種豆得豆”的想法或結(jié)論幾乎都是瞬間脫口而出、異口同聲．所謂“工欲善其事，必先利其器”，GGB不僅可對(duì)點(diǎn)進(jìn)行變換操作，更可對(duì)曲線直接操作，如1.2第(2)步中我們?cè)黾又噶睢拔凰?旋轉(zhuǎn)(f,α,P),t,P)”便可得到一新圓(與軌跡loc1重合)；也可從平面推廣到三維空間；圖11也只是增加一個(gè)指令輸入而已.當(dāng)然，對(duì)于本節(jié)課更有意義的是，我們可以將對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查寓于具體的操作之中(通過(guò)具體的操作強(qiáng)化對(duì)變換的認(rèn)識(shí))．事實(shí)上，數(shù)學(xué)有著高度概括的特性，在抽象的數(shù)學(xué)與生動(dòng)的現(xiàn)實(shí)間構(gòu)建聯(lián)系通道，離不開(kāi)現(xiàn)代教育技術(shù)的支持．我們需要借助技術(shù)的表征優(yōu)勢(shì)，為概念理解創(chuàng)設(shè)背景，為規(guī)律探索啟發(fā)思路，為問(wèn)題解決提供直觀，真正促進(jìn)學(xué)生的自主發(fā)現(xiàn)和真正理解，為學(xué)生“沉浸”于學(xué)習(xí)提供支撐．

圖11