追根溯源揭本質(zhì) 拓展思維促提升
——高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的實(shí)踐與思考

王 玲 (天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué) 301700)

1 重視“課程標(biāo)準(zhǔn)與考試說明”的指導(dǎo)作用和“高考題”的導(dǎo)向功能

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》是教材編寫、教學(xué)組織、考試評(píng)價(jià)的重要依據(jù)，對(duì)教材中的教學(xué)內(nèi)容在教學(xué)中到底把握到什么程度，給出了明確的說明，《考試說明》則對(duì)高考考什么、怎么考、考多難進(jìn)行了細(xì)化，高考試題是對(duì)它們最直觀的解釋.近幾年的高考試題進(jìn)一步體現(xiàn)了新課程的理念和要求，較好地把握了穩(wěn)定與創(chuàng)新之間的關(guān)系，穩(wěn)中有變、變中有新，試卷的框架結(jié)構(gòu)保持不變，達(dá)到了知識(shí)結(jié)構(gòu)、能力結(jié)構(gòu)、題型結(jié)構(gòu)和難度結(jié)構(gòu)的合理統(tǒng)一.就是在這種穩(wěn)定命題形式下，每年的高考成績(jī)還是不理想，究其原因，主要還是學(xué)生只知道解題規(guī)律，總結(jié)套路，沒學(xué)會(huì)如何分析、如何思考、如何運(yùn)用，是解題能力上出現(xiàn)了問題.因此教學(xué)上要調(diào)整復(fù)習(xí)策略.

2 復(fù)習(xí)策略

2.1 教學(xué)生學(xué)會(huì)思考

在以前的復(fù)習(xí)中教師總結(jié)基礎(chǔ)知識(shí)、解題規(guī)律和模型，學(xué)生模仿并記憶，然后進(jìn)行大量訓(xùn)練；反復(fù)訓(xùn)練后學(xué)生確實(shí)能掌握一些常規(guī)模型，但時(shí)間長(zhǎng)了發(fā)現(xiàn)效果并不好，說明學(xué)生還不會(huì)思考.因此，教學(xué)中要改變重結(jié)論輕過程的教學(xué)方法，重視概念、性質(zhì)、定理得來過程的教學(xué)，這些知識(shí)的形成過程正是數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)過程，也是確保運(yùn)算準(zhǔn)確、合理、靈活的前提.然后再直接或間接地應(yīng)用概念、性質(zhì)、定理蘊(yùn)含的方法解決相應(yīng)的問題，同時(shí)總結(jié)應(yīng)用概念、性質(zhì)、定理解題的方法.

這道題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線和圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)；考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)、運(yùn)算求解能力以及用方程思想解決問題的能力.它確實(shí)是一道基本題，但如果平時(shí)教學(xué)中不重視這些最基礎(chǔ)的概念和最基本的方法的滲透和應(yīng)用，學(xué)生反而會(huì)把問題復(fù)雜化，甚至不知如何下手.通過直接解方程組得到點(diǎn)坐標(biāo)的方法可能不會(huì)列入他們的選擇范圍，他們會(huì)搜尋一些解題套路，結(jié)果思維受阻，把它看做了一道難題.可見教學(xué)中要重視運(yùn)用概念、性質(zhì)、定理解題的基本方法，要教學(xué)生逐步學(xué)會(huì)應(yīng)用.

2.2 教學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是發(fā)展學(xué)生的思維能力，使學(xué)生從不自覺到自覺地運(yùn)用思維方法，善于對(duì)問題進(jìn)行分析、綜合、歸納、類比和概括，即“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”，從而獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識(shí)能力.復(fù)習(xí)可采用“遞進(jìn)式教學(xué)”策略.遞進(jìn)式教學(xué)根據(jù)學(xué)生思維特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律設(shè)置問題，便于學(xué)生接受，能促進(jìn)學(xué)生形成良好的思維方式.具體地講，遞進(jìn)式教學(xué)是利用已經(jīng)掌握的典型方法、解題經(jīng)驗(yàn)作為解決新問題時(shí)思考的基礎(chǔ)，把一個(gè)復(fù)雜問題分解成若干個(gè)已知的簡(jiǎn)單問題，層層遞進(jìn)，最后破解難題．從命題的角度看，憑空編制的數(shù)學(xué)題目幾乎是不存在的，遞進(jìn)式教學(xué)還具有還原命題者思考軌跡的功能．這對(duì)我們從更高的層次認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)解題、學(xué)習(xí)解題方法、消除數(shù)學(xué)的神秘感也大有益處.遞進(jìn)式教學(xué)主要有以下兩種形式：

(1)結(jié)論上遞進(jìn).數(shù)學(xué)問題之間是有聯(lián)系的，有些問題本身在形式上、結(jié)論上有密切的關(guān)系，有些題目的結(jié)論則是另外一些題目結(jié)論的一般化或特殊化.

例2已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合M={0,1,2，…，q-1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…，n}.

(1)當(dāng)q=2,n=3時(shí)，用列舉法表示集合A；

(2)設(shè)s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n,證明：若an

分析 第(2)問是一組數(shù)值的大小比較問題，可從最基本的數(shù)值比較開始，如37<58，479<500，大小關(guān)系非常簡(jiǎn)單，也就是位數(shù)相同的數(shù)從最高位開始比即可．如何來證明？就以479<500為例，從根源上看，可以想到數(shù)的進(jìn)制，我們把479和500表達(dá)成十進(jìn)制數(shù)：479=4× 102+7×101+9×100，500=5×102+0×101+ 0×100．這樣一種等價(jià)的表達(dá)形式為解題提供了一種思路，我們把它推廣成任意的兩個(gè)三位數(shù)abc和xyz進(jìn)行證明：abc=a×102+b×101+c×100，xyz=x×102+y×101+z×100，我們可以考慮比較大小的最基本方法——作差法，abc-xyz=(a-x)×102+(b-y)×101+(c-z)×100，等式右邊的數(shù)值有正有負(fù)，不能直接看出它和0的關(guān)系，又由于它涉及不等關(guān)系，可以考慮不等式的證明方法，其中放縮法應(yīng)用比較普遍，不妨一試．最簡(jiǎn)單的就是把右邊各項(xiàng)放大到最大，結(jié)果成功得到-1<0，問題得證.如果把十進(jìn)制數(shù)改成其他進(jìn)制,此思路一樣適用，而本例不就是q進(jìn)制問題嗎？這樣第(2)問就迎刃而解了.

另外，從這道題所證結(jié)論上看，還可以這樣考慮：在導(dǎo)數(shù)中我們經(jīng)常遇到恒成立問題，處理方法主要是找最值之間的關(guān)系，借鑒這種思路，我們可以試證smax

這種方法借鑒了導(dǎo)數(shù)中恒成立問題的解題方法，用到的還是那些基礎(chǔ)知識(shí)和基本的數(shù)學(xué)思想方法，但卻展現(xiàn)了知識(shí)的一種遷移能力．因此，我們要教學(xué)生學(xué)會(huì)從相近的問題、不同的問題的解法中發(fā)現(xiàn)共同點(diǎn)，這樣思維也會(huì)逐漸深化.

(2)思維方式上遞進(jìn).有些數(shù)學(xué)問題是在思維方式上有一定的相似之處，通過類比，就會(huì)找到新問題的解法.我們知道，越是普通的思路、越是平凡的方法，就越有價(jià)值，越有生命力．因此，我們要引導(dǎo)學(xué)生探求解題思路，并盡可能地讓最普通的思路獲得成功，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)解題并不神秘，在思維方式上逐漸形成正向的遷移.

仿照上面的想法，確實(shí)可以找到思路：

以上兩題是思維方式上的遞進(jìn)，由等比數(shù)列中等量關(guān)系的解題方法想到在不等關(guān)系上的應(yīng)用；不是猜測(cè)結(jié)論，而是移植推導(dǎo)方法.很多數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)定理的證明方法，本身就是重要的數(shù)學(xué)方法，理解證明的過程有時(shí)比記住結(jié)論更重要，因?yàn)樽C明過程很可能是一種有底蘊(yùn)的數(shù)學(xué)方法.公式、定理是結(jié)果，指向單一而明確；而過程是生動(dòng)的，它包含著更多的思想.學(xué)生能在陌生的環(huán)境下或是題目背景改變的情況下運(yùn)用熟悉的知識(shí)方法解決數(shù)學(xué)問題，就是能力上的進(jìn)步.

當(dāng)然，一道稍復(fù)雜一點(diǎn)的數(shù)學(xué)問題的解決往往用到多種方法，用到的遞進(jìn)式策略也可能不唯一，所以學(xué)生面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題還要合理選擇、靈活應(yīng)用，逐步學(xué)會(huì)創(chuàng)造.

2.3 教學(xué)生學(xué)會(huì)創(chuàng)造

陶行知先生說:“好的先生乃是教學(xué)生學(xué).”我們也認(rèn)為教師不僅是讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的知識(shí)和方法，而且更為重要的是，讓學(xué)生學(xué)會(huì)創(chuàng)造知識(shí).當(dāng)學(xué)生離開教師的指導(dǎo)、離開課堂，能不能獨(dú)立解決問題、發(fā)現(xiàn)問題，面對(duì)復(fù)雜的陌生問題時(shí)能不能找到解決的方法，那就看學(xué)生是否有獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維，是否有良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì).我們要讓學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)方法活起來，而不是僵化地應(yīng)用，學(xué)生必須要有自己對(duì)數(shù)學(xué)的理解，盡可能在解題時(shí)能通過轉(zhuǎn)化、觀察，聯(lián)系到熟悉的方法，也就是化為自己熟悉的問題.一輪復(fù)習(xí)結(jié)束后可以直接進(jìn)入綜合復(fù)習(xí)，不再進(jìn)行專題復(fù)習(xí)．因?yàn)樵诿鞔_主題的情況下，學(xué)生的思維容易僵化，只會(huì)直接應(yīng)用，而高考是在更廣闊的背景下自己選擇方法解題，這不僅需要學(xué)生有系統(tǒng)知識(shí)和解題方法，而且更重要的是學(xué)生面對(duì)考題能獨(dú)立分析，靈活選擇方法解題，這也能真正檢驗(yàn)學(xué)生選擇數(shù)學(xué)方法的能力，符合高考的方向.

例4在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切，則圓C面積的最小值為( ).

分析 這雖然是一道直線和圓的問題，但只用這些知識(shí)直接研究半徑，還有些困難.答案提供的思路是把重心轉(zhuǎn)移到圓心上，通過探究條件可知圓心這個(gè)動(dòng)點(diǎn)符合拋物線定義的條件，于是突破了這個(gè)難點(diǎn).利用CD=CO=r，即點(diǎn)C到直線2x+y-4=0的距離與到點(diǎn)O的距離相等，可知點(diǎn)C的軌跡是拋物線，可得下面解法：

可見，大多數(shù)學(xué)生在明確主題的前提下，還是能用常規(guī)方法解決一些問題的．比如復(fù)習(xí)均值不等式求最值專題時(shí)，由于指向明確，還能應(yīng)用總結(jié)的那些方法解題．而我們一輪復(fù)習(xí)基本可以達(dá)到這個(gè)目的.但當(dāng)綜合練習(xí)時(shí)，遇到求最值問題還能不能想到應(yīng)用那些方法，就是知識(shí)的遷移問題了，包括剛才這道高考題，本身不是求軌跡問題，卻通過探究點(diǎn)C軌跡順利解決.因此，一輪復(fù)習(xí)結(jié)束就可以直接進(jìn)入綜合復(fù)習(xí)，這樣能更早地鍛煉學(xué)生面對(duì)一些陌生的題目或題目背景時(shí)，冷靜分析，靈活選擇方法解題，逐步提高學(xué)生的解題能力.

3 結(jié)束語

在高三復(fù)習(xí)課中，我們要敢于舍棄原有復(fù)習(xí)模式中低效的做法，不斷尋找高效的復(fù)習(xí)策略和方法，把握解決問題的核心與關(guān)鍵，即揭示問題的本質(zhì).只有不斷改變，而且善于改變，才能使學(xué)生真正學(xué)會(huì)思考、應(yīng)用、創(chuàng)造，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、思維能力，獲得可持續(xù)發(fā)展的核心素養(yǎng).