糾錯(cuò)也是深度學(xué)習(xí)的好抓手

郭立祥 (廣東省中山市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 528400)

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是指學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、提升數(shù)學(xué)邏輯思維能力、促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的學(xué)習(xí)過程.糾錯(cuò)是深度學(xué)習(xí)的一種重要形式，它指的是以學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤為探究出發(fā)點(diǎn)，學(xué)生運(yùn)用自己所掌握的知識(shí)和技能，充分發(fā)揮學(xué)習(xí)的自主性和同學(xué)之間小組合作的優(yōu)勢(shì)，逐步找出錯(cuò)誤的原因，補(bǔ)充和完善知識(shí)和技能的短板，形成理解以后的知識(shí)和技能.皮亞杰說：“學(xué)習(xí)就是一個(gè)不斷犯錯(cuò)誤的過程，同時(shí)也是一個(gè)不斷通過反復(fù)思考，挖掘錯(cuò)誤緣由，逐漸消除錯(cuò)誤的過程．”因此，在糾錯(cuò)過程中分析錯(cuò)誤的原因，針對(duì)性地補(bǔ)缺補(bǔ)差，并進(jìn)一步探究原問題，可使糾錯(cuò)效益達(dá)到最大化，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)質(zhì)量的提高.

導(dǎo)數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)能力的要求較高，因此具有較大的挑戰(zhàn)性，筆者以高三年級(jí)普通班“導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用”習(xí)題講評(píng)課為例，來探究糾錯(cuò)在深度學(xué)習(xí)中的作用.

1 查找錯(cuò)誤，進(jìn)行原因分析

當(dāng)學(xué)生給出一道題目的解答，而教師和其他學(xué)生又說解答有問題的時(shí)候，他自然而然地產(chǎn)生疑惑：錯(cuò)在哪里？方法錯(cuò)了？計(jì)算錯(cuò)誤？審題不清？格式不規(guī)范？教師需要引導(dǎo)學(xué)生分析問題，找出錯(cuò)誤的原因，從解答中分析出學(xué)生對(duì)于知識(shí)的掌握程度，針對(duì)性地進(jìn)行補(bǔ)缺補(bǔ)差，并審視錯(cuò)誤是個(gè)案還是普遍存在，以此作為提高教學(xué)效率的一個(gè)著眼點(diǎn).

在學(xué)習(xí)“導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用”之前筆者給學(xué)生布置了課前作業(yè)：若函數(shù)f(x)=ax-lnx在區(qū)間(0,1)內(nèi)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.在作業(yè)中，很多學(xué)生的解法如下：

很明顯，這種解法有問題.如何讓學(xué)生對(duì)作業(yè)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤引起反思，以及掌握同類問題的處理方法，就成為教師教學(xué)的重點(diǎn).

通過學(xué)生的小組合作討論和小組代表發(fā)言，最后大家找出了以上解法中存在的問題：

分析 通過自變量的取值范圍來確定函數(shù)的極大(小)值或者最大(小)值時(shí)，區(qū)間的端點(diǎn)恰好就是極值點(diǎn)，粗心往往導(dǎo)致學(xué)生出錯(cuò).

分析 解題過程的規(guī)范表達(dá)是邏輯思維的過程展示，讓讀者通過閱讀能夠知道問題是如何解決的，包括數(shù)學(xué)符號(hào)的書寫，公式、定理、公理的正確使用，邏輯推理的合理性等就顯得尤為重要.“[g(x)]min=g(1)=1”展示出來的信息是：“當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g(x)取得最小值”，而本題中函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0,1)，x取不到1，因此書寫表達(dá)錯(cuò)誤恰好體現(xiàn)出格式規(guī)范化的重要性.

(3)思維嚴(yán)密性方面：a可以取到1.

分析 邏輯思維的嚴(yán)密性往往體現(xiàn)在細(xì)節(jié)的處理上，學(xué)生在給出“a∈(-∞,1)”時(shí)，自然而然會(huì)想到：可不可以取到1？這一點(diǎn)恰好反映出解決問題的過程與結(jié)果是否具備完備性.

由此可知，糾錯(cuò)可以作為深度學(xué)習(xí)的好抓手.在實(shí)際教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生給出的解答中存在問題的時(shí)候，要善待這些錯(cuò)誤，它們是發(fā)現(xiàn)學(xué)生知識(shí)和技能短板的好機(jī)會(huì)，若能有針對(duì)性地進(jìn)行補(bǔ)缺補(bǔ)差，最終解決問題，那么學(xué)生獲得的成就感和幸福感最明顯.在糾錯(cuò)過程中尋找問題，然后想辦法解決問題，再進(jìn)一步提出問題，既解決了原問題，也拓廣了問題的外延，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得的知識(shí)和技能逐步實(shí)現(xiàn)精確化、最大化，甚至將糾錯(cuò)過程中出現(xiàn)的問題轉(zhuǎn)化為自己的優(yōu)勢(shì).

2 以錯(cuò)為源，開展初步拓展

雖然課前作業(yè)中出現(xiàn)的共性問題解決了，但教學(xué)決不能就題論題.糾錯(cuò)也不能夠滿足于找出錯(cuò)誤，要從原因入手進(jìn)行問題的深度拓展，對(duì)原問題進(jìn)行拓展來探究出同類問題的通解，進(jìn)而使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、創(chuàng)新能力得到提升．為了避免學(xué)生對(duì)于同類問題再犯同樣的錯(cuò)誤，教師需要在實(shí)際教學(xué)過程中以錯(cuò)為源，開展初步拓展.為了解決“已知給定區(qū)間上的遞減函數(shù)，求參數(shù)的取值范圍”這類問題，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生變化條件而保持結(jié)果不變.很多學(xué)生分別在函數(shù)的解析式和定義域方面進(jìn)行改造，整理如下：

拓展1若函數(shù)f(x)=ax-lnx+b，其中b為常數(shù)，在區(qū)間(0,1)內(nèi)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

拓展2若函數(shù)f(x)=ax-lnx+b，其中b為常數(shù)，在區(qū)間(c,1)內(nèi)是減函數(shù)，0

分析 顯然拓展1和拓展2的題目難度比原問題有所增加，在“以錯(cuò)為源”的基礎(chǔ)上，通過初步拓展，解決同類問題，而且強(qiáng)化學(xué)生不要再犯定義域與值域、格式規(guī)范化等的錯(cuò)誤.

拓展3若函數(shù)f(x)=ax-lnx在區(qū)間(1,e)內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

在“以錯(cuò)為源”的基礎(chǔ)上，繼續(xù)進(jìn)行拓展，將解析式和定義域適度變化，學(xué)生們經(jīng)過討論也給出“已知給定區(qū)間上的遞增函數(shù)，求參數(shù)的取值范圍”這類問題在條件變化、結(jié)果不變的要求下的一般拓展形式：

拓展4若函數(shù)f(x)=ax-lnx+b，其中b為常數(shù)，在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

分析 顯然拓展3和拓展4是對(duì)于拓展1和拓展2的進(jìn)一步拓展，進(jìn)一步強(qiáng)化了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值中的應(yīng)用，以及恒成立條件下的最大值與最小值問題.

3 適度引導(dǎo)，推進(jìn)深度學(xué)習(xí)

為了進(jìn)一步研究更加一般化的問題“已知給定區(qū)間上的遞增(減)函數(shù)，求參數(shù)的取值范圍”，教師引導(dǎo)學(xué)生深度探究下面兩個(gè)拓展問題：

拓展5若函數(shù)f(x)=ax-blnx+c(b>0且b，c為常數(shù))在區(qū)間(d,e)上是減函數(shù)，其中0

分析 在教師適度引導(dǎo)下，深度學(xué)習(xí)不斷推進(jìn)，使得大家解決表達(dá)形式更加一般化的問題：b,c,d,e是相應(yīng)取值范圍內(nèi)的任意一個(gè)常數(shù)，進(jìn)一步拓廣了問題的維度.

拓展6若函數(shù)f(x)=ax-blnx+c(其中b>0且b，c為常數(shù))在區(qū)間(d,+∞)上是增函數(shù)，其中d>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

分析 通過對(duì)拓展6的研究，大家探究出“已知給定區(qū)間上的遞增函數(shù)，求參數(shù)的取值范圍”更加一般化的表達(dá)形式.類比拓展5，找出這兩類問題的異同點(diǎn)，進(jìn)一步拓廣問題的維度.

基于糾錯(cuò)過程的深度學(xué)習(xí)所產(chǎn)生的拓展5和拓展6，都是緊緊圍繞“已知給定區(qū)間上的遞增(減)函數(shù)，求參數(shù)的取值范圍”這個(gè)問題，把一個(gè)簡單的小問題拓廣到更加一般化的問題，在歸納總結(jié)的基礎(chǔ)上，學(xué)生對(duì)這類問題有了更清晰的認(rèn)識(shí).扭住錯(cuò)誤不放手，不局限于簡單的糾錯(cuò)，而是將錯(cuò)誤的效益最大化,使得學(xué)生做到引以為戒，痛定思痛，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.

4 糾錯(cuò)后的反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).深度學(xué)習(xí)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的重要途徑，深度學(xué)習(xí)的形式多種多樣.作為深度學(xué)習(xí)的一種形式，糾錯(cuò)使教師、學(xué)生在教學(xué)中獲得較大發(fā)展，使學(xué)生能夠形成有助于未來可持續(xù)發(fā)展的核心素養(yǎng).

4.1 “糾錯(cuò)”有利于養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣

數(shù)學(xué)問題的解決強(qiáng)調(diào)環(huán)環(huán)緊扣、言之有據(jù).良好的思維習(xí)慣在解決問題的時(shí)候，都是建立在“分析問題、提出假設(shè)、檢驗(yàn)假設(shè)”三個(gè)環(huán)節(jié)中.在查找錯(cuò)誤進(jìn)行原因分析時(shí),實(shí)際上就是檢查哪個(gè)環(huán)節(jié)出了問題.前文提到的作業(yè)中存在的三個(gè)普遍錯(cuò)誤都是出現(xiàn)在檢驗(yàn)假設(shè)這個(gè)環(huán)節(jié).糾錯(cuò)過程實(shí)際上是增加新知識(shí)和技能的過程，通過糾錯(cuò)能夠有效促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).具有良好思維習(xí)慣的學(xué)生清楚地知道自己思考問題的方向，運(yùn)用自己所掌握的知識(shí)和技能去解決問題的過程中，也清楚哪些問題可以解決、哪些問題通過努力可以解決、哪些問題需要借助外力.良好的思維習(xí)慣能夠減少錯(cuò)誤，也是完善自己的思維，從而避免陷入題海戰(zhàn)術(shù).

4.2 “糾錯(cuò)”有利于培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力

質(zhì)疑是探究的方向標(biāo)，而糾錯(cuò)是帶著問題去學(xué)習(xí)，批判性思維使得問題越辨越明.從一個(gè)錯(cuò)誤出發(fā)，學(xué)生自然而然關(guān)注于問題出在哪里.例如上述對(duì)于作業(yè)的糾錯(cuò)過程中，六個(gè)拓展問題使得學(xué)生對(duì)于定義域、值域以及單調(diào)性概念更清楚，也意識(shí)到審題不清、以偏概全、忽視新舊知識(shí)聯(lián)系對(duì)于解決問題的影響.通過分析錯(cuò)誤和初步拓展，不斷提出新問題，來推進(jìn)深度學(xué)習(xí)，將一個(gè)問題拓廣到一類問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力.

4.3 “糾錯(cuò)”拓展深度學(xué)習(xí)的維度

不局限于找出錯(cuò)誤，通過糾錯(cuò)以及以錯(cuò)為源開展的初步拓展，在教師適度引導(dǎo)下，進(jìn)一步推進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).實(shí)際上運(yùn)用所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能去解決拓展的新問題是克服一個(gè)又一個(gè)壁壘，最終將糾錯(cuò)效益最大化的一種心理活動(dòng)過程.例如作業(yè)所涉及的“已知給定區(qū)間上的遞增(減)函數(shù)，求參數(shù)的取值范圍”是高中數(shù)學(xué)中比較難的知識(shí)點(diǎn)，解決這類問題需要借助導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性判定和恒成立問題中的應(yīng)用，以及較高的運(yùn)算能力和邏輯推理能力等綜合素養(yǎng).從只涉及一個(gè)參數(shù)的問題，逐步探究到含四、五個(gè)參數(shù)的拓展5和拓展6，難度逐步增加，拓展深度學(xué)習(xí)的維度.

前蘇聯(lián)心理學(xué)家、教育家維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論認(rèn)為學(xué)生的發(fā)展過程中有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，指在沒有他人幫助的情況下獨(dú)自解決問題達(dá)到的水平，簡稱為“現(xiàn)有發(fā)展水平”.另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是在有幫助的情況下所達(dá)到的水平，稱之為“潛在發(fā)展水平”，這兩者存在差距，這個(gè)差距就是最近發(fā)展區(qū).根據(jù)高中生的認(rèn)知水平和課堂教育教學(xué)規(guī)律，在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，有利于將學(xué)生的“潛在發(fā)展水平”轉(zhuǎn)化為“現(xiàn)有發(fā)展水平”.教師在教學(xué)過程中應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生逐步提供帶有難度的問題，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行下一個(gè)發(fā)展區(qū)的發(fā)展.“糾錯(cuò)”就是在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)開展的深度學(xué)習(xí)，課堂氣氛、參與程度等都能夠有效促進(jìn)學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)深度學(xué)習(xí).在這種喜聞樂見的深度學(xué)習(xí)過程中，將錯(cuò)誤向正確轉(zhuǎn)化,進(jìn)一步提升學(xué)生的元認(rèn)知能力，達(dá)到彌補(bǔ)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的短板的效果，形成新的知識(shí)和技能.與此同時(shí)，通過適度引導(dǎo)推進(jìn)深度探究來實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，強(qiáng)化思維的深度和廣度，從而有利于學(xué)生邏輯思維能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.