聚磁式橫向磁通永磁直線電機(jī)的多目標(biāo)優(yōu)化

趙 玫 于 帥 鄒海林 張華強(qiáng)

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)（威海）新能源學(xué)院 威海 264209 2. 魯東大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院 煙臺(tái) 264025）

0 引言

近年來，新的直線電機(jī)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和控制方式層出不窮[1-2]，尤其是橫向磁通永磁直線電機(jī)問世后，打破了傳統(tǒng)直線電機(jī)的設(shè)計(jì)理論和電源供電方式，為直線直驅(qū)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)提供了全新的解決方案。與傳統(tǒng)永磁直線電機(jī)相比，橫向磁通永磁直線電機(jī)一方面其磁力線所在的平面垂直于其運(yùn)動(dòng)方向，解決了齒和槽在空間上競爭同一個(gè)平面的問題，實(shí)現(xiàn)了電負(fù)荷與磁負(fù)荷的解耦，可以在一定范圍內(nèi)通過提高磁能變化率來提高出力；另一方面各相之間相互解耦，便于獨(dú)立控制，且易于設(shè)計(jì)成多相結(jié)構(gòu)，在多相運(yùn)行時(shí)即使缺少一相也能正常工作，容錯(cuò)性能好，提高了電機(jī)的可靠性。因此針對(duì)橫向磁通永磁直線電機(jī)（Transverse Flux Permanent Magnet Linear Machine, TFPMLM）的研究引起了國內(nèi)外電機(jī)界學(xué)者的廣泛關(guān)注[3-11]。

然而TFPMLM復(fù)雜的拓?fù)浯怕方Y(jié)構(gòu)和嚴(yán)重的漏磁增加了其優(yōu)化設(shè)計(jì)的難度，此外，TFPMLM的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究目前主要集中在單一優(yōu)化變量或者優(yōu)化目標(biāo)上，缺乏對(duì)電機(jī)多目標(biāo)綜合性能指標(biāo)的優(yōu)化[12]。文獻(xiàn)[13]針對(duì)雙交替極橫向磁通直線電機(jī)，分別對(duì)極距、安匝數(shù)、永磁體厚度、齒寬系數(shù)和槽口尺寸進(jìn)行優(yōu)化，提高了該電機(jī)的推力密度，但只追求推力密度單一優(yōu)化目標(biāo)，未能整體提高該電機(jī)的電磁性能。目前，對(duì)電機(jī)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的兩種常用方法是試驗(yàn)設(shè)計(jì)（Design of Experimental, DoE）和智能算法，但是這兩種方法在優(yōu)化過程中要么僅針對(duì)單目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，要么其單獨(dú)使用存在一定的局限性。DoE與智能算法相結(jié)合的多目標(biāo)優(yōu)化方法為解決上述問題提供了新思路[14-19]。多目標(biāo)優(yōu)化方法能最大程度地平衡電機(jī)各參數(shù)的性能指標(biāo)，使得電機(jī)得到較優(yōu)的綜合性能，在電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中起著重要的作用。文獻(xiàn)[20]以永磁直線電機(jī)的推力最大值和推力波動(dòng)最小值為優(yōu)化目標(biāo)，分別采用單一的粒子群優(yōu)化算法和基于正交陣列的田口算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。相比于單一的粒子群優(yōu)化算法，田口算法能得到更大的推力和更小的推力波動(dòng)，最后通過樣機(jī)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了田口算法的優(yōu)越性和有效性。文獻(xiàn)[21]針對(duì)一種雙邊游標(biāo)直線永磁電機(jī)，以推力、推力波動(dòng)和功率因數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，利用表面響應(yīng)法對(duì)選取的顯著變量進(jìn)行建模，并通過差分進(jìn)化算法尋求最優(yōu)解。通過有限元和樣機(jī)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證明了優(yōu)化后的電機(jī)可以獲得更高的推力密度和功率因數(shù)，推力脈動(dòng)也相應(yīng)減小，提高了該電機(jī)的整體電磁性能。文獻(xiàn)[22]采用有限元法和改進(jìn)的粒子群算法相結(jié)合的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，以效率、弱磁率和價(jià)格為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)五種不同轉(zhuǎn)子拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的永磁同步電動(dòng)機(jī)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，并比較了它們的弱磁性能、效率、價(jià)格和抗退磁能力，優(yōu)化后的電機(jī)具有較高的效率、轉(zhuǎn)矩密度和較低的成本價(jià)格，通過樣機(jī)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的可行性和有限元分析的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[23]提出一種電勵(lì)磁雙定子場調(diào)制電機(jī)，以轉(zhuǎn)矩密度和轉(zhuǎn)矩紋波為優(yōu)化目標(biāo)，通過敏感性分析對(duì)該電機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行靈敏度分層，根據(jù)參數(shù)敏感度層次將基于遺傳算法的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)以及響應(yīng)面法和單參掃描法等多種優(yōu)化方法相結(jié)合，最終確定電機(jī)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)。

本文針對(duì)一種新型動(dòng)子三面墻聚磁式結(jié)構(gòu)的TFPMLM提出表面響應(yīng)法和粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization, PSO）算法相結(jié)合的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，以推力密度、推力波動(dòng)和功率因數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)該電機(jī)選取的關(guān)鍵尺寸參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析；選取靈敏度值顯著的優(yōu)化變量構(gòu)建響應(yīng)面數(shù)學(xué)模型，得到優(yōu)化目標(biāo)和優(yōu)化變量之間的函數(shù)關(guān)系；將粒子群算法應(yīng)用于響應(yīng)面模型對(duì)該電機(jī)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，最終確定該電機(jī)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)，并通過三維有限元模型對(duì)比優(yōu)化前后TFPMLM的定位力、電磁力等電磁性能，驗(yàn)證基于表面響應(yīng)面法和粒子群優(yōu)化算法的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。

1 橫向磁通永磁直線電機(jī)的基本結(jié)構(gòu)和工作原理

1.1 基本結(jié)構(gòu)

本文所提出的三相聚磁式TFPMLM的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，其定子由兩個(gè)C型定子鐵心組成，其內(nèi)部三面墻（上、下、中）均勻設(shè)置多個(gè)間距相等的條形槽，定子上、下齒相對(duì)，中間齒分別與上下槽相對(duì)，C型定子以鏡像方向分別設(shè)置于動(dòng)子的兩側(cè)，結(jié)構(gòu)簡單；動(dòng)子由永磁體、U型凸極鐵心、連接板和電樞繞組組成。連接板的兩端各有三個(gè)凸極鐵心，每個(gè)凸極鐵心有三個(gè)U型齒，U型齒凹槽內(nèi)嵌切向充磁的永磁體（N-S-N）。該電機(jī)屬于雙邊結(jié)構(gòu)，抵消了法向吸力，每相分別有六個(gè)面，四支獨(dú)立的磁回路，且相間解耦，具有較強(qiáng)的容錯(cuò)能力，三相對(duì)稱結(jié)構(gòu)，定位力較小。可用于對(duì)系統(tǒng)的可靠運(yùn)行有較高要求的領(lǐng)域，特別是對(duì)系統(tǒng)體積及連續(xù)運(yùn)行有嚴(yán)格要求的航空航天、軍事裝備等應(yīng)用場合。

圖1 橫向磁通永磁直線電機(jī)三相結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The structure diagram of three phase TFPMLM

由凸極齒、永磁體和凹槽組成的動(dòng)子凸極平面結(jié)構(gòu)如圖2所示。在每個(gè)凸極上有三個(gè)凹槽，相鄰凹槽內(nèi)放置三個(gè)永磁體。上部、中部、下部繞組均繞在凸極結(jié)構(gòu)外且繞組串聯(lián)，但上部繞組與中部、下部繞組的繞制方向相反。繞組的聯(lián)結(jié)方式如圖2d所示。

圖2 動(dòng)子凸極平面結(jié)構(gòu)及繞組聯(lián)結(jié)方式Fig.2 The salient pole plane structure and winding connection mode of the mover

1.2 工作原理

該電機(jī)單相單邊磁力線走向示意圖如圖3所示。從圖3可以看出，通過合理設(shè)計(jì)初級(jí)極距/次級(jí)極距，使得上下凸極中的永磁體發(fā)出的磁力線分別聚磁后通過連接板到達(dá)相鄰的凸極鐵心中的永磁體，通過第一個(gè)氣隙、次級(jí)鐵心、第二個(gè)氣隙回到起始凸極鐵心，形成上1和下2兩個(gè)主磁通回路。主磁通回路1的磁力線流通回路為：上部U型凸極鐵心中的永磁體產(chǎn)生的磁通從N極出發(fā)，向下依次經(jīng)過上部、中部動(dòng)子鐵心到達(dá)中部U型凸極鐵心中永磁體S極，再由永磁體的 N 極經(jīng)過中部氣隙向上經(jīng)過該電機(jī)的定子、氣隙回到上部U型凸極鐵心永磁體S極，進(jìn)而形成一個(gè)閉合的回路。由圖3可以看出，TFPMLM內(nèi)部磁場呈復(fù)雜的三維分布，其所在平面與電機(jī)運(yùn)動(dòng)方向垂直，即電機(jī)主磁通為橫向磁通。該電機(jī)永磁體勵(lì)磁源與電樞繞組都位于動(dòng)子側(cè)，依靠動(dòng)子的永磁體勵(lì)磁源與定子凸極的調(diào)制作用，使得動(dòng)子繞組中的磁鏈發(fā)生交變，從而產(chǎn)生感應(yīng)電勢與電磁力，實(shí)現(xiàn)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換，屬于磁場調(diào)制電機(jī)的一種。

圖3 橫向磁通永磁直線電機(jī)單相單邊磁力線走向示意圖Fig.3 The schematic diagram of magnetic lines in single phase of TFPMLM

2 靈敏度分析

為了減少多目標(biāo)優(yōu)化所需的優(yōu)化時(shí)間，采用靈敏度分析方法，不僅減少設(shè)計(jì)空間還可以有效地分析各個(gè)設(shè)計(jì)變量對(duì)電機(jī)性能的影響。本文首先通過對(duì)TFPMLM進(jìn)行初步分析，確定合理的優(yōu)化目標(biāo)和優(yōu)化變量取值范圍。然后建立TFPMLM有限元模型，對(duì)電機(jī)的電磁性能進(jìn)行初步評(píng)估。合理評(píng)價(jià)不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的敏感度，將綜合靈敏度大于0.1的優(yōu)化變量作為顯著變量，針對(duì)顯著變量本文采用基于響應(yīng)面模型（Response Surface Model,RSM）和粒子群優(yōu)化算法（PSO）相結(jié)合的優(yōu)化方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。TFPMLM的靈敏度分析流程如圖4所示。

圖4 靈敏度分析流程Fig.4 Flow chart of sensitivity analysis

2.1 優(yōu)化目標(biāo)和優(yōu)化變量的確定

本文所提出的聚磁式TFPMLM的尺寸結(jié)構(gòu)示意圖如圖5所示，選取其中6個(gè)關(guān)鍵尺寸結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)TFPMLM進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。表1給出了TFPMLM優(yōu)化變量初值及變化范圍。

圖5 橫向磁通永磁直線電機(jī)的尺寸結(jié)構(gòu)Fig.5 Dimension structure of TFPMLM

表1 電機(jī)優(yōu)化變量初值及變化范圍Tab 1. Initial value and variation range of design variables of TFPMLM machine

為了滿足優(yōu)化設(shè)計(jì)要求，實(shí)現(xiàn)TFPMLM的最優(yōu)性能，選取推力密度Davg和功率因數(shù)PF最大值、推力波動(dòng)Fr最小值作為該TFPMLM多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的優(yōu)化目標(biāo)。

本文TFPMLM的推力密度Davg被定義為單位永磁體體積下電機(jī)推力大小，即

式中，F(xiàn)avg為平均推力；Vpm為永磁體體積。

TFPMLM的推力波動(dòng)Fr為

式中，F(xiàn)max和Fmin分別為推力的最大值與最小值。TFPMLM采取直軸電流為零的控制方式(id=0)。電樞繞組的電流等于交軸電流(is=iq)，交軸電感可以表示為

式中，L0為自感；Lm為每相互感的2次諧波。

TFPMLM的功率因數(shù)PF為

式中，E0為空載反電動(dòng)勢；Is為電樞電流；ω為電角頻率。

因此，TFPMLM的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)g(ni)可以表示為

2.2 優(yōu)化變量的靈敏度分析

首先利用三維有限元模型對(duì)該TFPMLM性能進(jìn)行初步分析，并據(jù)此對(duì)各個(gè)優(yōu)化變量ni進(jìn)行敏感性評(píng)估，得到優(yōu)化變量ni針對(duì)某一優(yōu)化目標(biāo)的敏感因子G(ni)，再綜合分析三個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，得到優(yōu)化變量ni對(duì)于多目標(biāo)的綜合靈敏度S(ni)。敏感因子G(ni)可表示為[21]

綜合考慮三個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，采用權(quán)重系數(shù)法對(duì)各優(yōu)化變量進(jìn)行綜合估算。引入了一個(gè)綜合靈敏度S(ni)，可描述為

式中，GDavg、GFr、GPF分別為優(yōu)化變量ni針對(duì)推力密度、推力波動(dòng)和功率因數(shù)三個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的敏感因子。

根據(jù)上述原理公式，求出各優(yōu)化變量對(duì)三個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的敏感因子和綜合靈敏度指標(biāo)，分析結(jié)果見表2。

表2 各優(yōu)化變量的靈敏度分析結(jié)果Tab.2 Sensitivity analysis results of each design variable

為了清楚地分析每個(gè)優(yōu)化變量的靈敏度指標(biāo)，表2中的數(shù)據(jù)由圖6所示的直方圖表示。正靈敏度指標(biāo)表示優(yōu)化目標(biāo)隨優(yōu)化變量的增大而上升，而負(fù)靈敏度指標(biāo)則表示優(yōu)化目標(biāo)隨優(yōu)化變量的減小而下降。敏感因子絕對(duì)值較高的優(yōu)化變量意味著優(yōu)化變量對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的影響大于其他變量。由表2和圖6可以看出，不同的優(yōu)化變量對(duì)推力密度、推力波動(dòng)和功率因數(shù)的影響是有差異的。在上述敏感性分析的基礎(chǔ)上，將綜合敏感度的優(yōu)化變量α、β和Wpm劃為顯著優(yōu)化變量，其對(duì)推力密度、推力波動(dòng)和功率因數(shù)存在交叉影響，且相互之間作用性較強(qiáng)。因此，顯著優(yōu)化變量應(yīng)采用試驗(yàn)設(shè)計(jì)和智能算法相結(jié)合的優(yōu)化方法，而非顯著優(yōu)化變量Lpm、Hpm和Hm可以采用單參數(shù)優(yōu)化的方法得到最優(yōu)結(jié)果。

圖6 優(yōu)化變量的靈敏度指標(biāo)Fig.6 Sensitivity index of design variables

3 構(gòu)建響應(yīng)面模型

TFPMLM構(gòu)建響應(yīng)面數(shù)學(xué)模型的具體流程如圖7所示。首先，將靈敏度分析得到的顯著優(yōu)化變量進(jìn)行編碼并確定其水平值，根據(jù)Box-Behnken Design（BBD）方法的試驗(yàn)設(shè)計(jì)原則，建立正交試驗(yàn)矩陣并通過有限元計(jì)算分別得到在各個(gè)水平下優(yōu)化目標(biāo)的響應(yīng)值。其次，針對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的響應(yīng)值進(jìn)行多元二次回歸擬合，得到各個(gè)優(yōu)化目標(biāo)響應(yīng)面的數(shù)學(xué)模型和三維曲面。再次，通過對(duì)三維曲面的梯度分析，證明RSM具有最佳的優(yōu)化變量范圍。最后，通過多重相關(guān)系數(shù)R2和預(yù)測響應(yīng)值分析來驗(yàn)證所獲得的數(shù)學(xué)模型具有較高的擬合度和精度。

圖7 基于BBD方法的響應(yīng)面建模流程Fig.7 RSM optimization process based on BBD method

3.1 Box-Behnken Design數(shù)學(xué)模型

響應(yīng)面模型（RSM）是一種數(shù)學(xué)建模優(yōu)化和綜合試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，可以有效減少試驗(yàn)次數(shù)，準(zhǔn)確分析設(shè)計(jì)變量之間的相互作用。其中，BBD方法是一種經(jīng)典、常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，通常適合建立2～5個(gè)水平的RSM[24]。BBD方法可以保證各設(shè)計(jì)變量的靈敏度指標(biāo)不受設(shè)計(jì)變量間相互作用的影響。BBD方法將每個(gè)因子的三個(gè)級(jí)別編碼為-1、0和+1。其中0為中心點(diǎn)，+1和-1為相對(duì)高低值。表3給出了各設(shè)計(jì)變量編碼及水平值。

表3 設(shè)計(jì)變量編碼及水平值Tab.3 Code and level value of design variables

3.2 BBD正交試驗(yàn)矩陣

根據(jù)三水平三因素試驗(yàn)設(shè)計(jì)原則，建立了BBD的正交試驗(yàn)矩陣?？梢钥闯?，僅需計(jì)算13次試驗(yàn)即可。因?yàn)樵O(shè)計(jì)變量為三水平四因素，所以傳統(tǒng)單參數(shù)掃描的方法需要34=81次試驗(yàn)。與此相比，BBD顯著減少了TFPMLM優(yōu)化設(shè)計(jì)的時(shí)間，節(jié)省了大量時(shí)間成本。通過試驗(yàn)得到了TFPMLM關(guān)于Davg、PF和Fr的響應(yīng)，并據(jù)此建立表面響應(yīng)模型。BBD正交試驗(yàn)矩陣及三個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的響應(yīng)結(jié)果見表4。

表4 正交試驗(yàn)矩陣及試驗(yàn)結(jié)果Tab.4 Orthogonal experimental matrix and experimental results

3.3 優(yōu)化目標(biāo)的表面響應(yīng)分析

對(duì)于三因素優(yōu)化問題，二階RSM在優(yōu)化過程中具有足夠的精度。RSM的二階多項(xiàng)式可以表示為[21]

式中，G(t)為響應(yīng)值；a0、ai、aj為回歸系數(shù)；ti、tj為兩個(gè)不同的優(yōu)化變量；ε為擬合誤差。

在得到上述試驗(yàn)結(jié)果的響應(yīng)值后，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行多元二次回歸擬合，即可得到響應(yīng)面的數(shù)學(xué)模型。

TFPMLM推力密度的擬合回歸方程為

TFPMLM推力波動(dòng)的擬合回歸方程為

TFPMLM功率因數(shù)的擬合回歸方程為

圖8 ~圖10分別給出了設(shè)計(jì)變量α、β和Wpm在三個(gè)優(yōu)化目標(biāo)上的三維響應(yīng)面，通過對(duì)響應(yīng)面的分析，可以看出三維曲面具有較高的梯度，證明RSM具有最佳的設(shè)計(jì)變量范圍。

圖8 三個(gè)優(yōu)化目標(biāo)在結(jié)構(gòu)參數(shù)α和β下的響應(yīng)Fig.8 Response of three optimization objectives to the structure parameters α and β

圖10 三個(gè)優(yōu)化目標(biāo)在結(jié)構(gòu)參數(shù)β和Wpm下的響應(yīng)Fig.10 Response of three optimization objectives to the structure parameters β and Wpm

圖9 三個(gè)優(yōu)化目標(biāo)在結(jié)構(gòu)參數(shù)α和Wpm下的響應(yīng)Fig.9 Response of three optimization objectives to the structure parameters α and Wpm

3.4 RSM模型的驗(yàn)證

試驗(yàn)數(shù)據(jù)的總誤差程度可用偏差平方和（Total Sum of Square, SST）的概念描述。SST是全部響應(yīng)值與總試驗(yàn)數(shù)據(jù)平均值的偏差平方和，反映全部響應(yīng)值的離散情況[25]。

式中，Yu為實(shí)際響應(yīng)值；為試驗(yàn)數(shù)據(jù)平均值。組間離差平方和（Sum Squared Residual, SSR）包括隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差，反映的是隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的大小。

多重相關(guān)系數(shù)R2代表了二階RSM對(duì)TFPMLM實(shí)際電磁性能的逼近程度。

R2值越接近1，二階RSM的試驗(yàn)數(shù)據(jù)越符合TFPMLM的實(shí)際性能。TFPMLM三個(gè)響應(yīng)的多重相關(guān)系數(shù)R2分別為推力密度Davg（97.5%）、功率因數(shù)PF（98.19%）和推力波動(dòng)Fr（96.28%）?？梢钥闯?，在這個(gè)范圍內(nèi)，二階回歸多項(xiàng)式對(duì)設(shè)計(jì)變量有很好的精度。

RSM各個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的實(shí)際值和預(yù)測響應(yīng)值如圖11所示。模型的響應(yīng)值越接近45°線，響應(yīng)面模型預(yù)測精度越高。通過以上分析，證明擬合回歸模型具有較高的精度，RSM能較好地反映TFPMLM響應(yīng)的數(shù)據(jù)規(guī)律。

圖11 表面響應(yīng)的預(yù)測值與實(shí)際值的交叉驗(yàn)證Fig.11 Cross validation of predicted and actual surface response

4 粒子群優(yōu)化算法

然而，每個(gè)響應(yīng)面設(shè)計(jì)變量的最佳范圍可能不相同，甚至相反。為了尋找三個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的全局最優(yōu)解，將粒子群優(yōu)化算法引入到TFPMLM的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中。PSO算法具有收斂速度快、易于實(shí)現(xiàn)、參數(shù)調(diào)整少等優(yōu)點(diǎn)，其有效的搜索策略使其廣泛應(yīng)用于解決多目標(biāo)優(yōu)化問題[26]。算法中的每個(gè)粒子代表問題的一個(gè)潛在解，并根據(jù)目標(biāo)函數(shù)計(jì)算出每個(gè)粒子位置對(duì)應(yīng)的適應(yīng)值，在可解空間中，根據(jù)自身和其他粒子的運(yùn)動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，動(dòng)態(tài)調(diào)整速度，實(shí)現(xiàn)個(gè)體最優(yōu)化。PSO算法的優(yōu)化流程如圖12所示。

圖12 粒子群算法優(yōu)化流程Fig.12 The optimization flow chart of PSO

在每次迭代過程中，粒子的位置和速度由局部和全局最優(yōu)點(diǎn)更新。粒子群優(yōu)化算法的基本方程為

式中，Vid為第i個(gè)粒子在d維空間的速度；Xid為第i個(gè)粒子在d維空間的位置；θ為慣性權(quán)重；k為當(dāng)前迭代次數(shù)；d為粒子搜索空間的大?。籧1和c2為加速系數(shù)；r1和r2為[0, 1]之間的隨機(jī)數(shù)；P和Q分別為局部和全局最優(yōu)點(diǎn)。

通過靈敏度分析和構(gòu)建RSM數(shù)學(xué)模型，在恰當(dāng)?shù)倪m應(yīng)度函數(shù)評(píng)估的基礎(chǔ)上，對(duì)得到的二階RSM數(shù)學(xué)模型采用PSO算法進(jìn)行求解，以準(zhǔn)確地表達(dá)優(yōu)化變量與電機(jī)響應(yīng)之間的關(guān)系。利用慣性權(quán)重平衡粒子群算法的檢測能力和開發(fā)能力[27]，初始權(quán)值設(shè)定為0.9，使算法具有較高的全局搜索能力；將結(jié)束權(quán)值設(shè)置為0.4，這有利于更精確地進(jìn)行局部搜索。整個(gè)優(yōu)化過程僅需20s，而基于有限元求解器的單參數(shù)優(yōu)化通常需要2h左右，可以節(jié)省大量的計(jì)算時(shí)間。PSO的種群規(guī)模被設(shè)置為20，最大迭代次數(shù)被設(shè)置為100。圖13所示為多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)g(ni)的迭代收斂情況（優(yōu)化過程中實(shí)際數(shù)據(jù)每迭代50次記錄為1次迭代收斂位數(shù)），經(jīng)過變量的全局尋優(yōu)，實(shí)際迭代總次數(shù)為750次時(shí)，多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)g(ni)則可穩(wěn)定到最小值，約為0.483。PSO的參數(shù)設(shè)置見表5。優(yōu)化前后電機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表6。經(jīng)過PSO優(yōu)化后，選取最終的設(shè)計(jì)變量α=8.79/18，β=14/18，Wpm=5mm。

圖13 基于粒子群算法的目標(biāo)函數(shù)收斂情況Fig.13 Objective function value change based on the PSO algorithm

表5 PSO參數(shù)設(shè)置Tab.5 Parameter setting of PSO

表6 優(yōu)化前后電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)結(jié)果對(duì)比Tab.6 Comparison of results before and after optimization

5 電機(jī)優(yōu)化前后性能對(duì)比

優(yōu)化前后TFPMLM的定位力波形和推力波形分別如圖14a和圖14b所示。從圖中可以看出優(yōu)化前電機(jī)定位力峰峰值為21.1N。采用多目標(biāo)優(yōu)化方法對(duì)該電機(jī)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)后定位力峰峰值為14N，定位力峰峰值降低了33.26%。平均推力由優(yōu)化前的238.6N增大到402N，平均推力提高了68.47%，推力波動(dòng)從優(yōu)化前的44.73%降低到優(yōu)化后的35.3%。表7給出了優(yōu)化前后TFPMLM電磁性能指標(biāo)。經(jīng)過多目標(biāo)優(yōu)化后，電機(jī)的推力密度提高了25%，推力波動(dòng)降低了21%。此外，功率因數(shù)由初始電機(jī)的78.16%提高到優(yōu)化后的90.94%，電機(jī)的功率因數(shù)提高了16.4%。優(yōu)化后的電機(jī)比初始電機(jī)具有更高的推力密度和更高的功率因數(shù)，同時(shí)其推力波動(dòng)相對(duì)較小。顯然，本文提出的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可以有效地提高TFPMLM的整體電磁性能。

圖14 優(yōu)化前后電機(jī)電磁性能波形對(duì)比Fig.14 Comparison of electromagnetic performance waveforms of machine before and after optimization

表7 優(yōu)化前后TFPMLM電磁性能對(duì)比Tab.7 Comparison of electromagnetic performance indexes of TFPMLM before and after optimization

6 結(jié)論

1）本文提出了一種動(dòng)子三面墻聚磁式結(jié)構(gòu)的橫向磁通永磁直線電機(jī)，介紹了TFPMLM的結(jié)構(gòu)和工作原理。

2）在對(duì)TFPMLM優(yōu)化變量靈敏度分析的基礎(chǔ)上，提出一種基于RSM和PSO相結(jié)合的TFPMLM多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該優(yōu)化方法可以在保證優(yōu)化設(shè)計(jì)精度的前提下，大幅度縮短優(yōu)化時(shí)間。

3）采用三維有限元模型將優(yōu)化后的電機(jī)與初始電機(jī)的電磁性能進(jìn)行了比較。分析結(jié)果表明，優(yōu)化后的TFPMLM比初始TFPMLM具有更高的推力密度和更高的功率因數(shù)，其推力波動(dòng)相對(duì)較小。進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提出的多目標(biāo)優(yōu)化方法的有效性。