玩轉(zhuǎn)數(shù)“9” 開放思維 勾勒全貌

陳元云 邢成云

【摘 要】 在邢成云老師提出的“整體化教學(xué)”[1]主題思想的引領(lǐng)下，基于學(xué)生小學(xué)數(shù)學(xué)已有的“零散”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）理念的指導(dǎo)下，從“9”出發(fā)，提出問題，開放思維，引導(dǎo)學(xué)生提煉升華，總結(jié)規(guī)律，鍛煉思維邏輯，初步見識(shí)初中數(shù)學(xué)的大概內(nèi)容，為學(xué)生“順利”進(jìn)入中學(xué)的數(shù)學(xué)課堂，駕好引橋，掃清障礙，讓學(xué)生在“先見林，再見木”的序化邏輯中播下初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的種子.

【關(guān)鍵詞】 整體思維;發(fā)散思維;開學(xué)第一課

學(xué)生由小學(xué)進(jìn)入初中，不僅僅是身份的變化，而且在學(xué)習(xí)上也會(huì)發(fā)生很大的變化，尤其是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，孩子們初中三年數(shù)學(xué)能力的養(yǎng)成與數(shù)學(xué)教師平時(shí)每一節(jié)課的引導(dǎo)息息相關(guān).如何讓學(xué)生具有整體思維的邏輯，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來得自然些、親切些、有趣些，就需要在課堂教學(xué)中，適切、時(shí)切地給學(xué)生搭建思維發(fā)展邏輯進(jìn)階的平臺(tái).基于此，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)入初中后的數(shù)學(xué)“開學(xué)第一課”進(jìn)行了如下設(shè)計(jì).

1 以“9”作基，喚醒對(duì)“數(shù)”的認(rèn)識(shí)

課堂開始，筆者便在黑板上醒目地寫下了數(shù)字“9”，提出問題：今天我們就利用小學(xué)學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，共同探討一下對(duì)“9”的認(rèn)識(shí).聽到問題，學(xué)生展現(xiàn)出了“懵懵”的狀態(tài)，但在思考之后，思維開始活躍起來.

生1：9是由9個(gè)1組成的，9是整數(shù).

生2：9是最大的一位數(shù).

生3：9是奇數(shù)，也是合數(shù).

生4：9的因數(shù)有1，3，9.

生5：9是18的一個(gè)因數(shù)，9也是27的一個(gè)因數(shù)，9還是36的一個(gè)因數(shù)……

生6：9的倍數(shù)有無數(shù)個(gè)，比如9，18，27，36，….9的最小整數(shù)倍是9，沒有最大的倍數(shù).

生7：9的約數(shù)有1，3，9.

生8：9是9和18的最大公約數(shù)，9也是9和27的最大公約數(shù)……

生9：9是3和9的最小公倍數(shù)，9也是1和9的最小公倍數(shù).

生10：9的倒數(shù)是1/9.

此時(shí)，學(xué)生的思維出現(xiàn)了短暫的“停滯”，我順勢(shì)引導(dǎo)：同學(xué)們的回答很好，由這些對(duì)“9”的認(rèn)識(shí)，你想到了我們小學(xué)學(xué)過的哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？

生11：小學(xué)學(xué)過的數(shù)按照不同標(biāo)準(zhǔn)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)，質(zhì)數(shù)和合數(shù)，還有約數(shù)和倍數(shù)，最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，還有倒數(shù)等.

師：大家說得很好，揭秘了“9”作為數(shù)出現(xiàn)時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生的“意義”.

設(shè)計(jì)意圖 先引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的角度認(rèn)識(shí)“9”，完成了對(duì)小學(xué)學(xué)到的數(shù)的整體認(rèn)知，這些按照不同標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生的不同類型的數(shù)，也正是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的.借助這個(gè)環(huán)節(jié)，打開學(xué)生思維，為后面的環(huán)節(jié)做好鋪墊.

2 解剖數(shù)“9”，再識(shí)小學(xué)的四種運(yùn)算

評(píng)價(jià)完學(xué)生回答以后，筆者提出新的問題：我們小學(xué)只學(xué)習(xí)了“數(shù)”嗎？你還能想到其他知識(shí)嗎？

生12：我們還學(xué)過了數(shù)的運(yùn)算.

師：那這個(gè)數(shù)字“9”是不是可以看成一個(gè)運(yùn)算結(jié)果呢？請(qǐng)大家繼續(xù)探討對(duì)“9”的認(rèn)識(shí).

生13：9可以看成5與4的和，6與3的和，7與2的和，8與1的和.

學(xué)生一邊回答，教師一邊板書：9=（ ）+（ ）.

追問：9只能看成兩個(gè)整數(shù)的和嗎？有沒有其他情況？

生14：9也可以看成三個(gè)整數(shù)的和.

師：還有其他可能嗎？我們學(xué)過的數(shù)有哪些？學(xué)生沉默幾秒鐘，再一次出現(xiàn)了“躍躍欲試”的情境.

生15：9還可以看成8.1與0.9的和，或者看成7.1與1.9的和，這樣的話，9=（ ）+（ ）中的兩個(gè)加數(shù)會(huì)有無數(shù)個(gè)答案.

生16：9還可以看成81/4與3/4的和，當(dāng)然這兩個(gè)加數(shù)也有無數(shù)個(gè)答案.

師：同學(xué)們對(duì)小學(xué)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)的調(diào)度很靈活，請(qǐng)大家繼續(xù)思考，9只能看成兩個(gè)數(shù)的和嗎？

生17：當(dāng)然可以看成兩個(gè)數(shù)的差，比如10與1的差，12與3的差，……

教師板書：9=（ ）-（ ）.

生18：9也可以看成10.1與0.1的差，103/4與13/4的差，……（此時(shí)教室里響起了掌聲）

生19：9可以看成兩個(gè)數(shù)的積.

教師板書：9=（ ）×（ ）.

生20：9=（9）×（1），9=（0.3）×（30），9=（10）×（9/10），……，這兩個(gè)因數(shù)也有無數(shù)個(gè)答案.

追問：兩個(gè)因數(shù)中有沒有特殊情況？

生21：兩個(gè)因數(shù)相等，此時(shí)9=3×3=32.

師：對(duì)于32是我們進(jìn)入初中以后要研究的一種新運(yùn)算“乘方”.

追問：同學(xué)們還有想說的嗎？

生22：9還可以看成兩個(gè)數(shù)的商.

教師板書：9=（ ）÷（ ）.

生23：9=（9）÷（1），9=（3）÷（1/3），9=（10）÷（10/9），……，這里的被除數(shù)和除數(shù)也會(huì)產(chǎn)生無數(shù)個(gè)答案.

師：同學(xué)們太厲害了，由“9”作為運(yùn)算結(jié)果又聯(lián)系到了我們小學(xué)學(xué)過的所有數(shù)的運(yùn)算，再次見證了了數(shù)的“成長(zhǎng)”歷程（整數(shù)—小數(shù)—分?jǐn)?shù)），并進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)及其運(yùn)算構(gòu)成了小學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容.

設(shè)計(jì)意圖 借助當(dāng)“9”作為運(yùn)算的結(jié)果時(shí)，對(duì)小學(xué)所學(xué)習(xí)的四種運(yùn)算進(jìn)行了復(fù)習(xí)，這樣不僅引發(fā)了學(xué)生的深度思考，而且發(fā)散了學(xué)生思維，尤其是當(dāng)“9”作為和、差、積、商時(shí)，對(duì)應(yīng)的加數(shù)，被減數(shù)、減數(shù)，因數(shù)，被除數(shù)、除數(shù)會(huì)產(chǎn)生無數(shù)個(gè)對(duì)應(yīng)的答案，學(xué)生不僅僅再次感悟了數(shù)的成長(zhǎng)過程，而且體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的開放性.

3 以“9”導(dǎo)疑，加深對(duì)正比例、反比例、方程的認(rèn)識(shí)，滲透函數(shù)概念

師：剛才我們把9看成了一個(gè)運(yùn)算的結(jié)果（和、差、積、商），對(duì)于這四種運(yùn)算，我們能從另外一個(gè)角度去認(rèn)識(shí)嗎？比如：9=（x）+（y）中，這里的x、y替代了上面具體的數(shù)，這是小學(xué)已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)的什么知識(shí)？

生：字母表示數(shù)

師：對(duì)，這樣一來就構(gòu)成了一個(gè)關(guān)系式，這個(gè)關(guān)系式中隱藏著什么？

生24：x與y的和是9，9比x大y，或者9比y大x，也可以是x比9小y，y比9小x.

師：那在減法運(yùn)算，9=（m）-（n）中呢？

生25：m比n大9，或n比m小9，與加法中蘊(yùn)含的等量關(guān)系相同，它們都表示了兩個(gè)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.

師：那在乘法運(yùn)算中，又隱藏著什么等量關(guān)系呢？比如：9=（a）×（b）中？

生26：a的b倍等于9，b的a倍等于9，9是a的b倍，9是b的a倍.

師：那在除法運(yùn)算中呢？比如：9=（c）÷（d）中？

生27：與乘法運(yùn)算中隱藏的等量關(guān)系相同吧.

師：也就是在加減法運(yùn)算中，表示了兩個(gè)量的和差數(shù)量關(guān)系;而在乘除法運(yùn)算中，表示了兩個(gè)量的倍分?jǐn)?shù)量關(guān)系.請(qǐng)大家繼續(xù)思考：看到9=（a）×（b）時(shí)，你又想到了我們小學(xué)學(xué)到的什么數(shù)學(xué)知識(shí)？

生28：此時(shí)的a和b成反比例關(guān)系.

追問：那你看到9=（c）÷（d），又想到了？

生29：此時(shí)的c和d成正比例關(guān)系.

師：在9=（x）+（y），9=（m）-（n），9=（a）×（b），9=（c）÷（d）（借板書指出即可）中，還有什么共同點(diǎn)？

生30：它們都是等式.

生31：等式右邊的兩個(gè)數(shù)字都不是唯一的，有無數(shù)個(gè)（對(duì)應(yīng)）值.

生32：它們都含有兩個(gè)未知數(shù).

師：同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)都很好，這些式子（板書的四個(gè)等式）不僅僅是等式，還含有未知數(shù)，這些未知數(shù)還具有可變性，可見它們有著更加豐富的內(nèi)涵，這些式子從小學(xué)的角度來看應(yīng)該是什么？

生33：方程.

師：是的，它們可以看成方程，只不過是含有兩個(gè)未知數(shù)的方程，有待我們的進(jìn)一步研究.另外，我們進(jìn)入初中以后這些式子還可以看成是初中代數(shù)內(nèi)容中另一類很重要的新知識(shí)——函數(shù).（借此板書：函數(shù)）由此我們也可以看出，同樣一個(gè)式子竟然有兩種不同的認(rèn)識(shí)，這在告訴我們知識(shí)具有相承性，它們不是彼此剝離的，而是認(rèn)識(shí)的不斷發(fā)展，所以說初中數(shù)學(xué)無非就是小學(xué)數(shù)學(xué)的再次生長(zhǎng).

師（總結(jié)）：以上我們又從數(shù)量關(guān)系的角度對(duì)“9”進(jìn)行了探索，認(rèn)識(shí)到加減乘除四則運(yùn)算中除了蘊(yùn)有外在形式的方程外，還隱藏著函數(shù).這樣，我們就初步見識(shí)到了初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的概貌.

設(shè)計(jì)意圖 先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這四種基本運(yùn)算9=（x）+（y），9=（m）-（n），9=（a）×（b），9=（c）÷（d）所表達(dá)出來的式子進(jìn)行分析，揭示出其中所蘊(yùn)含的等量關(guān)系，加減表達(dá)了和差關(guān)系，乘除表達(dá)了倍分關(guān)系，這也是小學(xué)與初中最為常用的兩個(gè)等量關(guān)系;再借助9=（a）×（b），9=（c）÷（d）兩個(gè)式子，領(lǐng)悟得出小學(xué)所學(xué)到的比例知識(shí)，這其實(shí)就是初中要研究的正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的知識(shí)，而9=（x）+（y），9=（m）-（n）則是初中研究的一次函數(shù)，由此導(dǎo)出初中要研究的知識(shí)點(diǎn)——函數(shù)，最后再借助這些式子的共同點(diǎn)（等式），導(dǎo)出了方程的知識(shí)，這樣也完成了對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容的整體架構(gòu)，又順利的把初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)“牽”出來，在學(xué)生心中埋下了函數(shù)知識(shí)的“種子”.

4 以“9”布疑，形成“圖形”的知識(shí)體系

借助對(duì)“9”的認(rèn)識(shí)形成了小學(xué)學(xué)過的數(shù)的知識(shí)架構(gòu)之后，筆者再次提出問題：同學(xué)們?cè)谛W(xué)除了學(xué)過的數(shù)及其運(yùn)算以外，還有其他知識(shí)嗎？學(xué)生思維再一次出現(xiàn)了暫時(shí)的停滯，停頓了1分鐘左右，學(xué)生思維再度出現(xiàn)“高潮”.

生34：除了有關(guān)數(shù)的內(nèi)容以外，我們還學(xué)過圖形的有關(guān)知識(shí).

追問：那我們對(duì)“9”是否還有其他的認(rèn)識(shí)？

生35：9可以看成邊長(zhǎng)為3的正方形面積.

生36：那9當(dāng)然也可以看成長(zhǎng)方形的面積了，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是9和1.

生37：長(zhǎng)和寬不一定是整數(shù)吧，因?yàn)殚L(zhǎng)方形面積等于長(zhǎng)×寬，我們剛才分析了9=（ ）×（ ）中的因數(shù)有無數(shù)個(gè)，所以如果長(zhǎng)方形的面積等于9，則該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬是不確定的，有無數(shù)個(gè)答案.

生38：9還可以看成平行四邊形的面積啊，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e是底×高，所以底和高也是有無數(shù)個(gè)答案.

生39：9還可以看成一個(gè)三角形的面積或者梯形的面積，分析方法與上面相同.

生40：那9也可以看成一個(gè)圓的面積啊，也就是πr2=9.

生41：這個(gè)有點(diǎn)難，我們還不會(huì)確定圓的半徑.

師：是的，我們暫時(shí)還不能確定這個(gè)圓的半徑，但初中待學(xué)習(xí)的一種新運(yùn)算可以解決這個(gè)問題，同學(xué)們是不是有所期待！

追問：剛才我們把“9”看成了圖形的面積，除此之外，我們還學(xué)過圖形的什么？

生42：周長(zhǎng)，那“9”也可能是我們上面分析的圖形的周長(zhǎng).

追問：如果把“9”看做圖形的周長(zhǎng)，那分析的方法與“9”做為面積時(shí)，分析的方法一樣嗎？

生43：當(dāng)然相同了，就是把面積公式改成周長(zhǎng)公式就行了.

師：很好.以上，我們借助數(shù)字“9”，完成了對(duì)小學(xué)所學(xué)到的圖形知識(shí)的總結(jié)，這些也將是我們進(jìn)入初中以后要重點(diǎn)研究的圖形.與小學(xué)一樣，進(jìn)入初中，我們也是要重點(diǎn)研究三角形、平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形、圓這些基本圖形的，只是研究的角度不同了，同學(xué)們能說一下，我們小學(xué)研究這些圖形，主要從什么角度研究的嗎？

生44：如何計(jì)算這些圖形的周長(zhǎng)、面積，也就是從“數(shù)量”的角度.

師：回答的很好，進(jìn)入初中以后，我們將在以上定量研究的基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)向?qū)D形的定性研究.

設(shè)計(jì)意圖 本環(huán)節(jié)繼續(xù)對(duì)“9”探究，得出9可能是一個(gè)圖形的面積或者周長(zhǎng)，因?yàn)橛梢陨蠋讉€(gè)環(huán)節(jié)的鋪墊，學(xué)生得出結(jié)論自然是水到渠成的事.該環(huán)節(jié)也是既幫助學(xué)生完成了小學(xué)所學(xué)到的所有的基本圖形（平面圖形）的知識(shí)架構(gòu)，又為學(xué)生進(jìn)入初中以后要研究的幾何圖形提前布下了局.

5 以“9”引疑，拎出統(tǒng)計(jì)與概率

師：以上我們從不同角度對(duì)“9”進(jìn)行了“解密”，大家能否借助我們上面分析問題的經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)思考呢？

生45：那還可以怎么認(rèn)識(shí)“9”呢？得想想我們小學(xué)還學(xué)了什么？

生46（忽然站起來）：9可能是幾個(gè)數(shù)字的平均數(shù)，比如：9是1和17的平均數(shù)，也是2和16的平均數(shù)，總之，9可以是很多個(gè)這樣的兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)，也可以是三個(gè)數(shù)字的平均數(shù)…….

追問：這些內(nèi)容又屬于數(shù)學(xué)中的哪一部分呢？

生47：統(tǒng)計(jì).

師：對(duì)，除統(tǒng)計(jì)以外，在小學(xué)我們還學(xué)過了可能性的知識(shí)，知道事件發(fā)生的可能性有大小，這些也將是我們進(jìn)入初中要繼續(xù)研究的“統(tǒng)計(jì)概率”的知識(shí)范疇.

設(shè)計(jì)意圖 本環(huán)節(jié)實(shí)際上是學(xué)生類比上面幾個(gè)環(huán)節(jié)自主提出問題的，這樣小學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)架構(gòu)基本形成了，順乎其然，初中數(shù)學(xué)的基本架構(gòu)也就誕生了.

6 總結(jié)提煉，升華收獲

師生再次回顧小學(xué)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，同時(shí)“反射”出初中數(shù)學(xué)的知識(shí)架構(gòu).

師：至此我們把小學(xué)學(xué)過的主要內(nèi)容梳理了一遍，看同學(xué)們的表現(xiàn)是很不錯(cuò)的，初中的學(xué)習(xí)無非就是以上知識(shí)的再次生長(zhǎng)，期待同學(xué)們初中學(xué)習(xí)的精彩！至此我們立足小學(xué)的學(xué)習(xí)，初步勾勒出了初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的概貌，初步感觸到了已有知識(shí)的生長(zhǎng)性，在此期待同學(xué)們善用類比、善用聯(lián)想、用開放的思維去迎接初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的挑戰(zhàn).

設(shè)計(jì)意圖 課堂小結(jié)再次把課堂上得出的零散收獲進(jìn)行匯總，幫助學(xué)生形成策略性知識(shí).這樣就為學(xué)生順利進(jìn)入初中數(shù)學(xué)課堂做好了鋪墊，本節(jié)課做為學(xué)段起始課的立意——開思維、見全貌、提興趣的“先行組織者”作用就有了.

7 反思評(píng)價(jià)

7.1 借用數(shù)字“9”質(zhì)疑開塞，巧妙喚醒小學(xué)知識(shí)

本節(jié)課是給新初一學(xué)生上的開學(xué)第一課，對(duì)于本學(xué)段起始課，少有老師有意規(guī)劃，絕大部分老師是忽略的，幾乎都是直赴新授課的教學(xué).上課結(jié)束時(shí)，幾個(gè)“活躍”的孩子驚訝的說：數(shù)學(xué)原來還可以這么“玩”啊，一個(gè)小小的數(shù)字竟然能把所有的小學(xué)知識(shí)都“揪”出來，而且還這么輕松，挺有意思.本節(jié)課中學(xué)生的思考與回答應(yīng)該是最好的詮釋——玩轉(zhuǎn)數(shù)字“9”，提煉升華，把小學(xué)學(xué)到的零散的知識(shí)凝成知識(shí)架構(gòu)，為初中的數(shù)學(xué)課堂描繪出了藍(lán)圖，見到了“森林”，吊起了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)躍躍欲試的胃口.

7.2 借力“類比”思想，為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)埋下伏筆

本節(jié)課借助對(duì)數(shù)字“9”的認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性以及數(shù)學(xué)的價(jià)值[2]，實(shí)際是在滲透給學(xué)生要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待“世界”，用數(shù)學(xué)的思維表達(dá)世界的意識(shí).同時(shí)借助小學(xué)的知識(shí)架構(gòu)，反射初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這實(shí)際都是大“類比”思想的應(yīng)用，同時(shí)也是在幫助學(xué)生促成正遷移，在課堂上可見學(xué)生的這種遷移在悄悄發(fā)生，學(xué)生竟然可以類比前三個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，自己探討第四個(gè)環(huán)節(jié)，長(zhǎng)此以往，學(xué)生的類比遷移能力會(huì)不斷得到提升.

7.3 設(shè)計(jì)適切的教學(xué)任務(wù)，引發(fā)學(xué)生的深度思考

學(xué)習(xí)任務(wù)是學(xué)生參與課堂學(xué)習(xí)的重要載體和平臺(tái)，教學(xué)任務(wù)的設(shè)計(jì)直接影響到學(xué)生的課堂效率，同時(shí)也關(guān)乎學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高.因此，在課堂教學(xué)中，學(xué)習(xí)任務(wù)的確定至關(guān)重要.本節(jié)課中，我沒有讓學(xué)生去做多少具體題目，而是給學(xué)生提供可引發(fā)“深度思考”的素材，讓學(xué)生在開而有度的問題驅(qū)動(dòng)下，既活躍了思維、回顧了知識(shí)，又提高了綜合調(diào)度知能儲(chǔ)備的能力.

7.4 整體立意，大處著眼，以點(diǎn)帶面見全貌

整節(jié)課以“學(xué)段起始課”為出發(fā)點(diǎn)，借助邢成云老師提出的“整體化教學(xué)”[1]，從大處著眼，以培養(yǎng)學(xué)生的興趣、打開學(xué)生思維為宗旨，引導(dǎo)學(xué)生見到了初中數(shù)學(xué)的“全面貌”，形成了“課程”體系，這樣學(xué)生可以明明白白的進(jìn)入初中的數(shù)學(xué)課堂，為學(xué)生順利適應(yīng)初中數(shù)學(xué)課堂做好了引領(lǐng)與鋪墊.

參考文獻(xiàn)

[1]邢成云.整體化教學(xué)：課堂直指學(xué)生思維發(fā)展[N].中國(guó)教育報(bào)，2019-12-11（10）.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社.2012.