考慮損傷的混凝土非線性徐變模型

鄭 丹，蔡昊男,李鑫鑫

(重慶交通大學(xué)河海學(xué)院,重慶 400074)

混凝土結(jié)構(gòu)在長期持續(xù)荷載作用下變形不斷增加的現(xiàn)象稱為徐變[1]。在不同大小的長期荷載下，混凝土表現(xiàn)出不同的徐變現(xiàn)象。當(dāng)長期荷載較小時(<0.4fc，fc為抗壓強度)，混凝土變形隨時間增加緩慢，且徐變變形與應(yīng)力成正比，此時為線性徐變；當(dāng)持荷水平較大時，徐變雖最終收斂但和應(yīng)力水平不再成線性，此時為非線性徐變；在持續(xù)荷載很大時(>0.7fc)，混凝土徐變將不再收斂，此時混凝土將發(fā)生徐變破壞(Tertiary creep)[2]。由于高拱壩等水工結(jié)構(gòu)在服役期承受較高水平的持續(xù)荷載，準(zhǔn)確地計算混凝土非線性徐變對結(jié)構(gòu)分析設(shè)計十分重要。

混凝土在較低荷載水平下的線性徐變計算發(fā)展已經(jīng)非常成熟，如CEB-FIP模型[3]，ACI209模型[4]，朱伯芳模型[5]和Bazant的固化徐變模型[6]等，但目前對高持續(xù)荷載非線性徐變研究還比較欠缺。大量試驗研究表明，較高持續(xù)荷載下的混凝土在徐變變形過程中材料會發(fā)生損傷[7-8]，混凝土在徐變過程的損傷是導(dǎo)致非線性徐變的主要原因[9]。在試驗基礎(chǔ)上，研究人員提出了各種模型分析混凝土的非線性徐變性能。Mazzotti等[10-11]采用廣義的Kevin和Maxwell彈簧阻尼模型，黃耀英等[12]采用串聯(lián)Bingham原件建立了宏觀的混凝土非線性徐變模型。鄭丹[13]假設(shè)單元應(yīng)變能服從Weibull分布，采用統(tǒng)計損傷模型分析了持續(xù)荷載下混凝土的力學(xué)性能。陳忠等[14]應(yīng)用最小二乘法回歸分析徐變度的試驗數(shù)據(jù)，并提出了基于時間等效的混凝土徐變模型。Ruiz等[15]認(rèn)為混凝土在徐變過程中的損傷機理與在疲勞應(yīng)力下相似，分析了混凝土的非線性徐變行為。Ren等[16]采用能量為基礎(chǔ)的塑形損傷模型，建立混凝土的非線性徐變模型。Luzio[17]將細觀層面的固化徐變模型引入微平面理論框架，分析了徐變與損傷的耦合關(guān)系。同時，美國墾務(wù)局[18]進行了持續(xù)時間超過10 a、荷載水平為1/4～1/3混凝土抗壓強度的試驗，結(jié)果表明低應(yīng)力作用的徐變并不會對混凝土材料造成損傷?？梢钥闯?，目前的混凝土非線性徐變模型大多試驗數(shù)據(jù)的直接擬合，或是直接認(rèn)為部分徐變變形會導(dǎo)致混凝土損傷，并沒有反映混凝土非線性徐變的機理。

1 非線性徐變系數(shù)

在現(xiàn)有理論和試驗研究基礎(chǔ)上，研究人員一般用非線性徐變系數(shù)F(η)來描述較高荷載下混凝土的徐變變形：

(1)

式中：σc為持續(xù)荷載；Ec為彈性模量；η=σc/fc為持荷應(yīng)力水平；φlin(t0,t)為無量綱線性徐變，為非線性徐變系數(shù)。現(xiàn)有文獻中非線性徐變系數(shù)計算公式如表1所示，其中非線性臨界點表示線性和非線性徐變的分界點，即持續(xù)荷載水平超過該值后，混凝土發(fā)生非線性徐變。

表1 現(xiàn)有非線性徐變系數(shù)計算公式

可以看出，不同研究人員得出的非線性徐變系數(shù)計算方法形式差別較大，不同計算方法得到非線性徐變系數(shù)和持荷應(yīng)力水平的關(guān)系如圖1所示。圖中還給出了文獻中不同強度等級的非線性系數(shù)試驗數(shù)值。

圖1 非線性系數(shù)與持荷水平關(guān)系

從圖1中可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有非線性徐變系數(shù)計算公式和中等強度混凝土(C30，C40)試驗結(jié)果吻合較好，但不能反映較低(C20)和較高強度混凝土(C60)的非線性徐變特征。這是因為目前的非線性徐變計算方法均是試驗數(shù)據(jù)的宏觀擬合，沒有考慮混凝土材料在持續(xù)荷載下的非線性變形力學(xué)本質(zhì)。因此有必要分析較高持續(xù)荷載下混凝土徐變和損傷耦合機理，提出能準(zhǔn)確計算不同強度等級混凝土非線性徐變變形的方法，為長期服役的混凝土結(jié)構(gòu)安全性評價提供參考。

2 考慮損傷的混凝土非線性徐變計算方法

2.1 混凝土非線性徐變模型

根據(jù)已有的理論和試驗研究成果，筆者認(rèn)為混凝土在高持續(xù)荷載下體現(xiàn)出非線性徐變特征主要是由材料損傷造成的。在較高荷載下混凝土材料內(nèi)部會發(fā)生損傷，損傷變形會減小材料的宏觀彈性模量，雖應(yīng)力不變但徐變變形增加；同時徐變變形會導(dǎo)致材料發(fā)生損傷，損傷與徐變相互耦合，導(dǎo)致高持續(xù)荷載下混凝土徐變呈現(xiàn)出非線性?？紤]混凝土材料損傷，可以將高持續(xù)荷載下混凝土的應(yīng)變劃分為以下3個部分：

εtot=εe+εd+εc

(2)

式中：εtot為徐變總應(yīng)變；εe為混凝土彈性應(yīng)變(瞬時且可恢復(fù))；εd為損傷應(yīng)變(瞬時不可恢復(fù))，主要與混凝土中的微裂紋擴展演化有關(guān)；εc為混凝土基體徐變應(yīng)變，主要是由水泥基基體的流變特性產(chǎn)生的，與塑性收縮以及骨料、加載齡期等諸多因素相關(guān)。

式(2)中，混凝土彈性應(yīng)變可以通過混凝土單軸抗壓應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系計算得出。對于混凝土基體徐變應(yīng)變，本文采用Bazant[22]等提出的固化徐變B3模型計算，其增量形式的徐變度C0(t,t′)可表示為

g′(t)=C0(t,t′)=n(q2t-m+q3)/

[(t-t′)+(t-t′)1-n]+q4/t

(3)

q2=451.1c0.5(fc)-0.9q3=

0.29(w/c)0.4q2q4=0.14(a/c)-0.7

(4)

式中：t和t′分別為計算和持荷開始齡期；w/c為水灰比；a/c為骨料與水泥比值；n和m為常數(shù)；q2～q4分別為與齡期相關(guān)的黏彈性相柔度、與齡期無關(guān)的黏彈性相柔度和黏性相柔度。根據(jù)Lemaitre的損傷力學(xué)理論，將材料損傷D表示為彈性模量的折減，單軸情況下混凝土等脆性材料的本構(gòu)關(guān)系可以表示為

(5)

式中：σ*為作用在材料上的有效應(yīng)力；σ為外部應(yīng)力；E′和E分別為材料損傷后的彈性模量和初始彈性模量?？紤]材料損傷后，實際作用在材料的有效應(yīng)力增加，徐變變形增大，因此增量形式的混凝土基體徐變可以表示為

(6)

從上述分析可以看出，對于彈性應(yīng)變以及基體徐變應(yīng)變可以通過現(xiàn)有的研究成果進行確定，但損傷應(yīng)變εd無法直接計算。因此，準(zhǔn)確計算混凝土非線性徐變變形的關(guān)鍵是確定損傷應(yīng)變εd，即明確徐變變形如何對混凝土材料造成損傷。

2.2 混凝土徐變變形產(chǎn)生的損傷

混凝土的損傷破壞主要是由材料內(nèi)部微裂縫、孔隙擴展演化造成的。根據(jù)Griffith經(jīng)典斷裂理論，在外荷載作用下，材料內(nèi)部應(yīng)變能逐漸累積，當(dāng)應(yīng)變能超過產(chǎn)生新裂紋需要的表面能時，裂縫就會發(fā)生擴展。

如圖2所示的經(jīng)典線彈性斷裂模型，厚度為B的平板承受均勻拉應(yīng)力σ，由于裂紋存在而釋放的彈性能U(平面應(yīng)力條件下)和裂紋擴展形成新表面所需表面能S分別為

圖2 拉伸應(yīng)力下I型裂縫

U=πa2σεB=πa2σ2B/E

(7)

S=2Aγ=4aγB

(8)

Uc=πa2σεB=πa2Bσ(σ/E+εc)

(9)

對比式(7)和式(9)可知看出，由于徐變變形的存在，外荷載所導(dǎo)致彈性能累積要高于短期荷載。在持續(xù)荷載產(chǎn)生的持續(xù)變形超過一定程度后，即使此時外荷載保持不變，應(yīng)變能將超過表面能，導(dǎo)致裂紋開裂并造成材料損傷。為定量化地分析徐變變形對材料損傷的影響，本文定義材料宏觀應(yīng)變能Es=σε。由上述分析可知，在細觀層面上，當(dāng)裂紋尖端應(yīng)變能到滿足下式時，裂紋發(fā)生擴展。

σε≥4γ/(πa)

(10)

同時，細觀損傷力學(xué)認(rèn)為，當(dāng)材料內(nèi)部微裂紋滿足式(11)后發(fā)生擴展。隨著微裂紋的擴展演化，其對混凝土的宏觀變形貢獻逐漸增加，混凝土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系呈現(xiàn)出一定的非線性，單軸荷載下混凝土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以表示為

(11)

(12)

ε*=S(Es)∶σ

(13)

式中：Es為應(yīng)變能；S(Es)為微裂紋柔度貢獻。

以混凝土受壓為例，由于混凝土由骨料和砂漿組成，裂紋開始分布在骨料和砂漿的界面上(圖3(a))，隨著荷載增加微裂紋會發(fā)生自相似擴展(圖3(b))和彎折擴展(圖3(c))，并最終由于微裂紋相互作用形成宏觀裂紋導(dǎo)致破壞。由于不同混凝土材料內(nèi)微裂紋尺寸、分布各異，在外荷載逐漸增加的過程中，不同的微裂紋處于不同的狀態(tài)，要采用細觀力學(xué)方法準(zhǔn)確計算所有微裂紋對材料損傷、變形的影響非常復(fù)雜。

圖3 壓縮荷載下混凝土內(nèi)裂紋擴展演化規(guī)律

由式(13)可知，只要裂紋應(yīng)變能σε相同，裂紋擴展?fàn)顟B(tài)也相同，微裂紋引起的非線性柔度也相等。因此，本文假設(shè)不同荷載歷史下，如果宏觀應(yīng)變能Es相等，則材料的非線性柔度張量也相同，這樣就可以利用單軸荷載下混凝土的非線性柔度張量來表征徐變荷載下的非線性柔度張量。

首先在單軸荷載下混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(圖4)基礎(chǔ)上，根據(jù)式(11)獲得不同應(yīng)力條件下的微裂紋產(chǎn)生的應(yīng)變，然后根據(jù)式(13)即可求得非線性柔度張量S(Es)和應(yīng)變能Es的關(guān)系。圖4和圖5分別為不同強度等級的混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線和應(yīng)變能-非線性柔度張量。可以看出，在相同應(yīng)變能下，由于低強度混凝土的微裂紋密度更高，因此其提供的非線性柔度張量貢獻更大。

圖4 混凝土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

圖5 材料應(yīng)變能-非線性柔度張量關(guān)系

基于相同應(yīng)變能條件的非線性柔度張量等效假設(shè)，可以計算持續(xù)荷載下混凝土的非線性徐變，建立考慮損傷影響的混凝土徐變損傷模型。在單軸持續(xù)荷載下混凝土損傷應(yīng)變?yōu)?/p>

(14)

式中：S(Es)為微裂紋柔度貢獻，可以通過單軸混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系獲得(圖5)。將式(14)求導(dǎo)后聯(lián)合式(4)代入式(2)，即可得增量形式的持續(xù)荷載下混凝土徐變模型：

(15)

從式(15)可以看出，當(dāng)持續(xù)荷載水平很小時，混凝土為線彈性材料，柔度S(σεtot)和導(dǎo)數(shù)S′(σεtot)均為0，此時為線性徐變；當(dāng)持續(xù)荷載水平較高時，S(σεtot)和其導(dǎo)數(shù)S′(σεtot)迅速增加(圖5)，混凝土的應(yīng)變增長速率增加，徐變呈現(xiàn)出非線性；當(dāng)持續(xù)荷載水平更高時，在混凝土非線性徐變發(fā)展過程中，當(dāng)應(yīng)變累積到一定程度后，σ2S′(σε)/E→1，混凝土的應(yīng)變增長速率趨于無窮大，dε/dt→∞，材料不能繼續(xù)承受持續(xù)荷載，混凝土發(fā)生徐變破壞。同時從圖5可以看出，混凝土非線性徐變特性和柔度S(σεtot)直接相關(guān)，在相同應(yīng)變能下，強度低的混凝土柔度更高，因此在相同徐變變形影響下，混凝土材料的損傷程度更大，導(dǎo)致混凝土徐變的非線性程度越高。

需要指出的是，由于水泥基材料水化過程比較漫長，混凝土在齡期作用下其強度會逐漸上升，強度隨齡期變化會影響混凝土的徐變特性。因此，本文采用CEB-FIP規(guī)范[3]推薦公式考慮混凝土強度隨齡期的增長規(guī)律：

(16)

其中fct為齡期t的混凝土強度，fc28為28天單軸抗壓強度。

3 模型驗證和討論

為驗證模型正確性，將模型計算值和現(xiàn)有試驗值進行了對比和討論。在計算中，模型不含其他需通過試驗結(jié)果測定的參數(shù)。不同強度等級下混凝土單軸荷載下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系采用GB 50010—2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范(2015版)》中的推薦公式：

σ=(1-dc)Ecε

(17)

(18)

(19)

式中：ac為混凝土單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線下降段參數(shù)值；fc,r為混凝土單軸抗壓強度；εc,r為與單軸抗壓強度相應(yīng)的混凝土峰值壓應(yīng)變；εc,u為應(yīng)力應(yīng)變曲線下降段應(yīng)力等于0.5fc,r時混凝土壓應(yīng)變；dc為混凝土單軸受壓損傷演化參數(shù)。計算中上述參數(shù)取值如表2所示。

表2 混凝土單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線的參數(shù)取值

3.1 混凝土的非線性徐變

圖6為持續(xù)荷載分別為20%、35%、55%和65%抗壓強度時的非線性徐變和時間關(guān)系圖，圖中分別給出了Roll[23]的試驗值和本文模型的計算值，試驗均為強度等級C30試件，模型計算參數(shù)也采用上述規(guī)范中C30混凝土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系計算。

圖6 中、低持續(xù)荷載下模擬值與試驗值對比

從圖6中可以看出，計算結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好，所提出的非線性徐變計算方法可以較好地模擬持續(xù)荷載下的混凝土徐變變形。需要說明的是，本文提出的計算方法不含任何待定參數(shù)，僅僅通過材料在單軸荷載下應(yīng)力-應(yīng)變曲線，獲取混凝土不同應(yīng)變能累積狀態(tài)下的柔度，即可計算混凝土在不同水平的持續(xù)荷載下徐變變形性能，適用性較強。

3.2 非線性徐變系數(shù)

采用同樣的方法可以計算C20、C40和C60混凝土的非線性徐變系數(shù)，如圖7所示。

圖7 非線性系數(shù)與持荷水平關(guān)系

從圖7中可以看出，通過該方法計算得到的非線性徐變系數(shù)與試驗值吻合較好，并能夠反映出不同強度等級之間非線性系數(shù)的區(qū)別?；炷羻屋S強度越高，非線性徐變系數(shù)越小。這是因為混凝土強度越高，微裂紋密度相對較低，在相同荷載水平下?lián)p傷較低，在單軸應(yīng)力-應(yīng)變曲線上體現(xiàn)出較弱的非線性，在相同徐變荷載下，混凝土損傷程度以及徐變和損傷的耦合影響也較低，因此非線性系數(shù)較低。

3.3 混凝土非線性徐變臨界點

線性徐變和非線性徐變的界限對結(jié)構(gòu)長期性能分析也很重要，因此在此計算了不同強度等級混凝土的非線性徐變臨界點，如表3所示，表3還給出了已有文獻中的非線性徐變臨界點的試驗或經(jīng)驗值。需要說明的是，本文提出的模型沒有人為區(qū)分線性和非線性徐變，當(dāng)線性徐變與非線性徐變之差超過5%時，材料的非線性特性較為突出，因此在計算中認(rèn)為非線性和線性徐變差別超過5%時，此時的徐變?yōu)榉蔷€性徐變。

表3 不同強度等級凝土的非線性徐變臨界點

從表3中可以看出，本文模型計算與試驗值吻合程度較高，模型可以較好地反映混凝土材料從線性徐變到非線性徐變過渡過程，同時本文的模型能體現(xiàn)出不同等級混凝土非線性臨界點的差別。從表3中還可以看出，混凝土強度越高，非線性徐變臨界點越高；對于C20和C50的混凝土來說，當(dāng)受到的持續(xù)荷載應(yīng)力分別超過31%和60%的混凝土單軸強度時，徐變才會體現(xiàn)出非線性。

4 結(jié) 論

a.提出的非線性徐變模型和試驗值吻合較好，可以反映不同強度等級混凝土的非線性徐變特征，同時本文模型中不含任何試驗待定參數(shù)，通過材料在單軸荷載下應(yīng)力應(yīng)變曲線，即可分析混凝土在不同水平的持續(xù)荷載下徐變變形性能，能反映混凝土非線性徐變的力學(xué)機理，適用性強。

b.混凝土強度越高，在相同荷載水平下?lián)p傷較低,在相同徐變荷載下混凝土損傷程度以及徐變和損傷的耦合影響也較低，因此非線性系數(shù)較低；發(fā)生非線性徐變的臨界荷載水平也較高。