單元教學設計下的母題教學探究

江流

母題最初來源藝術和文學，繼而在各學科教學中有所發(fā)展。學科中的母題即為各門學科中包含若干知識點的基本題、典型題。母題是大量同類型題目的本源，是核心出發(fā)點。縱橫比較數學教學中題型的發(fā)展演變，基本以穩(wěn)定為主線，穩(wěn)中漸變，聯(lián)系實際，兼顧創(chuàng)新。因此，呈現(xiàn)出“年年歲歲神相似，歲歲年年形不同”的特性。那么，這種特性是如何“創(chuàng)造”出來的呢？主要基礎在于對其“源頭活水”的研究，即對母題的研究。現(xiàn)階段數學教學中對母題的研究，主要集中在以下幾個方面：一是對母題的“變式”內涵研究。主要闡述對變式教學倡導者顧泠沅提出的概念性變式和過程性變式的理解，及其不變與變的辯證關系等。二是對母題的“變式”問題研究。重點分析依據母題進行變式的問題設計，如用一個問題包含多個概念之變式的問題組織，即一題多變；如一個問題包含多個解法之問題組織，即一題多解。加強概念連接，強調對比變化呈現(xiàn)差異。三是對母題的“變式”教學研究。如把典型例題作為母題，引導學生深入研究與之相關的系列題型，強調從一道題引發(fā)數學研究的教學模式。

利用母題的基礎性、獨立性、拓展性和完整性等特性，讓學生體驗解決問題的多樣性，發(fā)現(xiàn)題目與題目之間的連鎖關系，并能準確運用母題“返本歸元”的數學思維解決現(xiàn)實生活問題，需要課程實施者對單元教學設計從功能定位上作出新的規(guī)劃，切合實際改變單一的知識傳授模式。教師要在教學中靈活利用母題進行“多樣解鎖”“遷移演變”“廣泛應用”等，不斷提高教學的力度和效度，讓學生的數學學習達到“能力提升”與“素養(yǎng)提升”的雙重功效，為學生的可持續(xù)發(fā)展和終生學習創(chuàng)造條件。

策略1：多樣解鎖——利用母題，一題多解

單元教學設計的核心在于，要在整體上考慮單元內容，結構化知識、情境、問題、過程、評價等，以便充分落實數學核心素養(yǎng)。利用母題一題多解，可以將碎片化的分解知識多樣整合，能將整個單元的內容融合于一節(jié)復習課，從而可以立足單元，上承達標學科核心素養(yǎng)，下啟順接知識點的目標和要求；從單元角度一體化對學習內容進行結構化處理，能夠使學習過程更加完整系統(tǒng)。

母題1（上海教育出版社，普通高中教科書必修第二冊，P123頁例5）

平面A、B、C三點坐標分別是（2，3）、（2，0）、（1，1）。已知小明在一處休憩，有只小狗沿著直線AC所在直線來回跑動。問：小狗在什么位置時，離小明最近？

向量是溝通代數和幾何的橋梁，母題1的變式教學能讓學生體會這種代數和幾何的深度融合。當教師將問題拋給學生后，學生小組討論歸納總結出很多解法：

（方法一）已知點A（2，3），C（1，1），則直線AC的方程為y=2x-1。

向量的應用目標在于讓學生能靈活運用向量坐標、數量積、投影和數量投影等知識解決相關問題。學生經歷運用向量解決數學問題的過程，學會向量的坐標化方法，感悟數形結合、分類討論等數學思想方法，發(fā)展邏輯推理能力。通過母題1的變式活動，將整個向量單元得以整合，符合單元教學設計的理念。

策略2：遷移演變——利用母題，一題多變

單元教學設計的理念是以發(fā)展學生數學素養(yǎng)為追求，根據學生的認知規(guī)律，螺旋上升地安排教學內容，特別是要讓重要的（往往也是難以一次完成的）數學概念、思想方法得到反復理解的機會。因此在教學過程中采用母題，通過延伸、拓展、娛樂應用等形式進行一題多變，以承前啟后的原則，循序漸進，引導學生加深記憶、發(fā)散思維、系統(tǒng)了解知識點，達到深入淺出的效果。

母題2（上海教育出版社，普通高中教科書必修第一冊，P124頁例13）

已知a<2，求函數y=|x-1|，x∈[a，2]的最大值。

高中的函數題大多是以基本初等函數為母函數，進行四則運算或復合運算，再輔以系數含參、定義域的改變等。必修一中函數的最值一節(jié)，教材中給出了三類典型母函數——二次函數、反比例函數、一次絕對值型函數。為了讓學生能更好地掌握函數值域和函數定義域、單調性的關系，采用一題多變教學既符合單元教學設計，利用母函數將單元內容予以串聯(lián)，又能節(jié)省課時提高時效，便于學生掌握。例如母題2，教師先呈現(xiàn)函數y=|x-1|，x∈[a，2]，求其最大值。然后讓學生改變題目條件，小組間互相出題給對方作。在對方不會時，要能予以講解。

小組1：函數y=|x-1|，x∈[0，2]的最小值。

小組2：改變函數定義域，求函數y=|x-1|，x∈[a，2]的最大值。

小組3：若函數y=|x-1|，x∈[a，2]的最大值為1，求a的取值范圍。

小組4：改變函數代數表達式，求函數y=|x2-1|，x∈[-1，3]的最值。

小組5：求函數y=|x|+|x-1|，x∈[-4，2]的最大值。

當小組5的函數表達式出來之后，學生們的思路好像一下子被打開了。這時，小組6拋出：求函數y=|x|+|x+1|+|x+2|的最小值。

利用母題2，一題多變。學生不僅了解了函數最值的幾種常見求法——數形結合和單調性，也了解了多種新的函數。同時還了解了恒成立問題和恰成立問題。既能從條件得到結論，也能從結論出發(fā)推導出需要的條件。最后更是師生一起升華得到一類特殊函數的最值問題。在這過程中學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)得到了發(fā)展。

策略3：廣泛應用——利用母題，一題多用

單元教學設計的目標是能更好地發(fā)展學生的數學素養(yǎng)，讓學生能以數學的眼光看世界，能以數學的方法分析世界，能用數學的語言表達世界。教師可以通過母題的“拓展演變”開拓學生數學視野和思維廣度，進而幫助學生養(yǎng)成分析問題的能力，讓思維變得“有跡可循”，直接應用于生活實踐中。廣義上來說就是數學建模。利用母題一題多用即為確定相應的數學模型，將相應的模型運用于不同的數學知識中。

母題3（上海教育出版社，普通高中教科書必修第二冊，P46頁練習6.3）

證明：平行四邊形中，對角線的平方和等于四邊的平方和。

這個母題必修第二冊在三個章節(jié)中有所呈現(xiàn)。教師在解三角形時候利用余弦定理證明命題，進而得到中線長定理。

在單元教學設計背景下，通過母題，立足于中國傳統(tǒng)的變式教學，引導學生解決問題。學生在解決問題過程中獲得學習經驗，而這種經驗將會成為他們認知結構的一部分，有利于學生建構起自己的數學概念。通過母題，有利于加強思考數學和發(fā)現(xiàn)數學的能力，充分做到“不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然”。