交換半環(huán)上有限生成半模的基數(shù)問題

張小梅， 舒乾宇

（四川師范大學 數(shù)學科學學院，四川 成都610066）

對于半環(huán)上半模結(jié)構的研究已經(jīng)有了很長的歷史.1979年，Cuninghame-Green［1］在max-plus代數(shù)中構建了類似于線性代數(shù)的一系列理論，之后研究者們又在該理論上得到了許多類似于線性代數(shù)的結(jié)論［2-6］.2007年，Di Nola等［7］在MV-max代數(shù)中構建了半環(huán)上半模的結(jié)構，引入了許多定義并提出了一些開問題，其中之一就是每組基的基數(shù)是否相同.這個問題在max-plus代數(shù)中已經(jīng)得到了證實［8］.2011年，Zhao等［9］在join半環(huán)中給出每組基有相同基數(shù)的充要條件.2014年，Tan［10］在交換半環(huán)中給出每組自由基有相同基數(shù)的充要條件.同年，Shu等［11］在交換半環(huán)上的n-維半線性空間中給出每組基有相同基數(shù)的充要條件.2016年，Tan［12］討論了自由集及其性質(zhì).區(qū)別于模的是，在半模中，線性無關的向量組不一定是自由的.因此，研究者們把線性無關分成了半線性相關和強線性無關2類.但對交換半環(huán)上強線性無關集的性質(zhì)和含有強線性無關基的有限生成半模的基數(shù)問題至今沒有討論，本文將在交換半環(huán)上對強線性無關集的性質(zhì)和含有強線性無關基的有限生成半模的基數(shù)問題進行討論.

1 預備知識

為了下面討論方便，本節(jié)將給出一些定義和基本結(jié)論.

定義1.1［13］半環(huán)L=（L，+，·，0，1）是滿足下述性質(zhì)的代數(shù)結(jié)構：

1）（L，+，0）是交換幺半群；

2）（L，·，1）是幺半群；

3）對任意的r，s，t∈L，滿足r·（s+t）=r·s+r·t和（s+t）·r=s·r+t·r；

4）對任意的r∈L，有0·r=r·0=0成立；

5）0≠1.

若對任意的r，r′∈L，滿足r·r′=r′·r，則稱L是交換半環(huán).

例1.11）設N是所有自然數(shù)構成的集合，N連同普通的加法和乘法運算構成交換半環(huán).

3）模糊代數(shù)〈［0，1］，max，min，0，1〉是交換半環(huán).

定義1.2設L=〈L，+，·，0，1〉是半環(huán)，M=〈M，+M，0M〉是加法交換幺半群.若外積*：L×M→M滿足對任意的r，r′∈L和a，a′∈M都有：

則稱〈L，+，·，0，1；*；M，+M，0M〉為左L-半模.

類似的可以定義右L-半模，其中外積的定義為M×L→M.

為了方便，在不會引起混淆的情況下，在左L-半?！碙，+，·，0，1；*；M，+M，0M〉中，對任意的r∈L，a∈M，將用r a代替r*a，用0代替0M.

若無特別說明，下文中的半模都指左L-半模.令=｛1，2，…，n｝，其中n是任意正整數(shù).用｜S｜表示集合S中元素的個數(shù)，稱為集合S的基數(shù).半模中的元素稱為向量，半環(huán)中元素稱為標量或系數(shù).前者用粗體表示以區(qū)別標量.可以構造出下面一些半模.

例1.2（a）設L=〈L，+，·，0，1〉是半環(huán).對n≥1，令

其中（x1，x2，…，xn）T表示（x1，x2，…，xn）的轉(zhuǎn)置.對任意的x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，

設N是L-半模M的非空子集，如果N中的元素關于M中的加法和乘法運算封閉，那么稱N是M的子半模.對M的任意子半模N1、N2，稱N1+N2=｛x+y：x∈N1，y∈N2｝和N1∩N2=｛x：x∈N1且x∈N2｝分別為子半模的和與子半模的交.顯然子半模的和與子半模的交還是子半模.

設S是L-半模M的非空集合，在M中所有包含S的子半模的交仍為M的子半模，稱為是由S生成的子半模，記作Span（S），容易證明合.如果S=｛x1，x2，…，xm｝，那么

若Span（S）=M，則稱S是M的生成集.若M中存在有限生成集，則稱M是有限生成半模.稱M中生成集的最小基數(shù)為M的秩，記作r（M）.顯然在有限生成半模M中，秩是存在的.

定義1.3［7］在L-半模M中，單個向量x是線性無關的.若向量組x1，x2，…，xn，n≥2中任一向量都不能由其余向量線性表示，則稱向量組x1，x2，…，xn是線性無關的.否則，稱向量組x1，x2，…，xn線性相關.

定義1.4［13］在L-半模M中，線性無關的生成集稱為M的基.

定義1.5［10］設x1，x2，…，xn是M的向量組.對任意的α∈M，若α最多用一種方法由x1，x2，…，xn線性表出，則稱向量組x1，x2，…，xn是自由的.若Span（x1，x2，…，xn）=M，則稱該向量組為半模M的自由基.

用Mm×n（L）表示L中所有m×n矩陣組成的集合.特別地，令Mn（L）=Mn×n（L）.對任意的A=（aij），B=（bij）∈Mm×n（L）和C=（cij）∈Mn×l（L），定義運算如下：

則（Mn（L），+，·，On，In）是一個半環(huán)，其中，

定義1.6［13］稱A∈Mn（L）是左可逆的（或右可逆的），如果存在B∈Mn（L）使得AB=In（或BA=In）.若A既是右可逆的又是左可逆的，則稱A是可逆的.

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定義1.7［10］設A=｛x1，x2，…，xm｝和B=｛y1，y2，…，yn｝是L-半模M的2個子集.若對任意的xj，j∈可由y1，y2，…，yn線性表出且對任意的yi，i∈可由x1，x2，…，xm線性表出，則稱A和B等價，記作A～B.

引理1.1［14］設L是交換半環(huán)，A，B∈Mn（L）.若AB=In，則BA=In.

若無特別說明，在下文中總是假設L是交換半環(huán).

2 強線性無關集的性質(zhì)

本節(jié)將討論在有限生成L-半模M中強線性無關集的一些性質(zhì)以及它與自由集之間的關系.首先，給出相關的定義.

定義2.1［13］在半環(huán)L中，a∈L是加法可消的當且僅當對任意的b，c∈L，由a+b=a+c知b=c.用K+（L）表示L中所有加法可消元組成的集合.若K+（L）=L，則稱L是加法可消半環(huán).令V（L）=｛a∈L：存在b∈L，使得a+b=0｝.若a∈V（L），則稱a是加法可逆的.顯然V（L）?K+（L）.

令W（L）=｛a∈L：若b∈L，則存在元素r∈L，使得a+r=b或a=b+r｝.顯然W（L）是非空的，因為0∈W（L）.如果W（L）=L，那么稱L是yoked半環(huán).

定義2.2［13］設0≠a∈L，若存在非零元b∈L使得ab=0，則稱a是左零因子，b是右零因子.若一個非零元既是左零因子又是右零因子，則稱之為零因子.沒有零因子的半環(huán)稱為整半環(huán).

根據(jù)定義2.1和定義2.2，類似地可以定義.

定義2.3在半模M中，x∈M是加法可消的當且僅當對任意的y1，y2∈M，由x+y1=x+y2知y1=y2.用K+（M）表示M中所有加法可消元組成的集合.若K+（M）=M，則稱M是加法可消半模.令V（M）=｛x∈M：存在y∈M，使得x+y=0｝.對任意的0≠x∈M，若對任意的非零元b∈L使得b x≠0，則稱M是整半模.

定義2.6在L-半模M中，強線性無關的生成集稱為M的強線性無關基.

引理2.1［16］設L=〈L，+，·，0，1〉是半環(huán)，則：

1）對任意的a，b∈L，a+b∈V（L）當且僅當a，b∈V（L）；

2）對任意的a∈V（L），r∈L，則ra，ar∈V（L）.

根據(jù)定義1.5和定義2.4有如下結(jié)論.

命題2.1在L-半模M中，若｛x1，x2，…，xn｝是自由的，則｛x1，x2，…，xn｝是強線性無關的.

引理2.2［12］設M是有限生成自由半模，A是M的生成集且｜A｜=r（M），則A是自由基.

根據(jù)命題2.1和引理2.2有下面的結(jié)論成立.

推論2.1設M是有限生成自由半模且r（M）=n，則M中任意含有n個向量的基都是強線性無關的.

引理2.3設半環(huán)L中存在0≠a∈L是加法可逆的非零因子.M為L-半模，向量組x1，x2，…，xn，n≥2是M的向量組.

由0≠a∈L是加法可逆的非零因子和引理2.1知0≠ark∈V（L），其中k∈｛j，j+1，…，n｝.又由M是整半模和xj≠0知arj xj≠0，從而存在J1?｛j，…，n｝，J2?｛j，…，n｝且J1∩J2=?，使得

即x1，x2，…，xn半線性相關，矛盾.

定理2.4設L是yoked半環(huán)且存在0≠a∈L是加法可逆的非零因子，M是整的且加法可消的半模.｛x1，x2，…，xn｝是強線性無關的當且僅當｛x1，x2，…，xn｝是自由的.

證明由命題2.1知只需證明必要性即可.

必要性 對任意的α∈M，若

根據(jù)定理2.4和文獻［12］中的命題2.3有如下結(jié)論.

即A可由UA線性表出.從而UA是M的生成集.

2）要證UA是M的基，由1）知下面只需證UA是線性無關的即可.

假設UA是線性相關的，則存在i0∈s，j0∈n，使得

定理2.7設半環(huán)L滿足dim（V1（L））=1.設｛x1，x2，…，xm｝和｛y1，y2，…，ym｝是半模M上的兩組向量，滿足關系式（y1，y2，…，ym）=（x1，x2，…，xm）A，A∈Mm（L），其中｛x1，x2，…，xm｝是強線性無關的.若A是可逆的，則｛y1，y2，…，ym｝也是強線性無關的.

證明若y1，y2，…，ym是線性相關或半線性相關的，則存在2個不相交的非空指標集kj∈L，使得

由存在kj≠0且a11，a22，…，amm≠0（因為a11，a22，…，amm∈U（L））知存在kj ajj≠0，即x1，x2，…，xm是線性相關或半線性相關的，矛盾.故y1，y2，…，ym是強線性無關的.

3 強線性無關的基的性質(zhì)

本節(jié)將討論強線性無關集的GM-rank并給出任意基都是強線性無關的等價刻畫.

定義3.1［17］設x1，x2，…，xn是M的向量組.若存在2個非空不交的指標集L，使得

則稱向量組x1，x2，…，xn是Gondran-Minoux相關的，簡稱為GM-相關的；否則，稱向量組x1，x2，…，xn是GM-無關的.向量組x1，x2，…，xn的Gondron-Minoux rank是指向量組中強線性無關子集的最大基數(shù)，簡記為GM-rank.半模M的Gondran-Minoux rank=max｛k：k是M中GM-無關集的基數(shù)｝，簡記為GM-rank（M）.

注3.1由定義3.1、定義2.4和定義2.5知，若向量組x1，x2，…，xn是GM-無關的當且僅當x1，x2，…，xn是強線性無關的當且僅當x1，x2，…，xn的GM-rank等于n.若向量組x1，x2，…，xn是GM-相關的當且僅當x1，x2，…，xn是線性相關或半線性相關的.

由定義3.1知下列命題成立.

命題3.1設x1，x2，…，xm是半模M的向量組.若GM-rank（M）=n且m＞n，則x1，x2，…，xm是線性相關或半線性相關的.

命題3.2若x1，x2，…，xm是半模M的強線性無關的向量組，則GM-rank（M）≥m.

命題3.3若GM-rank（M）=n，則M中任意含有n+1個向量的向量組都是線性相關或半線性相關的.

命題3.4若M是含有強線性無關基的有限生成半模，則r（M）≤GM-rank（M）.

在下文中討論的半模都是含有強線性無關基的有限生成半模.

定理3.1半模M中任意強線性無關集的基數(shù)都不超過n當且僅當GM-rank（M）≤n.若M還滿足r（M）=n，則GM-rank（M）=n.

證明充分性和必要性根據(jù)定義3.1容易得到.

設x1，x2，…，xm是M的強線性無關的基，由r（M）=n知m≥n.又由M中任意強線性無關集的基數(shù)都不超過n知m≤n.故m=n，從而

引理3.2若半模M的GM-rank（M）=r（M），則M的每組強線性無關基的基數(shù)都等于GM-rank（M）.

證明設GM-rank（M）=r（M）=n且x1，x2，…，xm是M的強線性無關基.由r（M）=n知m≥n.若m＞n，又由GM-rank（M）=n知x1，x2，…，xm是線性相關或半線性相關的，矛盾.因此，m=n.

引理3.3［18］在半模Vn（L）中每組基的基數(shù)都不會小于n.

推論3.1設在整半環(huán)L中存在0≠a∈V（L），則在半模Vn（L）中，每組強線性無關基的基數(shù)=GM-rank（Vn（L））=n.

定理3.4設在整半環(huán)L中存在0≠a∈V（L），若A=｛x1，x2，…，xn｝和B=｛y1，y2，…，ym｝是Vn（L）的2組基，則下列結(jié)論等價：

1）B是強線性無關的；

2）m=n；

3）B的GM-rank等于n.

證明由注3.1和推論3.1知只需證明2）?3）.

2）?3） 由于B是Vn（L）的一組基且含有n個向量，則B自由基，由命題2.1知B是強線性無關的，故B的GM-rank等于n.

由定理3.4有如下結(jié)論.

推論3.2設在整半環(huán)L中存在0≠a∈V（L），則下列結(jié)論等價：

1）Vn（L）中的每組基都是強線性無關的；

2）Vn（L）的每組基都有相同的基數(shù).

定義3.2［19］設矩陣A∈Mm×n（L），A的列向量組的GM-rank記作GMc（A），A的行向量組的GM-rank記作GMr（A）.當GMc（A）=GMr（A）時稱為A的GM-rank，記作GM（A）.

注3.2由定義3.2知GM（A）≤min｛m，n｝.

定理3.5設M是整半模且x1，x2，…，xn和y1，y2，…，ym是M的2組向量，其中x1，x2，…，xn是強線性無關的，滿足關系式（y1，y2，…，ym）=（x1，x2，…，xn）A，A=（aij）∈Mn×m（L）.若存在0≠a∈L是加法可逆的非零因子且GMc（A）＜m，則y1，y2，…，ym是線性相關或半線性相關的.

證明設

則方程（9）可以等價的寫成

其中α1，α2，…，αn是A的列向量組.由GMc（A）=m知α1，α2，…，αn是線性相關或半線性相關的.又由引理2.3知在方程（10）中存在ki≠0，i∈n，從而x1，x2，…，xn是線性相關或半線性相關的，矛盾.同理，可由m＞n得出矛盾，故m=n.

4 結(jié)論

在本文中，在有限生成半模上給出了自由集和強線性無關集兩者之間的關系.其次，給出了交換半環(huán)上有限生成半模中強線性無關基和半模M的GM-rank之間的關系，然而對于含有強線性無關基的有限生成半模的基數(shù)問題仍沒有解決.