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    環(huán)Fq+v Fq上線性碼的重量計(jì)數(shù)器

    2021-09-13 14:11:34廖群英
    關(guān)鍵詞:碼長對偶計(jì)數(shù)器

    齊 薇, 廖群英

    (四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,四川 成都610066)

    眾所周知,糾錯(cuò)碼在增強(qiáng)信息傳輸可靠性方面起著非常重要的作用,它可以用來檢測和糾正信息傳輸中的錯(cuò)誤[1].線性碼是一類具有良好代數(shù)結(jié)構(gòu)的糾錯(cuò)碼[2-3],線性碼的重量分布是檢測譯碼錯(cuò)誤的重要指標(biāo),重量計(jì)數(shù)器是研究線性碼的重量分布的一種有力工具.

    1977年,MacWilliams等[4]對有限域上碼的各種重量計(jì)數(shù)器及其關(guān)系進(jìn)行了較為系統(tǒng)的闡述.自此之后,許多學(xué)者將研究興趣從有限域轉(zhuǎn)移到有限環(huán).2012年,田園等[5]定義了環(huán)

    上線性碼的t-Lee重量計(jì)數(shù)器,給出了該環(huán)上線性碼的t-Lee重量計(jì)數(shù)器的MacWilliams恒等式.2014年,許和乾等[6]定義了環(huán)

    上線性碼的對稱重量計(jì)數(shù)器,并且建立了該環(huán)上線性碼的Hamming重量計(jì)數(shù)器和Lee重量計(jì)數(shù)器的MacWilliams恒等式.2017年,Chen等[7]定義了環(huán)

    上的線性碼,研究了一些重量計(jì)數(shù)器并獲得了這些重量計(jì)數(shù)器之間的關(guān)系,其中p是素?cái)?shù).關(guān)于線性碼重量計(jì)數(shù)器的更多研究成果參見文獻(xiàn)[8-14].

    本文定義了R上線性碼C的長度重量計(jì)數(shù)器,得到線性碼C的Lee重量計(jì)數(shù)器和Hamming重量計(jì)數(shù)器均可由長度重量計(jì)數(shù)器表示.

    1 R上線性碼的基本性質(zhì)

    設(shè)交換環(huán)

    其中,p是素?cái)?shù),m為正整數(shù).Rn的非空子集C稱為是R上碼長為n的碼;若C是R-子模,則稱C為R上的線性碼.設(shè)C1、C2是R上碼長為n的線性碼,則

    也是R上碼長為n的線性碼,稱C1+C2為C的分解.進(jìn)而,若

    文獻(xiàn)[15]中給出了R上的線性碼C與Fq上線性碼C1-v,Cv是相互唯一確定的,即如下引理.

    引理1.1[15]設(shè)C為R上碼長為n的碼,C1-v、Cv如上給出,則:

    1)C是R上的線性碼,當(dāng)且僅當(dāng)C1-v、Cv是Fq上的線性碼,且C=vC1-v+(1-v)Cv.

    2)設(shè)C是R上的線性碼,則

    且分解唯一.

    為建立R上的線性碼和Fq上線性碼之間的聯(lián)系,下面給出Gray映射和R上對偶碼、自正交線性碼、自對偶線性碼及LCD線性碼的定義.

    定義1.2定義Rn到F2nq的Gray映射為

    進(jìn)而,若x?y=0,則稱x、y正交.

    2)R上碼長為n的線性碼C的對偶碼C⊥定義為

    若C?C⊥,則稱C為自正交線性碼;若C=C⊥,則稱C為自對偶線性碼;若C∩C⊥=0,則稱C為LCD線性碼.

    因C為R上碼長為n的線性碼,故不妨設(shè)

    另一方面,由Φ是雙射可知

    推論1.5設(shè)C是R上碼長為n的自正交(自對偶,LCD)線性碼,則Φ(C)也是Fq上碼長為2n的自正交(自對偶,LCD)線性碼.

    證明由Φ的定義易證Φ(C)是Fq上長為2n的碼.再由C?C⊥知

    于是,由命題1.4可得

    從而Φ(C)是Fq上長度為2n的自正交線性碼.其他情形可類似證明.

    2 R上線性碼的重量計(jì)數(shù)器

    在編碼理論以及工程實(shí)現(xiàn)中,線性碼的重量計(jì)數(shù)器是一個(gè)重要的參數(shù),它是檢測譯碼錯(cuò)誤概率的主要依據(jù).迄今為止,最受關(guān)注的是Lee重量計(jì)數(shù)器和Hamming重量計(jì)數(shù)器.然而,由這2個(gè)重量計(jì)數(shù)器不容易得到有關(guān)線性碼的直和分解,由此引入長度重量計(jì)數(shù)器的概念.下面首先給出R上線性碼的Lee重量及一些重量計(jì)數(shù)器的定義.

    定義2.1設(shè)C是R上碼長為n的線性碼.

    1)對r=x+vy∈R,定義r的Lee重量為

    3)對任意c′,c″∈Rn,定義c′與c″的Lee距離為dL(c′,c″)=wL(c′-c″);

    4)環(huán)R上碼C的最小Lee距離定義為

    由此定義可知,Rn中任意向量的Lee重量值取自集合{0,1,…,2n},從而引進(jìn)重量計(jì)數(shù)器的概念.

    定義2.2設(shè)C是R上碼長為n的線性碼.

    1)對任意i=0,1,…,2n,記Li為C中Lee重量為i的碼字個(gè)數(shù),稱集合{L0,L1,…,L2n}為碼C的Lee重量分布.碼C的Lee重量計(jì)數(shù)器定義為

    3)對任意i=0,1,…,n,記Hi是C中Hamming重量為i的碼字個(gè)數(shù).稱集合{H0,H1,…,Hn}為碼C的Hamming重量分布.碼C的Hamming重量計(jì)數(shù)器定義為

    由上述定義可得

    根據(jù)文獻(xiàn)[4],記dH為碼C的Hamming距離.

    引理2.3設(shè)Φ為Rn到F2nq的Gray映射,則:

    1)對任意z∈Rn,有wL(z)=wH(Φ(z));

    2)Φ是(Rn,dL)到(F2nq,dH)的保距同構(gòu)映射.

    證明1)根據(jù)定義2.1可得.

    2)容易證明Φ是Fq-線性同構(gòu).進(jìn)而,對任意x,y∈Rn,有

    即Φ是保距映射.

    下面的定理2.4表明R上線性碼C的對稱重量計(jì)數(shù)器可以用來表示Lee重量計(jì)數(shù)器和Hamming重量計(jì)數(shù)器.

    定理2.4設(shè)C是R上碼長為n的線性碼,則

    1)LeeC(X,Y)=SweC(X2,XY,Y2);

    2)HamC(X,Y)=SweC(X,Y,Y);

    3)LeeC(X,Y)=HamΦ(C)(X,Y).

    證明只需證明1)、2)和3)類似可得.由定義2.2的1)和2)可知

    由定理1.1可知,R上線性碼C的直和分解形式為C=vC1-v⊕(1-v)Cv.為了建立R上線性碼C、vC1-v和(1-v)Cv三者重量計(jì)數(shù)器的聯(lián)系,下面定義一種新的重量計(jì)數(shù)器.

    定義2.5R上碼長為n的線性碼C的長度重量計(jì)數(shù)器定義為

    由定義2.1可知,對任意r∈R,wL(r)的值取自集合S={0,1,2}.對任意

    下面的引理2.6表明R上線性碼C的對稱重量計(jì)數(shù)器也可由長度重量計(jì)數(shù)器表示.由命題2.4,對稱重量計(jì)數(shù)器可以表示出Lee重量計(jì)數(shù)器和Hamming重量計(jì)數(shù)器.從而,Lee重量計(jì)數(shù)器和Hamming重量計(jì)數(shù)器均可由長度重量計(jì)數(shù)器表示出來.

    引理2.6設(shè)C是R上碼長為n的線性碼,則Ω(LweC(X0,X1,…,Xn-1))=SweC(X0,X1,X2).

    證明 由長度重量計(jì)數(shù)器和對稱重量計(jì)數(shù)器的定義及(3)式,可得

    引理2.7設(shè)C=vC1-v⊕(1-v)Cv是R上碼長為n的線性碼,則

    證明設(shè)c=(c0,c1,…,cn-1)=a+b∈C,其中

    下面對碼長l進(jìn)行歸納.

    1)當(dāng)l=1時(shí),由c=a+b∈C,其中

    則由(1)和(5)式可知

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