高考開放題命制的理論和技術(shù)研究①

任子朝 趙 軒 翟嘉祺 徐奉先

(教育部考試中心 100084)

1 引言

開放性試題(Open Ended Problem 或 Open Ended Item)是與封閉性試題相對(duì)應(yīng)的概念.一般來(lái)說(shuō)，封閉性試題具有確定的條件、方法和答案，而開放性試題是指圍繞某一個(gè)核心主題，提供一定的材料信息，要求考生就試題設(shè)問進(jìn)行深層分析和開展探究的一種命題形式.早在1993年就有學(xué)者概括了數(shù)學(xué)開放型題特點(diǎn), 即題目的條件是不完備的、解題策略是多種多樣的[1].隨后對(duì)開放題編制的策略和方法都進(jìn)行了深入的研究[2]，進(jìn)一步研究了與數(shù)學(xué)開放題相關(guān)的教學(xué)特征和方法[3].2020年10月，中共中央國(guó)務(wù)院《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》提出：深化考試招生制度改革.穩(wěn)步推進(jìn)中高考改革，構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系，改變相對(duì)固化的試題形式，增強(qiáng)試題開放性，減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象[4].在課程改革、高考改革和教育評(píng)價(jià)改革并行推進(jìn)的新時(shí)期，必須根據(jù)新課改和新高考的要求，研究開放題新的意義、新的作用、新的要求和新的內(nèi)容，發(fā)揮其在高考改革中的推動(dòng)作用.

2 開放題的理論

開放性試題由于條件、方法與結(jié)果的不確定性，所以呈現(xiàn)出條件開放、過(guò)程開放、結(jié)論開放等特點(diǎn)，且沒有唯一固定答案，因此在教育和評(píng)價(jià)中有特定的功能.如果說(shuō)封閉性試題在考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、目標(biāo)的客觀性、方式的規(guī)范性上獨(dú)具優(yōu)勢(shì)的話，那么開放性試題則在考查學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性上更為突出，甚至關(guān)注學(xué)習(xí)者情感、態(tài)度和價(jià)值觀等非智力因素，關(guān)注探究性和生成性的考查，所以在評(píng)價(jià)研究與實(shí)踐中發(fā)揮越來(lái)越重要的作用.特別要結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)和中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系，深化開放題的理論和命題技術(shù)研究.

2.1 開放題與核心素養(yǎng)

課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：“學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)科育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.[5]”對(duì)開放性試題而言，實(shí)現(xiàn)考試內(nèi)容的開放才是有意義的開放.核心素養(yǎng)作為考試內(nèi)容的核心，其要素應(yīng)該在開放性試題中得到體現(xiàn)和考查，而且核心素養(yǎng)的考查本身就要求試題具有開放性.以必備品格為例，必備品格具有導(dǎo)向價(jià)值觀念和關(guān)鍵能力的獨(dú)特作用.數(shù)學(xué)學(xué)科的必備品格應(yīng)該包括理性思維、獨(dú)立思考、求真求實(shí)、探究建模、勇于探索等.在考試中實(shí)現(xiàn)對(duì)必備品格的真實(shí)考查，可以依托開放性試題實(shí)現(xiàn)，研究利用開放題的考查路徑是落實(shí)核心素養(yǎng)理念的重要內(nèi)容.同時(shí)核心素養(yǎng)的所有要素應(yīng)該在一次考試中全部體現(xiàn)，考試是根據(jù)命題藍(lán)圖設(shè)計(jì)試題，因此要科學(xué)地分解、組合各核心素養(yǎng)要素和等級(jí)水平，并將其合理地分配到各個(gè)試題，對(duì)于落實(shí)到開放題的考查任務(wù)，要研究開放性試題的情境設(shè)計(jì)、問題設(shè)計(jì)、作答預(yù)設(shè)以及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)等，這是落實(shí)核心素養(yǎng)理念的重要任務(wù)之一.

2.2 開放題與學(xué)科關(guān)鍵能力

高考數(shù)學(xué)學(xué)科依據(jù)《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》確定了數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力，包括邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力五項(xiàng)關(guān)鍵能力[6].這5個(gè)關(guān)鍵能力從理論的、思維的和實(shí)踐的等方面分別描述了關(guān)鍵能力的有機(jī)構(gòu)成，每個(gè)能力都與試題的開放性密切相關(guān).開放性試題具有從新的角度觀察事物的特質(zhì)，考查被試是否能夠從新的角度解讀和解釋情境，考查理解程度和聯(lián)系能力；是否能夠使用理論認(rèn)識(shí)事物，考查受試者思維的深度；是否能夠初步建立一種探究性思維方式并予以充分表達(dá)，考查受試者的整合能力.開放性試題的顯著特點(diǎn)是鼓勵(lì)受試者獨(dú)立思考，個(gè)性化地解決問題.這種試題對(duì)受試者所有關(guān)鍵能力的考查都是較為深刻的考驗(yàn).

2.3 開放題的學(xué)科特點(diǎn)

除了一般開放題的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)開放題還有獨(dú)特的特征.傳統(tǒng)數(shù)學(xué)試題的特點(diǎn)是條件都是給定的，而且不多不少，全部應(yīng)用就可以解題.解題的思路是固定的，即使是一題多解的題目，每種解法的思路也是固定的，只要沿著固定的思路就能解題.解題的結(jié)果也是唯一、確定的，能得出確切的結(jié)論和數(shù)值.而數(shù)學(xué)開放題具有以下的特點(diǎn)：

1. 數(shù)學(xué)開放題的條件是不充分的，需要學(xué)生補(bǔ)充條件才能解題，補(bǔ)充的條件不同，解題的思路和解法也會(huì)不同.

2. 題目的結(jié)論不是事先給定的，有些問題的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在于尋求解答過(guò)程中主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重建.

3. 沒有現(xiàn)成的解題模式，有些答案可能易于直覺地被發(fā)現(xiàn)，但是在求解過(guò)程中往往需要從多個(gè)角度進(jìn)行思考和探索.

4. 實(shí)際應(yīng)用性的開放題，主體必須將生活語(yǔ)言用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將其數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型才能解決.在求解過(guò)程中往往可以引出新的問題，或?qū)栴}加以推廣，找出更一般、更有概括性的結(jié)論.

2.4 開放題設(shè)計(jì)原則

在考試中設(shè)計(jì)、開發(fā)開放題不同于教學(xué)中編制開放題，首先要注意，問題本身要有意義，要有研究的價(jià)值和解決的價(jià)值.開放題的題目背景應(yīng)為學(xué)生所熟悉，解決問題的知識(shí)應(yīng)該是學(xué)生已經(jīng)掌握的，是運(yùn)用現(xiàn)有的知識(shí)能夠解決的問題.要把握問題的開放程度和解題難度，使得解題要求多數(shù)學(xué)生都能夠達(dá)到.要掌握開放題的設(shè)問方式，語(yǔ)言的提示要恰當(dāng)，防止引起歧義或?qū)W(xué)生思維導(dǎo)入歧途.開放問題的答案應(yīng)該有明確的對(duì)錯(cuò)標(biāo)準(zhǔn)，易于閱卷評(píng)分.開放性問題要具有發(fā)展性，可以引導(dǎo)學(xué)生深入研究和思考.

3 開放題的考查實(shí)踐

開放性試題以核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力為考查目標(biāo)，在命制開放題時(shí)，可以從三個(gè)方面進(jìn)行探索嘗試，一是給出一系列事實(shí)或數(shù)據(jù)，要求考生從中發(fā)現(xiàn)問題并歸納結(jié)論或闡釋原理；二是設(shè)置條件缺失試題，要求考生補(bǔ)充條件，解決問題；三是給出限制條件，列舉滿足條件的實(shí)例.主旨是讓學(xué)生在真實(shí)性任務(wù)情境下，解決有一定挑戰(zhàn)的建構(gòu)性實(shí)踐問題，以鍛煉問題分析與問題解決能力，啟發(fā)創(chuàng)造性與開放性思維.

3.1 列舉實(shí)例，考查學(xué)以致用

舉例題在2013年的高考新題型測(cè)試中已經(jīng)引入，要求考生通過(guò)給出已知結(jié)論、性質(zhì)和定理等條件，從題干中獲取信息，整理信息，寫出符合題干要求的結(jié)論或是具體實(shí)例[7].在2021年8省聯(lián)考中又進(jìn)一步的測(cè)試、考查.

例1(8省聯(lián)考試卷第15題)

寫出一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)f(x)=．

在2021年的高考中，實(shí)際考查了舉例題.

例2(2021年新高考Ⅱ卷第14題)

寫出一個(gè)具有性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)=．

①f(x1x2)=f(x1)f(x2)； ②當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f′(x)>0； ③f′(x)是奇函數(shù).

試題要求考生在理解函數(shù)性質(zhì)①②③的基礎(chǔ)上從抽象到具體構(gòu)建出一個(gè)函數(shù)f(x).解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)性質(zhì)，第①條為自變量積的函數(shù)等于函數(shù)的積，第②條是在x軸正半軸為增函數(shù)，第③條導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，則原函數(shù)為偶函數(shù).由于答案是開放的，可以有多個(gè)答案，例如f(x)=|x|，f(x)=x2等.試題在考查思維的靈活性方面發(fā)揮了很好的作用，同時(shí)也給不同水平的考生提供了充分發(fā)揮自己數(shù)學(xué)能力的空間.

舉例題的特點(diǎn)是條件限定，而滿足條件的結(jié)論或具體例子有很多，給了考生更大的發(fā)揮空間.舉例題不同于一般的填空題，一般填空題的正確答案是唯一的，閱卷時(shí)與正確答案相同就給分，不相同就不給分.舉例題需要閱卷人員逐一驗(yàn)證結(jié)論，因此對(duì)閱卷人員的要求有所提高，閱卷的工作量也相應(yīng)增大，這要求閱卷機(jī)構(gòu)配合高考內(nèi)容改革，增加閱卷的人員投入，提高閱卷人員的業(yè)務(wù)水平.

例3(2021年高考乙卷文、理科第16題)

以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為(寫出符合要求的一組答案即可)．

本題不同于舉例題，不是要學(xué)生構(gòu)造實(shí)例，而是給出實(shí)例要求學(xué)生選擇.但試題沒有給出一個(gè)“幾何體”的空間圖形，只給出這個(gè)“幾何體”的正視圖①，要求考生在所給的圖②③④⑤四個(gè)圖中選出兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，與①組成這個(gè)“幾何體”的三視圖.試題的正確答案有二種：②⑤或③④，具有一定的開放性.考生可以先從側(cè)視圖入手，借助于空間線面關(guān)系，確定相應(yīng)的俯視圖；也可以先從俯視圖入手，然后選定相應(yīng)的側(cè)視圖.本題不要求學(xué)生選出全部的符合要求的答案，而是選出一個(gè)即可，不同的答案對(duì)應(yīng)著不同的思考方案，其思維的靈活性體現(xiàn)在方案的選擇上，試題全面考查了考生的空間想象能力，具有較好的選拔性.

3.2 主動(dòng)選擇，鼓勵(lì)獨(dú)立思考

2020年新高考中考查的結(jié)構(gòu)不良試題是根據(jù)高考的特點(diǎn)，考慮到考生付出的勞動(dòng)進(jìn)行改造的試題，即不是讓考生自己尋找條件，而是給出三個(gè)條件，讓考生選擇.“這樣既保持了結(jié)構(gòu)不良試題的特點(diǎn)，又保證了考試的公平性.[8]”在新高考的命題實(shí)踐中，對(duì)結(jié)構(gòu)不良試題進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，命制了改良版的結(jié)構(gòu)不良試題，要求考生自己選擇結(jié)論成立的條件.

例4(2021年高考甲卷理科第18題)

已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．

本題給出部分已知條件，要求考生根據(jù)試題要求構(gòu)建一個(gè)命題，并證明命題成立.試題設(shè)計(jì)了三個(gè)不同的組合方案，組成三個(gè)真命題，給考生充分的選擇空間.選擇什么樣的條件和結(jié)論，直接影響到問題的思維和證明過(guò)程，考生選什么樣的條件和結(jié)論組成命題，體現(xiàn)了考生不同的數(shù)學(xué)思維角度和方式.這種結(jié)構(gòu)不良試題的適度開放不僅有益于考生在不同層面上發(fā)揮自己的數(shù)學(xué)能力，而且也有益于對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的積極導(dǎo)向，引導(dǎo)中學(xué)在數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法的教學(xué)中，重視培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，克服“機(jī)械刷題”現(xiàn)象，充分考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

例5(2021年新高考Ⅱ卷第22題)

已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax2+b．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)從①②兩組條件中選取一組作為已知條件，證明：f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)．

本題第(2)問要求考生在①②兩組中選取一組作為已知條件，證明f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn).試題的開放性在于考生不能按照既定的條件去證明試題的結(jié)論，而必須先選擇①或②，構(gòu)成完整的命題，進(jìn)而探索證明方法.試題的開放性要求考生用整體的眼光分析問題，合理選擇新的條件，從而獲得正確的證明途徑.試題第(1)問全面考查了函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法，同時(shí)考查考生應(yīng)用分類討論思想解決問題的能力.根據(jù)分類討論的情況，恰當(dāng)選擇新的條件完成f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)的證明，體現(xiàn)了“結(jié)構(gòu)不良問題”適度開放命題的要求，在設(shè)計(jì)上突出素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則.試題對(duì)理性思維作了重點(diǎn)考查，對(duì)邏輯推理能力，數(shù)學(xué)抽象能力，直觀想象能力等作了很深入的考查.由于選擇①或選擇②均能證明f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，因此命題設(shè)計(jì)以適度開放為原則，既有利于選拔，也有利于考生發(fā)揮自己的水平，有利于閱卷評(píng)分.

在高考數(shù)學(xué)中，開放性試題更注重解法的開放，考生對(duì)解法的選擇基于其對(duì)試題的深入理解、對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和自身能力的高低.解法選擇得當(dāng)可以簡(jiǎn)化解題步驟，減少運(yùn)算過(guò)程，降低出錯(cuò)的幾率，節(jié)省考試時(shí)間.解法的選擇更體現(xiàn)出高層次的素養(yǎng)和能力.

新高考Ⅰ卷第18題可以說(shuō)是一道身臨其境的開放題，要求考生為小明做出決策.小明能正確回答A類問題的概率為0.8，但每題得分20分，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，每題得分80分，要綜合考慮，根據(jù)累計(jì)得分的期望最大的要求做出決策.

3.3 判斷存在問題，考查批判性思維

例6(2021年新高考Ⅱ卷第18題)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b=a+1，c=a+2．

(1)若2sinC=3sinA，求△ABC的面積；

(2)是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求a；若不存在，說(shuō)明理由．

本題背景取材于教材，內(nèi)容貼近學(xué)生.試題題干中已知△ABC的對(duì)邊分別為a，a+1，a+2，第(2)問要求考生判斷是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形，并運(yùn)用數(shù)學(xué)推理說(shuō)明理由.試題進(jìn)行開放性設(shè)計(jì)，直覺上會(huì)發(fā)現(xiàn)a=3時(shí)，△ABC是直角三角形，且∠C是直角.進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)△ABC是鈍角三角形時(shí)，cosC<0，由此推理可得正整數(shù)a=2.試題命制基于課程標(biāo)準(zhǔn)，重點(diǎn)考查考生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.問題在體現(xiàn)開放性的同時(shí)也體現(xiàn)了思維的準(zhǔn)確性與有序性.

例7(2021年新高考Ⅰ卷第21題)

(1)求C的方程；

4 開放題的意義

在高考實(shí)踐中，開放題對(duì)考試命題、高考選拔和中學(xué)教學(xué)都具有重要的意義.

4.1 推動(dòng)試題命制的創(chuàng)新

開放題實(shí)現(xiàn)了命題的創(chuàng)新并促進(jìn)了命題的創(chuàng)新.根據(jù)傳統(tǒng)的命題要求，試題要有統(tǒng)一的、確定的標(biāo)準(zhǔn)答案.這一要求使得命題者在命題的形式上受到了極大限制: 既要考慮出題的范圍必須限定在相關(guān)學(xué)科和課程范圍以內(nèi)，試題內(nèi)容和解答所需知識(shí)不能超出教學(xué)大綱要求，又要使試題有確定的答案，同時(shí)還要將答案限定在某個(gè)范圍以內(nèi)，因此要限定學(xué)生的思考范圍和選擇，有時(shí)候?yàn)榱藵M足這些條件而舍棄了一些好題.而開放性試題可以擺脫這些針對(duì)封閉性試題的出題限制，給予命題者更大的自由發(fā)揮空間，把題目放大到多學(xué)科、多領(lǐng)域、多層面的水平上，因此促進(jìn)了命題的創(chuàng)新.

4.2 發(fā)揮選拔考試的實(shí)效

在高考中，以增強(qiáng)試題的開放性為重點(diǎn)突破口，創(chuàng)新試題形式，增強(qiáng)試題的靈活性，有利于加強(qiáng)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考查，發(fā)揮高考科學(xué)評(píng)價(jià)和選拔功能.開放題改變了相對(duì)固化的試題形式，減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象，考查學(xué)生的真才實(shí)學(xué)，體現(xiàn)了考生的真實(shí)水平，增強(qiáng)了考試的實(shí)效性.同時(shí)，由于每位考生在答題過(guò)程中，考慮問題的角度不同，聯(lián)想和運(yùn)用到的知識(shí)在內(nèi)容和細(xì)節(jié)方面也各不相同，因此得出的答案也就有所不同.這樣就可以有效地避免學(xué)生在考試中互相抄襲答案作弊的現(xiàn)象，從而保證了考試的公平性，提高了考試的實(shí)效性，也能夠真正檢測(cè)出學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和水平，最大程度上實(shí)現(xiàn)了考試的目的.

4.3 促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)

開放題為學(xué)生提供了自己進(jìn)行思考并用他們自己的想法來(lái)表達(dá)的機(jī)會(huì)，要求構(gòu)建他們自己的題目條件和解題方案，給學(xué)生提出了自主學(xué)習(xí)的要求.同時(shí)要求學(xué)生表達(dá)對(duì)問題的深層次的理解，鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法來(lái)解決問題.在解題的過(guò)程中可以形成積極探究和創(chuàng)造的心理勢(shì)態(tài), 對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)產(chǎn)生新的領(lǐng)悟.開放性題目鼓勵(lì)學(xué)生積極地去自主探索并大膽聯(lián)想，催發(fā)他們的好奇心和求知欲，有利于學(xué)習(xí)者不斷拓寬視野，擴(kuò)大知識(shí)層面，要求他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中，必須不斷加深和提高學(xué)習(xí)內(nèi)容的深度和廣度.開放題鼓勵(lì)學(xué)生積極進(jìn)行發(fā)散性思考，最大限度地發(fā)揮其創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)他們的思維靈活性和主動(dòng)創(chuàng)新精神.

4.4 引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)改革

高考中命制開放題有利于引導(dǎo)基礎(chǔ)教育對(duì)開放性問題的研究和教學(xué)，有利于教師轉(zhuǎn)變教育觀念，激發(fā)教育熱情，擺脫淺層次的教學(xué)循環(huán)，體現(xiàn)教師自身的生命活力.開放題的解決要體現(xiàn)學(xué)生的個(gè)性，因此教師在教學(xué)中要調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和思維靈活性，注重培養(yǎng)學(xué)生從不同角度和不同層面去分析、解答問題的能力，進(jìn)而激發(fā)和提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力.開放題對(duì)學(xué)習(xí)者所采取的學(xué)習(xí)方法以及獲取知識(shí)的手段也提出了更高的要求，僅僅靠死摳課本內(nèi)容或死記硬背，應(yīng)付不了考試.教師必須教育學(xué)生應(yīng)用各種現(xiàn)代化手段去搜索信息、整合知識(shí)，并且合理運(yùn)用這些信息和知識(shí)去回答問題.這要求教師具有相應(yīng)的信息技術(shù)素養(yǎng)，能夠運(yùn)用現(xiàn)代科技去搜集整理以及分析信息，教師的綜合能力需要有進(jìn)一步的提高.

開放題作為新時(shí)期高考改革的有效措施，推動(dòng)了高考命題的創(chuàng)新，推動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)方式和教師教學(xué)的改革.要進(jìn)一步深化開放題的命題理論與技術(shù)的研究，探求其在教育評(píng)價(jià)改革的積極作用，總結(jié)形成具有中國(guó)特色的命題經(jīng)驗(yàn).