對(duì)平面向量教學(xué)的深度思考①

于道洋 寧連華

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 210079)

平面向量是高中階段重要的必修內(nèi)容，是解決諸多數(shù)學(xué)問(wèn)題必不可少的有力工具，也是高中知識(shí)與大學(xué)知識(shí)能夠順利銜接的重要橋梁.當(dāng)前，平面向量教學(xué)中尚存有部分“疑難雜癥”亟待解決，包括但不限于：某些知識(shí)點(diǎn)的導(dǎo)入方式，如何促進(jìn)對(duì)某些概念的深層次理解，這些都有進(jìn)一步完善的空間.以下根據(jù)教學(xué)實(shí)踐，試圖對(duì)幾處教學(xué)設(shè)計(jì)給出切實(shí)可行的優(yōu)化策略.

1 如何減少向量學(xué)習(xí)中的負(fù)遷移現(xiàn)象

從小學(xué)階段到高中階段，由于學(xué)生長(zhǎng)期與“數(shù)與數(shù)的運(yùn)算”打交道，實(shí)數(shù)系統(tǒng)的種種規(guī)則在學(xué)生心目中的印象根深蒂固，因此，盡管學(xué)生還沒(méi)有認(rèn)知近世代數(shù)當(dāng)中運(yùn)算封閉性的嚴(yán)格定義，但學(xué)生普遍認(rèn)為：同類的乘積得到的不應(yīng)該是“異類”，向量作為一個(gè)新接觸的體系，它的內(nèi)部乘積應(yīng)當(dāng)像數(shù)與數(shù)的乘積一樣是封閉的，即向量乘向量得到向量，而并非得到一個(gè)實(shí)數(shù).顯然，這是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的一種負(fù)遷移現(xiàn)象.此前，已有部分文章對(duì)平面向量學(xué)習(xí)的遷移現(xiàn)象進(jìn)行了研究，但未涉及此問(wèn)題，因此，有必要進(jìn)一步予以探討.

事實(shí)上，學(xué)生之所以形成這種印象，除了上述原因之外還有一個(gè)重要因素，即高中階段只講向量的內(nèi)積而不涉及外積.按照學(xué)生的思維定式，向量乘向量理應(yīng)等于向量，誠(chéng)然，這樣的情形的確存在，只不過(guò)是外積，而不是高考考查的數(shù)量積.學(xué)生從未接觸過(guò)外積，自然容易將本應(yīng)是外積的運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤地賦予內(nèi)積.

要減少乃至避免負(fù)遷移的發(fā)生，應(yīng)當(dāng)著力于明晰前后兩個(gè)概念或是兩個(gè)系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別.學(xué)生在高中階段認(rèn)為向量的內(nèi)積就是向量之間的乘法運(yùn)算，然而，在數(shù)學(xué)的世界中，事實(shí)并非如此，向量的外積(向量積)才是向量與向量真正的乘法.因此，盡管高考不做要求，但是拿出短暫的時(shí)間向?qū)W生簡(jiǎn)單介紹外積的定義，讓學(xué)生意識(shí)到這才是他們腦海中所設(shè)想的向量應(yīng)有的乘積，恰恰能夠起到讓學(xué)生深刻理解內(nèi)積的作用，不至于再存有向量的內(nèi)積等于向量的錯(cuò)誤認(rèn)知.

這樣的教學(xué)策略不僅能夠有效破除學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，與此同時(shí)，還能夠拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，促進(jìn)學(xué)生對(duì)平面向量有更為系統(tǒng)和完整的認(rèn)識(shí).目前，新高考已經(jīng)凸顯出考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的趨勢(shì)，在考題中命制具有更高知識(shí)背景和更高視角的信息題，測(cè)試考生臨場(chǎng)學(xué)習(xí)新概念并且快速應(yīng)用的能力，是順應(yīng)新高考趨勢(shì)的必由之路.而平面向量的外積，從知識(shí)難度、信息量等方面綜合考量，無(wú)疑是命題的熱門(mén)備選素材.進(jìn)而，為應(yīng)對(duì)這一高考的新變化，在日常教學(xué)中，適當(dāng)?shù)?、適時(shí)地補(bǔ)充新概念，同時(shí)，這些新概念又起到了促進(jìn)學(xué)生對(duì)舊概念深入理解的作用，這也正與新課標(biāo)的理念、新高考的追求相吻合.

除上述現(xiàn)象之外，在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中，部分學(xué)生“創(chuàng)造性”地讓平面向量擁有了結(jié)合律，這顯然是錯(cuò)誤的.究其原因，第一，學(xué)生仍然認(rèn)為向量系統(tǒng)滿足實(shí)數(shù)系統(tǒng)的一切運(yùn)算法則，實(shí)數(shù)運(yùn)算具有結(jié)合律，向量自然也應(yīng)該有，這仍然是一種負(fù)遷移；第二，這源于學(xué)生對(duì)平面向量點(diǎn)乘積的認(rèn)識(shí)浮于表層，未能理解其本質(zhì).對(duì)此，需引導(dǎo)學(xué)生思考如何舉出反例.通過(guò)認(rèn)真的思考便不難得知，三個(gè)向量a，b，c做數(shù)量積，若先算a和b的數(shù)量積再計(jì)算與c的數(shù)量積，最終結(jié)果一定和向量c的方向一致，反之，若先算b和c，最終結(jié)果一定和向量a的方向保持一致，因此結(jié)合律自然被推翻.

2 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下的教學(xué)設(shè)計(jì)——巧借疑題教點(diǎn)乘

目前，大量學(xué)生對(duì)于平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示這一知識(shí)點(diǎn)認(rèn)識(shí)不夠深刻，其具體表現(xiàn)是計(jì)算公式記憶有誤以及不能主動(dòng)地在解題過(guò)程中運(yùn)用這一方法處理相關(guān)問(wèn)題.在課堂教學(xué)中，教師通常按照教材寫(xiě)法推導(dǎo)向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算，即將任意兩個(gè)向量分解為水平方向、豎直方向單位向量i和j的線性組合，再通過(guò)向量點(diǎn)乘計(jì)算得到結(jié)果.

這種教學(xué)設(shè)計(jì)是典型的接受型教學(xué)，多年沿襲，無(wú)可厚非.但綜合知識(shí)內(nèi)容和學(xué)情狀況，此處的教學(xué)引入不妨在接受的基礎(chǔ)上增加一些探究.正如顧繼玲教授的觀點(diǎn)：“設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)可以增進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和方法的領(lǐng)悟，其中蘊(yùn)含著豐富的策略性知識(shí)，但這些策略性知識(shí)學(xué)生難以自發(fā)產(chǎn)生，需要老師通過(guò)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題啟發(fā)引導(dǎo).”[1]對(duì)于該知識(shí)點(diǎn)，筆者嘗試給出一種“探究+接受”的引入方式，首先，請(qǐng)看以下習(xí)題：

此題使用絕對(duì)值三角不等式最為簡(jiǎn)潔，該年湖南卷的參考答案給出的也正是這一方法.然而，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，部分學(xué)生未能獨(dú)立想到參考答案的解法，而是給出了如下解題步驟：

這道題目本身也許平淡無(wú)奇，但學(xué)生給出的上述解法引發(fā)了筆者新的思考.何不用此題作為向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的課前引入？在講授過(guò)平面向量的坐標(biāo)表示后，拋出上述習(xí)題.此時(shí)的極限情況是全體學(xué)生中無(wú)人給出教師期待的解法，那么，教師需現(xiàn)身說(shuō)法，請(qǐng)學(xué)生思考這一解法能否奏效.若班級(jí)學(xué)生中有人給出了類似解法，則教師可以因勢(shì)利導(dǎo)，抓住學(xué)生解題中遇到的這一障礙，適時(shí)地提出如下問(wèn)題：是否有一種方法，能求出x和y的線性組合的最大值？

隨后，教師不妨?xí)呵覕R置本題，詳細(xì)推導(dǎo)向量數(shù)量積等于橫坐標(biāo)相乘加縱坐標(biāo)相乘的由來(lái)，在此過(guò)程中，學(xué)生始終帶著如何創(chuàng)造解題新工具的好奇跟隨教師的思路前行，這節(jié)新授課的教學(xué)效果自然得到了提升.同時(shí)，在完成此題求解的過(guò)程中，學(xué)生無(wú)形之中又溫習(xí)了用模長(zhǎng)和夾角計(jì)算向量點(diǎn)乘積的舊知，一舉多得.

縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，在數(shù)學(xué)研究過(guò)程中，好奇心和解決問(wèn)題過(guò)程中遇到的障礙往往是催生新方法和新數(shù)學(xué)工具的催化劑.對(duì)于這樣的輔助元素，波利亞曾說(shuō)：“要通過(guò)適當(dāng)?shù)恼f(shuō)明，使得最引人注目的步驟的動(dòng)機(jī)和目的可以被理解.”[2]對(duì)于學(xué)生而言，在解決問(wèn)題的過(guò)程中遇到的瓶頸，以及對(duì)此所做的嘗試正是學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn).此時(shí)引入能夠帶領(lǐng)學(xué)生突破瓶頸的新知識(shí)，能夠讓學(xué)生更真切地感受到學(xué)習(xí)該內(nèi)容的必要性，對(duì)知識(shí)的理解也自然加深了幾分.

3 結(jié)束語(yǔ)

平面向量是高中階段十分重要的數(shù)學(xué)工具，毋庸置疑，本章的教學(xué)效果和教學(xué)方式直接影響著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性理解水平和解題能力.盡管當(dāng)下已不乏針對(duì)平面向量教學(xué)設(shè)計(jì)、解題訓(xùn)練方法等方面的研究論述，但學(xué)生和課堂教學(xué)都是處于不斷發(fā)展變化中的復(fù)雜綜合體，始終有新的疑難和新的障礙產(chǎn)生.因此，平面向量的教學(xué)，值得教學(xué)研究者和數(shù)學(xué)教育工作者進(jìn)一步深入思考和探討.