于“再創(chuàng)造”過程中提升數(shù)學抽象素養(yǎng)

吳厚儀

【摘 要】數(shù)學抽象素養(yǎng)作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，其形成和發(fā)展具有連續(xù)性和階段性，貫穿學生數(shù)學學習的始終。如何從初中階段開始逐步發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，使學生逐漸學會運用數(shù)學抽象思維去發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題，為高中階段數(shù)學學習奠定基礎，這是一個值得深思的問題。本文以一節(jié)“全等三角形”習題課的教學設計為例，探討探討如何在初中幾何課堂教學中更好地發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。

【關鍵詞】初中數(shù)學;平面幾何;數(shù)學抽象素養(yǎng)

數(shù)學是客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具，抽象性是數(shù)學的本質屬性之一。因而，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中明確規(guī)定，義務教育階段的數(shù)學課堂要培養(yǎng)學生的抽象思維。同樣地，最新頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》提出，要發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，其中就包括數(shù)學抽象。數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng)。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構，并用數(shù)學語言予以表征。

由此可見，數(shù)學抽象素養(yǎng)的形成和發(fā)展具有連續(xù)性和階段性，貫穿其數(shù)學學習過程的始終。數(shù)學抽象素養(yǎng)是適應學生終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的與數(shù)學有關的關鍵能力和思維品質之一，能使學生養(yǎng)成在日常生活和實踐中運用數(shù)學抽象的思維方式思考并解決問題，學會把握事物的本質，以簡馭繁。本文從一節(jié)“全等三角形”習題課出發(fā)，探討如何在初中幾何課堂教學中更好地發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。

一、經歷“再創(chuàng)造”過程，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)

《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》提倡反映數(shù)學知識應用的過程應該是“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程。本課例中，筆者將從“提出問題—歸納猜想—證明猜想—得出結論—應用模型—推廣延伸”六個環(huán)節(jié)開展數(shù)學活動。

（一）提出問題

例1：如圖1，∠A=∠B=∠DEC =60°，求證：∠1=∠C，∠D=∠2。

變式1：如圖2， AB⊥BC，AB⊥AD，DE⊥EC，求證：∠1=∠C，∠D=∠2。

（二）歸納猜想

思考1：觀察圖1和圖2，它們有什么共同點？從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

猜想1：如圖3，在△ADE和△BEC中，如果∠A=∠B=∠DEC ，那么∠1=∠C，∠D=∠2。

（三）證明猜想

證明猜想1（學生獨立完成證明）

（四）得出結論

結論：如圖3，在△ADE和△BEC中，如果∠A=∠B=∠DEC ，那么∠1=∠C，∠D=∠2。

師：你能給這一新發(fā)現(xiàn)的幾何模型取名嗎？給大家半分鐘進行小組討論，為模型取個好名字。

生：這兩個三角形連在一起像兩座山峰，不如就叫“雙峰模型”吧！

師：非常形象的名字！大家喜歡這個名字嗎？好的，那么我們就給這一模型取名為“雙峰模型”。

【設計意圖】在“提出問題—歸納猜想—證明猜想—得出結論”的數(shù)學活動過程中，教師首先通過對比例1及變式1，引導學生觀察、發(fā)現(xiàn)、分析和歸納圖形的特征，從中歸納并形成簡單的數(shù)學猜想，然后幫助學生對所得猜想進行嚴格證明，最后得出結論。在數(shù)學活動中提高合情推理和演繹推理的能力的同時，學生逐步學會清晰地用數(shù)學語言歸納概括自己的想法;在嘗試數(shù)學抽象的初步過程有深刻體會的同時，學生逐漸學會從特殊到一般、從具體到抽象的思維方式，在潛移默化中不斷提升數(shù)學抽象素養(yǎng)。另外，讓學生給所發(fā)現(xiàn)證明的幾何模型命名，學生能從數(shù)學學習中獲得極大的成就感，提高學生數(shù)學學習的自我效能感，激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性。

（五）應用模型

練習1：如圖4，在△ABC中，∠B=∠C，點D、E、F分別在AB、BC、AC上，且BD=CE，∠DEF=∠B，圖中是否存在和△BDE全等的三角形？說明理由。

練習2：如圖5，MN∥PQ，AB⊥MN，∠DEA=∠ECB，求證：DE⊥EC.

（六）推廣延伸

思考2：如果把猜想1的條件和結論互換，你能得到怎樣的命題？

猜想2：如圖3，如果∠1=∠C，∠D=∠2 ，那么∠A=∠B=∠DEC.

證明猜想2（學生獨立完成證明）

應用模型2

練習：如圖6，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點，且AM=BK， BN=AK，若∠MKN=44°，則∠P的度數(shù)為？

思考3：如果把圖3的△ADE和△BCE沿直線AB分別向左右兩邊平移一定距離，如圖4所示，此時結論是否依舊成立？

猜想3：如圖7，在△ADE和△BCF中，∠A=∠B=∠EGF.求證：∠1=∠C，∠2=∠D.

證明猜想3（學生獨立完成證明）

應用模型3

練習：如圖8，∠A=∠ABC=90°，CE=BD，過點C作CF⊥BD，垂足為點F，延長CF交AB于E.試證明：BE=AD。

【設計意圖】首先，通過將猜想1的條件和結論互換，得出猜想2這一逆命題并證明，不僅是對“雙峰模型”再建和完善的過程，更是對學生數(shù)學抽象素養(yǎng)形成的鞏固過程。然后，在學生能從圖3直接抽象出數(shù)學命題并證明其正確性的基礎上，通過對圖3進行平移變換得到更復雜的關聯(lián)圖形圖4，引導學生從關聯(lián)圖形中抽象出數(shù)學命題并證明，將已知數(shù)學命題推廣延伸至更一般的情形，這不僅是對“雙峰模型”拓展和豐富的過程，更是對學生數(shù)學抽象素養(yǎng)形成的深化過程。總而言之，在“推廣延伸”環(huán)節(jié)中，學生再度經歷“提出問題—歸納猜想—證明猜想—得出結論”的活動過程，加深了學生對數(shù)學知識生成的體會，有助于數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升。

二、總結

（一）精心設計變式，激活學生數(shù)學抽象思維

在初中數(shù)學幾何課程中，相關平面圖形往往有多種位置與形狀，圖形變化的復雜性、多樣性和抽象性大大增加了學生學習幾何的難度。因此在幾何內容教學中采取變式教學顯得尤為重要。高質量的變式設計是在初中數(shù)學幾何課堂中進一步完善幾何知識體系建構、培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的基礎和保證。教師要從圖形的特征和數(shù)學命題的內容出發(fā)，充分體現(xiàn)“觀察—思考—猜想—證明—應用”這一數(shù)學知識的再創(chuàng)造、理解和應用過程，展現(xiàn)圖形的變換過程和命題證明的思考過程。這一過程的展現(xiàn)可以通過教師在貫徹螺旋上升原則和化隱為顯原則的前提下，變換問題中的條件或結論，精心設計一系列由淺入深、環(huán)環(huán)相扣的變式，不斷地給學生提供比較、分析、歸納、綜合的機會，啟發(fā)引導學生在不同的幾何問題情境中抽象概括出幾何對象的內在聯(lián)系特征，將具體的幾何對象和內容進行歸類和“濃縮”，通過反復的體驗實踐，保持學生積極有效的思維活動，深化學生對幾何知識的認識和理解，使學生養(yǎng)成運用數(shù)學抽象思維方式解決問題的習慣，學生的抽象思維能力在遞進問題的探索中得到了發(fā)展。

（二）展開“再創(chuàng)造”過程，引導學生主動進行數(shù)學抽象

著名教育家蘇霍姆林斯基曾說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個探索者、發(fā)現(xiàn)者、研究者，而在兒童的精神世界中，這種需要特別強烈?！闭鐚W生發(fā)現(xiàn)“雙峰模型”時內心頗具成就感一樣，在數(shù)學學習的過程中，發(fā)現(xiàn)是一種樂趣，通過“再創(chuàng)造”過程展現(xiàn)習題的精彩，能夠激發(fā)學生主動去發(fā)現(xiàn)去探究，享受探究學習的樂趣。而且，學生對通過自身抽象思維活動自主獲得的知識比由旁人“填鴨式”硬塞的知識理解得更透徹，掌握得更迅速。因此，在幾何課堂中，教師要努力營造輕松、愉悅的探究學習氛圍，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，激起學生強烈的求知欲和表達欲，讓學生主動經歷數(shù)學知識的再創(chuàng)造過程，搞清楚知識的來龍去脈。在這一過程中，學生能夠親身體驗過去的數(shù)學家們從特殊到一般的數(shù)學抽象思維過程，對數(shù)學的抽象本質和通過數(shù)學抽象形成數(shù)學知識的過程有更深刻的理解，促進學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

（三）把握抽象程度，教學設計符合學生認知規(guī)律

初中生的認知發(fā)展正處于具體運算階段向形式運算階段過渡的關鍵期，這時學生的數(shù)學認知結構中的抽象思維、逆向思維等開始發(fā)展，并能進行簡單的演繹推理。因此，初中幾何教學要符合初中生的認知規(guī)律，把握一個適當?shù)摹岸取?，本著嚴密性和量力性原則，以適合初中生的接受能力為宜，不應為了發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)而過多研究復雜圖形問題。

數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數(shù)學的本質特征，貫穿在數(shù)學產生、發(fā)展、應用的過程中。數(shù)學抽象使得數(shù)學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統(tǒng)。數(shù)學抽象的重要性地位可見一斑。教師要充分挖掘教學資源，在初中數(shù)學幾何課堂上讓學生經歷探索知識的過程，產生數(shù)學思考的欲望，在實踐中體驗知識形成的過程和內在聯(lián)系，體會獲得知識的喜悅，在提高學生推理論證能力的同時，不斷潛移默化地提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，真正學會用數(shù)學抽象思維去發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。

【參考文獻】

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[3]岳峻，羅建宇.例談數(shù)學核心素養(yǎng)如何落實在課堂[J].中學數(shù)學，2017（7）.

（責任編輯：周瑋凌）