解析幾何最值問題求解的基本思路探究

李莉莉

摘 要：高中階段的解析幾何問題一般是以綜合題的類型出現(xiàn)，考查學(xué)生的幾何知識，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等數(shù)學(xué)思想的能力.解析幾何的最值問題的求解方法與代數(shù)、圓錐曲線、目標(biāo)函數(shù)中的最值問題有一定的區(qū)別，同時(shí)又存在著某種聯(lián)系.本文主要通過對一些相關(guān)例題的介紹，幫助同學(xué)們總結(jié)出一些比較典型的解題方法，希望同學(xué)們能在學(xué)習(xí)的過程中快速總結(jié)解題技巧，提高個(gè)人的解決問題的能力以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);課堂教學(xué);最值問題

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0016-02

一、聯(lián)系平面幾何知識求解解析幾何的最值問題

有一類解析幾何問題會與平面幾何的知識建立密切的聯(lián)系，同學(xué)們需要借助題目中的已知條件建立坐標(biāo)系，并尋找目標(biāo)函數(shù)，然后將平面圖形的解析式與解析幾何的解析式放在坐標(biāo)系中，尋找兩個(gè)圖象之間的關(guān)系，再利用求解函數(shù)最值問題的方式尋找問題的答案.

例1 假設(shè)P點(diǎn)是直線l：x-y+9=0上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P做出與橢圓C：x212+y23=1存在共同焦點(diǎn)的橢圓D，如果其長軸最短，試著求出橢圓D的方程.

分析 題目中給出了橢圓曲線的方程，同學(xué)們需要先找到橢圓的焦點(diǎn)，然后判斷橢圓與直線方程的位置關(guān)系，之后可將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可將題目中的“橢圓D的長軸最短”這個(gè)已知條件通過分析轉(zhuǎn)化為求解在直線l上求點(diǎn)P并使得|PF1|+|PF2|最小，從而求解題目要求.

解 由題目已知條件可知橢圓D的焦點(diǎn)為F1（-3，0）、F2（3，0）.

設(shè)存在點(diǎn)F1（x，y）是點(diǎn)F1（-3，0）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，可以解得F1坐標(biāo)為（-9，6）.

在坐標(biāo)系上連接F1F2，則直線F1F2與直線l的交點(diǎn)為P，如圖所示.

F1F2的方程求得y=-12x +32，將該方程與直線l聯(lián)立可求得P點(diǎn)坐標(biāo)為P（-5，4）.

設(shè)橢圓D的方程為：x212+λ+y23+λ=1

又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓D上，將P點(diǎn)坐標(biāo)帶入可得λ=33

因此橢圓D的方程為x45+y236=1

二、結(jié)合圓錐曲線定義及相關(guān)性質(zhì)求解解析幾何的最值問題

在高中數(shù)學(xué)中常見的解析幾何問題有橢圓、雙曲線、拋物線等等，相關(guān)的性質(zhì)、定義在課堂上都有幫助同學(xué)們進(jìn)行總結(jié)，在日常練習(xí)的時(shí)候需要同學(xué)們準(zhǔn)確地把握相關(guān)的知識，靈活的運(yùn)用解決解析幾何的最值問題.而在運(yùn)用定義和性質(zhì)解決相關(guān)圓錐曲線問題時(shí)，可能會在圖線中出現(xiàn)三角形，同學(xué)們要切記可以使用三角形的相關(guān)性質(zhì)解答，該性質(zhì)為： “三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊.”例如下面這道題.

例2 假設(shè)線段AB的長固定不變?yōu)?，假設(shè)線段AB的兩端都在拋物線y2=x上移動(dòng)，如果線段AB的中點(diǎn)為M，試著求解點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并且求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)具體為多少.

分析：題目中給出的拋物線方程式的圖象為開口向右的在第一象限和第四象限的圖象，而且題目中的已知條件可得AB在拋物線上移動(dòng)但AB連接的線段的長是固定不變的.同學(xué)們首先需要求出拋物線的焦點(diǎn)F，然后將圖象上的A、B、F三點(diǎn)連接成一個(gè)三角形，試著將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而確定線段AB的位置.

解 根據(jù)題目條件可設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，分別作AC、BD、MK垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線l在點(diǎn)C、D、K上，如圖所示：

則根據(jù)題目條件可知

|MK|=12（|AC|+|BD|）=12（|AF|+|BF|） ≥12|AB|=32

即當(dāng)線段AB是過F點(diǎn)的弦時(shí)，

|AF|+|BF|=|AB|

此時(shí)可求得|MK|可以取最小值32，

則此時(shí)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離最短.

又因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（14，0），準(zhǔn)線方程為x=-14，

因此點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離為32-14=54，即xM=54.

因此xA+xB=2xM=52，即y2A+y2B=52，而y2M=（yA+yB2）2=14（y2A+y2B+2yAyB）

又因?yàn)锳B過點(diǎn)F，因此yAyB=-14，故y2M=14·（52-12）=12，即yM=±22.

當(dāng)M到y(tǒng)軸的距離最短時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為

（54，22），

（54，-22）

三、建立目標(biāo)函數(shù)求解函數(shù)的最值

求解圓錐曲線的最值問題可以將題目轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題，因?yàn)閳A錐曲線方程本質(zhì)上來講也是一種函數(shù)的存在形式，所以同學(xué)們可以建立相關(guān)的目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)題目的要求對題目問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而簡化解題的過程，提高解題的準(zhǔn)確性.

例3 已知拋物線C的焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，拋物線C的頂點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，若存在直線l：x+y+m=0（m>0）與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，試求當(dāng)△AOB面積最大取值為26時(shí)直線l的方程.

分析 這道題目中，同學(xué)們首先應(yīng)該根據(jù)題目中給出的相關(guān)條件

設(shè)出題目中方程的形式，分別將拋物線的方程和頂點(diǎn)用未知數(shù)的方式設(shè)出來，然后根據(jù)相關(guān)的點(diǎn)求解點(diǎn)到直線的距離，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而得出拋物線的方程和直線方程.

解 根據(jù)題目可知拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），且a<0，

因此拋物線的方程為y2=2（-2a）（x-a），即y2=-4a（x-a）.

將直線l與拋物線C的方程聯(lián)立可得

x+y+m=0y2=-4a（x-a）

消去y可得：

x2+（2m+4a）x+m2-4a2=0

該方程判別式

Δ=（2m+4a）2-4（m2-4a2）>0，解得：

m<-2a，從而x1+x2=-2m-4ax1x2=m2-4a2

由弦長公式可得

|AB|=2·（x1+x2）2-4x1x2

=2·32a2+16ma

O到AB的距離為

d=m2

故△AOB的面積為

S△AOB =12·2·32a2+16ma·m2=8a2+4ma·m

=2·（-a）（-4a-2m）·m·m

≤2·（-a）·（-4a3）3=26

故a=-32

當(dāng)且僅當(dāng)-4a-2m=m，即m=2時(shí)（適合m<-2a的要求）S△AOB 的面積最大.

因此拋物線C的方程為y2=6（x+32），直線l的方程為x+y+2=0.

解析幾何中的最值問題的常用方法還有很多，希望各位同學(xué)能在遇到相關(guān)題目時(shí)注意總結(jié)，注意建立目標(biāo)函數(shù)，準(zhǔn)確地把握解析幾何的相關(guān)定義和性質(zhì)，從而利用函數(shù)的相關(guān)知識求解最值，提高學(xué)生的解題能力，讓同學(xué)們學(xué)過的知識都能達(dá)到融會貫通的程度.

參考文獻(xiàn)：

[1]姜坤崇.解析幾何最值問題的解法[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)（高中版）， 2015（6）：25-26.

[2]蔡玉書.解析幾何中的最值問題[J].中等數(shù)學(xué)，2015（02）：17-22.

[責(zé)任編輯：李 璟]