淺論一道幾何證明問(wèn)題解決中思維導(dǎo)圖的有效運(yùn)用

左晉

摘 要：中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題中會(huì)遇到很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境中，其考察的往往是學(xué)生系統(tǒng)性的數(shù)學(xué)知識(shí)，如果學(xué)生能夠有著健全的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，就可以迅速的找到解答問(wèn)題的鑰匙。因此在實(shí)際中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中，需要發(fā)揮好思維導(dǎo)圖的效能。文章以某中學(xué)數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題解決為對(duì)象，對(duì)于思維導(dǎo)圖適用于數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的歷程進(jìn)行分析，以強(qiáng)化對(duì)于思維導(dǎo)圖的認(rèn)知，衍生出更加創(chuàng)新性的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué);思維導(dǎo)圖;問(wèn)題解決

依靠符號(hào)元素、圖像元素、顏色元素和文字元素來(lái)傳遞對(duì)應(yīng)的信息，激發(fā)對(duì)應(yīng)的思維，實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的銜接和整理的思維模式，就是思維導(dǎo)圖。在中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的情境中，學(xué)生帶著思維導(dǎo)圖去解決問(wèn)題，可以更好的找到思考的節(jié)點(diǎn)，可以更快的步入創(chuàng)新思維狀態(tài)，因此可以發(fā)揮其在提升學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用素質(zhì)中的效能。

一、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中運(yùn)用思維導(dǎo)圖的邏輯初衷

在數(shù)學(xué)問(wèn)題的情境中，一開(kāi)始學(xué)生會(huì)對(duì)于題目的內(nèi)容進(jìn)行審視，此時(shí)會(huì)找到已知條件，會(huì)確定未知條件，也就是尋找對(duì)應(yīng)關(guān)鍵性字詞的過(guò)程，在進(jìn)行思考之后，學(xué)生會(huì)選擇不同的角度，界定不同的知識(shí)層次，實(shí)現(xiàn)不同知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)想，如同在腦海有一幅完善的思維導(dǎo)圖，對(duì)照思維導(dǎo)圖的邏輯去尋找題設(shè)條件與知識(shí)點(diǎn)之間的銜接，這樣就可以慢慢找到實(shí)際解決問(wèn)題的方法或者方案。依靠這樣的信息整合，可以使得中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決朝著更加全面，更加有效，更加科學(xué)的方向發(fā)展。很多學(xué)生在拿到數(shù)學(xué)題目的時(shí)候，總感覺(jué)無(wú)從下手，這種情況完全可以使用思維導(dǎo)圖的方式來(lái)改善，由此不僅僅可以實(shí)現(xiàn)學(xué)生自主探索精神的發(fā)展，還可以使得學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決能力得以提升。當(dāng)然，也需要注意的是，部分教師認(rèn)為思維導(dǎo)圖僅僅是一個(gè)知識(shí)可視化的工具，這種認(rèn)知是存在偏差的，如果對(duì)應(yīng)學(xué)生主體可以切實(shí)的使用思維導(dǎo)圖，就可以理解知識(shí)與知識(shí)之間的關(guān)系，驅(qū)動(dòng)知識(shí)體系得以建立，這種系統(tǒng)性的知識(shí)觀念，會(huì)使得其以更加好的狀態(tài)，參與到實(shí)際的知識(shí)理解，知識(shí)應(yīng)用活動(dòng)中去。

二、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決情境中思維導(dǎo)圖的使用案例

從理論上來(lái)講述，思維導(dǎo)圖在實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題解決情境中可以發(fā)揮很好的效能。但是其實(shí)際的價(jià)值，還是需要融入到實(shí)際問(wèn)題情境中去、讓學(xué)生去引導(dǎo)、讓學(xué)生去思考、讓學(xué)生去體會(huì)、讓學(xué)生去體驗(yàn)，由此才能夠進(jìn)入到理想的思維導(dǎo)圖使用格局。下面結(jié)合實(shí)際使用案例，對(duì)于實(shí)際思維導(dǎo)圖的效能進(jìn)行更加清晰的認(rèn)知。例如，如圖1所示，已知正方形ABCD，其中點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是AB、AC對(duì)應(yīng)兩邊的中點(diǎn)，連接CE、DF對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)相交于點(diǎn)P，鏈接AP，求證：AP=AD。

正方形題設(shè)框架之下，學(xué)生可以想到勾股定理，可以想到直角三角形，可以想到三角形的內(nèi)角和是180度，可以想到等腰三角形，可以想到線段長(zhǎng)度，可以想到全等三角形。在這些關(guān)鍵詞界定之后，學(xué)生繪制了如下的思維導(dǎo)圖：

從題目?jī)?nèi)容中學(xué)生可以聯(lián)想到：應(yīng)該如何去求證兩條線段是相等的呢？學(xué)生能夠想到的途徑有：等腰三角形的方法，三角形全等的方法，線段長(zhǎng)度相等的方法。很明顯依照上述題設(shè)，前面兩種方法都是不可行的，但是第三種方法中線段長(zhǎng)度難以獲取，題目也沒(méi)有設(shè)定對(duì)應(yīng)取值，那么就需要從線段與線段比例的角度入手。在想到比例關(guān)系之后，學(xué)生開(kāi)始對(duì)于題設(shè)條件進(jìn)行梳理，兩個(gè)點(diǎn)是正方形邊的中點(diǎn)，也就是說(shuō)AD=2AE，此時(shí)如果能夠證明AP=2AE，就可以得出上述的結(jié)論。再者考慮到四邊形是正方形，自然可以聯(lián)想到勾股定理上去。從勾股定理入手，此時(shí)就需要將焦點(diǎn)放在DF與CE垂直，也就是需要確保兩者的角度是90度，三角形相似就成為關(guān)注的焦點(diǎn)。

從上述問(wèn)題解決的歷程來(lái)看，學(xué)生可以巧妙的借助思維導(dǎo)圖來(lái)尋求線索，一開(kāi)始的線索是比較粗放的，接著借助條件的分析，可以進(jìn)行排除由此就可以界定新的切入點(diǎn)，依靠實(shí)際的切入點(diǎn)學(xué)生不斷的進(jìn)入到問(wèn)題分析，問(wèn)題發(fā)現(xiàn)和問(wèn)題解決中去，不僅僅可以使得中學(xué)生對(duì)于對(duì)應(yīng)知識(shí)的理解進(jìn)入到更加深度的層次，還可以使得學(xué)生的發(fā)散思維得到培養(yǎng)，更為重要的是，在此過(guò)程中學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)有所強(qiáng)化，甚至可以思考從不同的角度去尋求解決問(wèn)題的方法，繼而使得數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)入到融會(huì)貫通的狀態(tài)。當(dāng)然如果上述題設(shè)是以練習(xí)題的方式來(lái)進(jìn)行，可以鼓勵(lì)學(xué)生以小組合作的方式來(lái)探討，還可以實(shí)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)思想的碰撞，繼而營(yíng)造理想的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)環(huán)境，使得學(xué)生舉一反三的能力得以發(fā)展和進(jìn)步。從綜合的角度來(lái)看，思維導(dǎo)圖在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的效用是十分明顯的，其集中體現(xiàn)在：其一，思維導(dǎo)圖可以使得學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣得到不斷提升。在上述的數(shù)學(xué)習(xí)題解決的過(guò)程中，學(xué)生在聽(tīng)到使用思維導(dǎo)圖去解決的時(shí)候，頓時(shí)就產(chǎn)生了極大的興趣，于是就主動(dòng)的開(kāi)始思考，在繪制對(duì)應(yīng)思維導(dǎo)圖的過(guò)程中還積極主動(dòng)的與同桌進(jìn)行交互，使得數(shù)學(xué)思維的交互進(jìn)入到理想的狀態(tài)，新舊知識(shí)的銜接也朝著更加夯實(shí)的方向進(jìn)展，由此營(yíng)造出良好的中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍;其二，依靠思維導(dǎo)圖，學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)可以得到很好的提升。學(xué)生習(xí)慣性的使用思維導(dǎo)圖去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，無(wú)論是數(shù)學(xué)知識(shí)的理解質(zhì)量，還是數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用素質(zhì)都在提升，而這將作用于實(shí)際數(shù)學(xué)考試;其三，憑借思維導(dǎo)圖教學(xué)模式，可以使得中學(xué)生意識(shí)到自己可以使用自己掌握到的中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與生活之間關(guān)系的構(gòu)建，并且使得發(fā)散性思維和邏輯性思維處于交互的狀態(tài)，繼而進(jìn)入到深度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)格局。

三、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決情境中思維導(dǎo)圖的運(yùn)用技巧分析

上述數(shù)學(xué)問(wèn)題解決情境中，思維導(dǎo)圖的使用，的確幫助學(xué)生迅速找到的解答問(wèn)題的方案，但是需要注意的是，要想確保實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題解決情境中，思維導(dǎo)圖可以如期的發(fā)揮其效能，就需要懂得掌握思維導(dǎo)圖的使用技巧。在此方面需要注意如下的環(huán)節(jié)：

（一）堅(jiān)持思維導(dǎo)圖的層次性，關(guān)注對(duì)應(yīng)的重點(diǎn)，建立知識(shí)體系

思維導(dǎo)圖在繪制的時(shí)候，需要堅(jiān)持有層次性的原則，確保能夠迅速抓住重點(diǎn)，由此去建立對(duì)應(yīng)的知識(shí)體系，這樣才能夠確保不同知識(shí)點(diǎn)之間的銜接朝著針對(duì)性的方向進(jìn)展，這樣整體性的知識(shí)架構(gòu)，才有利于幫助學(xué)生更加快速的找到解決問(wèn)題的“鑰匙”。比如解決某邊相等的數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，某學(xué)生繪制的思維導(dǎo)圖3。首先學(xué)生將邊相等的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三種情況，這三種情況是有層次性的，在題設(shè)條件判定之后，迅速發(fā)現(xiàn)前面兩種情況是不符合的，此時(shí)就迅速將實(shí)際導(dǎo)圖的重點(diǎn)放在第三種情況上，這樣就找到了實(shí)際思維的重點(diǎn)，接著就對(duì)于這樣的情況進(jìn)行精細(xì)化分析，由此就步入到理想的思辨狀態(tài)，這對(duì)于提升解答效率和質(zhì)量而言，是很有必要的。因此在對(duì)于題設(shè)進(jìn)行分析之后，要循序漸進(jìn)的進(jìn)入到實(shí)際層次性知識(shí)點(diǎn)思考中去，并且在不斷深度閱讀中，界定重點(diǎn)，圍繞著這樣的重點(diǎn)，去建立知識(shí)體系，就可以更加快速的進(jìn)入到實(shí)際問(wèn)題解答的狀態(tài)。

（二）確保聯(lián)想行為的廣泛性，鍛煉舉一反三的能力

在中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題練習(xí)的時(shí)候，常常會(huì)遇到一個(gè)問(wèn)題可以使用多種解決方案的時(shí)候，在面對(duì)這種題設(shè)的時(shí)候，實(shí)際問(wèn)題的解決就需要能夠動(dòng)用聯(lián)想行為，此時(shí)的聯(lián)想一定是廣泛性的，不能是狹隘的，這樣就難以找到多個(gè)解決問(wèn)題的方案。也就是說(shuō)在這樣的情況下，學(xué)生要有著廣泛聯(lián)想的能力，盡可能的鏈接更多的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，依靠這樣的方式使得數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決能力朝著更加理想的方向發(fā)展。有時(shí)候，甚至可以一道題目，多個(gè)解決方案。依靠這樣的方式建立的思維導(dǎo)圖，可以慢慢演變?yōu)閷W(xué)生自己的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力和素質(zhì)，由此進(jìn)入到良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展格局中去。比如，在中學(xué)數(shù)學(xué)二次函數(shù)問(wèn)題解決的時(shí)候，常常會(huì)遇到求函數(shù)圖像的問(wèn)題，面對(duì)這樣的題設(shè)，教師引入了很多的經(jīng)典例題，然后讓學(xué)生對(duì)于此類型題目的解答技巧進(jìn)行歸結(jié)，學(xué)生就繪制了思維導(dǎo)圖。很明顯依靠這樣的思維導(dǎo)圖繪制，學(xué)生對(duì)于對(duì)應(yīng)類型題目的解答方案有著更加全面的掌握，不僅僅是一種解決方案，其還有多個(gè)解決方案，在這樣的思維導(dǎo)圖繪制的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)于問(wèn)題解答方案的理解會(huì)進(jìn)入到深度的狀態(tài)，不同解法背后的知識(shí)點(diǎn)銜接也朝著更加理想的方向進(jìn)展，依靠這樣的方式學(xué)生舉一反三的能力得到了發(fā)展，對(duì)應(yīng)的中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力也會(huì)得到很好的鍛煉。

（三）尊重思維導(dǎo)圖的個(gè)性化，不要進(jìn)行過(guò)度干預(yù)

在中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，使用思維導(dǎo)圖，的確可以使得教育教學(xué)質(zhì)量和效益得到提升，但是需要注意的是，思維導(dǎo)圖不僅僅是一個(gè)記憶的工具，其還是一個(gè)知識(shí)梳理的工具，還是一個(gè)深化認(rèn)知的工具，在此歷程中要正確看待思維導(dǎo)圖的效用，鼓勵(lì)學(xué)生習(xí)慣性的將其作為數(shù)學(xué)筆記，習(xí)題分析，知識(shí)復(fù)習(xí)的重要手段，并且尊重學(xué)生的自主性，尊重他們自己繪制的思維導(dǎo)圖，不要有太多的干預(yù)。在實(shí)際的中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)過(guò)程中，雖然部分?jǐn)?shù)學(xué)教師也使用了思維導(dǎo)圖，但是其傾向于以自己繪制的思維導(dǎo)圖為主導(dǎo)，要求學(xué)生對(duì)照自己的思維導(dǎo)圖來(lái)進(jìn)行歸結(jié)，這樣就本末倒置了，使得思維導(dǎo)圖成為一種新的灌輸教育渠道，這種做法是存在諸多缺陷和不足的，應(yīng)該積極采取措施去進(jìn)行規(guī)避。從這個(gè)角度來(lái)看，在中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中使用思維導(dǎo)圖，就需要尊重思維導(dǎo)圖的個(gè)性化，不要有太多的干預(yù)，這樣才能夠進(jìn)入到理想的思維導(dǎo)圖格局。在學(xué)生繪制出自己的思維導(dǎo)圖之后，要鼓勵(lì)學(xué)生來(lái)講述自己的思路，然后引導(dǎo)其進(jìn)入到交互的狀態(tài)，在這樣的交互中，數(shù)學(xué)思維會(huì)得到碰撞，數(shù)學(xué)情境會(huì)得到構(gòu)建，學(xué)生也就是在這樣的背景下，可以對(duì)于思維導(dǎo)圖的價(jià)值有著清晰的認(rèn)知，由此進(jìn)入到更加理想的中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)格局。

綜上所述，作為中學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者，在積極主動(dòng)將思維導(dǎo)圖引入到中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的時(shí)候，還需要樹(shù)立反思意識(shí)，堅(jiān)持以學(xué)生為主導(dǎo)，做到授人以漁，也就是說(shuō)學(xué)生要掌握思維導(dǎo)圖的原理，要清楚思維導(dǎo)圖的繪制技巧，要懂得巧妙使用思維導(dǎo)圖來(lái)制定問(wèn)題解決方案，這樣才能夠進(jìn)入到理想的思維導(dǎo)圖使用格局，才能夠使得數(shù)學(xué)的教育教學(xué)質(zhì)量得以不斷提升。

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