基于Matlab的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)參數(shù)化設(shè)計(jì)

李世文 王力強(qiáng) 潘鑫 譚積明 翰林 李國和

摘要：本文通過一個(gè)設(shè)計(jì)案例，論述如何利用Matlab 進(jìn)行機(jī)構(gòu)的參數(shù)化設(shè)計(jì)，并應(yīng)用于實(shí)際作品中。理論聯(lián)系實(shí)踐，首先進(jìn)行機(jī)構(gòu)整體設(shè)計(jì)，用數(shù)學(xué)公式推理出各參數(shù)的關(guān)系，再進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，綜合考慮各參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響，進(jìn)行合理優(yōu)化，完成參數(shù)化設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：曲柄搖桿;參數(shù)化設(shè)計(jì);數(shù)學(xué)建模;實(shí)踐

中圖分類號(hào)：U463? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-957X（2021）05-0204-03

0? 引言

Matlab是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于數(shù)據(jù)分析、無線通信、深度學(xué)習(xí)、圖像處理與計(jì)算機(jī)視覺、信號(hào)處理、量化金融與風(fēng)險(xiǎn)管理、機(jī)器人、控制系統(tǒng)等領(lǐng)域，應(yīng)用十分廣泛。對(duì)于產(chǎn)品設(shè)計(jì)，通常需要結(jié)合實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總體設(shè)計(jì)，選擇合理的機(jī)構(gòu)、傳動(dòng)形式、運(yùn)動(dòng)部件等，對(duì)于零部件具體尺寸、傳動(dòng)比等則需要經(jīng)過準(zhǔn)確的計(jì)算。對(duì)于同系列同類型的設(shè)計(jì)通常采用一個(gè)方案，對(duì)其中部分零件做優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而滿足不同場(chǎng)合，不同條件下的應(yīng)用。比如大家熟悉的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，通過改變其中一個(gè)桿長或幾個(gè)桿長同時(shí)改變，其輸出軌跡會(huì)有很大差異。而這些桿長微小的變化不能全靠經(jīng)驗(yàn)，需要進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，并進(jìn)行軌跡驗(yàn)證，這就需要利用一款分析計(jì)算軟件結(jié)合設(shè)計(jì)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行合理的優(yōu)化設(shè)計(jì)。本文以一個(gè)實(shí)際案例介紹其具體應(yīng)用。

1? 總體設(shè)計(jì)

總體設(shè)計(jì)就是結(jié)合實(shí)際需要實(shí)現(xiàn)相應(yīng)功能，設(shè)計(jì)及選擇合理的機(jī)械結(jié)構(gòu)，組合成一個(gè)完整的運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)。本案例中需要設(shè)計(jì)一款純機(jī)械的三輪可越障的小車，要求小車有轉(zhuǎn)向功能，對(duì)比幾種常用機(jī)構(gòu)，選擇曲柄搖桿機(jī)構(gòu)作為轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，如圖1所示。

小車前輪為轉(zhuǎn)向輪，后輪為驅(qū)動(dòng)輪，假設(shè)小車為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其在固定驅(qū)動(dòng)力作用下做周期運(yùn)動(dòng)，如圖2所示。

從圖2可以發(fā)現(xiàn)，其軌跡近似為正弦曲線，小車能夠通過方向控制機(jī)構(gòu)-曲柄搖桿機(jī)構(gòu)控制前輪周期性轉(zhuǎn)向，從而繞過圖中方格交點(diǎn)位置的障礙物。障礙物之間的間距是變化的，從700-1300mm。根據(jù)小車整體結(jié)構(gòu)的需要，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)總體設(shè)計(jì)一部三輪小車，其簡(jiǎn)圖如圖3所示。

圖3中各零件尺寸需根據(jù)小車運(yùn)動(dòng)情況及繞過障礙物的間距的變化而變化，需要進(jìn)行優(yōu)化。首先明確可調(diào)整部件及其運(yùn)動(dòng)關(guān)系，再用公式表達(dá)，用數(shù)據(jù)表達(dá)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件之間的關(guān)系，就可以進(jìn)行優(yōu)化了。從小車簡(jiǎn)圖中可以發(fā)現(xiàn)，核心的機(jī)構(gòu)就是一個(gè)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，小車底盤與立柱組成支架，為固定件，曲柄長度與連桿長度可以調(diào)節(jié)，它們決定了搖桿也就是前輪的擺角。前輪為轉(zhuǎn)向輪，控制整個(gè)小車的運(yùn)動(dòng)軌跡，所以需要對(duì)這個(gè)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行建模，通過計(jì)算進(jìn)行優(yōu)化。

2? 軌跡分析及數(shù)學(xué)建模

根據(jù)設(shè)計(jì)方案，假設(shè)小車為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則根據(jù)平面內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。假設(shè)xOy平面內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)P在t=0時(shí)刻的位置為;在任意時(shí)刻t速度矢量已知，為。如何確定質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡呢？小車近似看作自行車，若自行車前進(jìn)方向不變，則前后輪都沿直線運(yùn)動(dòng)，二者軌跡（即車輪與地面接觸點(diǎn)的軌跡）在同一直線上;若自行車前進(jìn)時(shí)前輪左右擺動(dòng)，則前后輪軌跡不同。自行車前輪與后輪大小若相同，兩輪子軸的距離為定值L，即前后輪與地面接觸點(diǎn)之間的距離大小相同。后輪為主動(dòng)輪，前輪可左右擺動(dòng)，t時(shí)刻與后輪的夾角為？茲（t），左轉(zhuǎn)角度為正，右轉(zhuǎn)角度為負(fù)。在xOy平面內(nèi)，后輪在t時(shí)刻的位置用X（t）表示，前輪在t時(shí)刻的位置表示。自行車后輪旋轉(zhuǎn)線速度為定值，設(shè)為1，這里需要考慮幾種情況：

①在t時(shí)刻，前后輪的位置有何關(guān)系？寫出方程。

②在t時(shí)刻，用？琢（t）表示后輪運(yùn)動(dòng)方向與X軸正向的夾角，前輪運(yùn)動(dòng)方向與X軸的夾角如何表示？前后輪的速度矢量的關(guān)系是什么？前輪旋轉(zhuǎn)線速度多大？

③將前后輪的位置函數(shù)X（t），Y（t），與方向角？琢（t），？茲（t）等建立微分關(guān)系。

④假設(shè)t=0時(shí)，后輪的位置為X（0）=[0，0]T，后輪方向角？琢（0）=0;前輪方向角與時(shí)間的函數(shù)已知為？茲（t）=sint，t？叟0，L=1，研究前后車輪與平地接觸點(diǎn)的軌跡，給定初始位置和每一時(shí)刻車頭（前輪）相對(duì)車身的角度。

這里需要注意，車輪方向與軌跡切線方向相同，設(shè)后輪軌跡曲線X（s），參數(shù)為該曲線的弧長參數(shù)，故切線方向?yàn)閄（s），已單位化，也是后輪的方向;按理說對(duì)時(shí)間求導(dǎo)才能用點(diǎn)，我這里為圖個(gè)方便前輪軌跡Y（s），它的切線方向，這里要單位化，因?yàn)閰?shù)只是與后輪軌跡弧長有關(guān)。這樣得到一個(gè)幾何位置關(guān)系：

其中L表示前后輪之間的距離，這是由自行車決定的，

令表示后輪與前輪的方向，則有姿勢(shì)關(guān)系：（1）

其中，？茲（s）表示后輪在s 時(shí)，前輪的偏轉(zhuǎn)角，左轉(zhuǎn)為正，右轉(zhuǎn)為負(fù)。

根據(jù)式（1）、式（2）兩方程就能決定車輪的運(yùn)動(dòng)軌跡。用角度表示方向，？茁（s）表示后輪的角度，？茲（s）表示前輪相對(duì)偏轉(zhuǎn)角，則前輪角度？茁+？茲，

基本微分方程：

（2）

后輪速度（3）

前輪速度，為單位向量（4）

其中，對(duì)（2）再求導(dǎo)，得即

求得此可得解幾個(gè)微分方程組成的方程組得到如下關(guān)系式：R：控制輪半徑，l：連桿長，r：曲柄長，R1：后輪半徑，W1=S/R1后輪轉(zhuǎn)角，W=W1 /（2.52·R1），控制輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度

3? 參數(shù)化設(shè)計(jì)

根據(jù)求得的參數(shù)表達(dá)式，編寫程序，用Matlab進(jìn)行仿真優(yōu)化，程序如下。

function f=fun（s，X） % X=[x1，x2，y1，y2 beta]

global L? %L;%車前后輪距離

beta=X（5）;

V1=[cos（beta）;sin（beta）];%后輪方向

V2=[cos（beta+theta（s））;sin（beta+theta（s））];%前輪方向

T1=V2/cos（theta（s））;? ?%推導(dǎo)出來的

if abs（beta）<1e-1

T2=1/（L*cos（beta））*（T1（2）-V1（2））;

else

T2=1/（-L*sin（beta））*（T1（1）-V1（1））;

end

f=[V1; T1;T2];

function [Z，X]=funrtoz（RR）

global R L

zhuangju=900;%需要的樁距，調(diào)整

R=RR;

L=162;%前后輪中心線切點(diǎn)距離

X=[0;0];% X=[x1，x2，y1，y2 beta]

beta=0;

V1=[cos（beta）;sin（beta）];%后輪方向

Y=X+L*V1;

chuzhi=[X;Y;beta];

sspan=0：0.2：3000;

[s，X]=ode45（@fun，sspan，chuzhi）;

[Mp，t]=max（X（：，2））;

Z=X（t，1）-zhuangju;

function y=theta（s）? %車頭拐角

global R? % R 控制輪半徑

R1=139.69/2;%后輪半徑

r=64.76;%搖桿

%R=24;%控制輪半徑，待定

alpha=s/6/R1;

y=asin（R/r*cos（alpha））;%正號(hào)向左拐

global L

%L=162;%前后輪中心線切點(diǎn)距離

X=[0;0];% X=[x1，x2，y1，y2 beta]

beta=0;

V1=[cos（beta）;sin（beta）];%后輪方向

Y=X+L*V1;

chuzhi=[X;Y;beta];

sspan=0：0.2：3000;

[s，X]=ode45（@fun，sspan，chuzhi）;

plot（X（：，1），X（：，2），'b'，X（：，3），X（：，4），'r'）;

%z 控制輪半徑

global R L

L=162;%前后輪中心線切點(diǎn)距離

[RR，fz]=fzero（@funrtoz，30）;

[fz，X]=funrtoz（RR）;

[Mp，t]=max（X（：，2））;

DS=t*0.2'振幅：'

Mp/2'控制輪半徑：'

R=RR

將程序?qū)胲浖校\(yùn)行并仿真，如圖4所示。

通過運(yùn)行程序，可以繪制出小車運(yùn)動(dòng)軌跡圖形，結(jié)合實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況，綜合考慮振幅的大小選擇300-400mm，振幅過大，可以有效躲避中間的障礙物，但能量相同的情況下，繞過的障礙物就會(huì)減少。同理，振幅減小，繞過障礙物會(huì)增加，但會(huì)更容易撞到障礙物，所以也要結(jié)合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)合理優(yōu)化。仿真運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5所示。

障礙物間距范圍從700-1300mm，范圍很廣，如果全部按照一個(gè)參數(shù)選擇，個(gè)別部件尺寸會(huì)很極端，調(diào)整困難，參考普通車床變數(shù)箱工作原理，把一段范圍的樁距劃分為一組，使用相同的傳動(dòng)比，曲柄變?yōu)榭烧{(diào)節(jié)的幾檔，這樣就可以解決這個(gè)問題了。因機(jī)構(gòu)中有齒輪傳動(dòng)，所以傳動(dòng)比為兩個(gè)整數(shù)的比，振幅在一定范圍內(nèi)，這樣就得到了這組數(shù)據(jù)。如表1所示小車參數(shù)表。

根據(jù)數(shù)據(jù)表中參數(shù)進(jìn)行加工制作，裝配調(diào)試，完成小車的設(shè)計(jì)制作，如圖6所示。小車中三檔對(duì)應(yīng)的三組傳動(dòng)比，可以繞過不同間距的障礙樁，這個(gè)小車經(jīng)過不斷優(yōu)化，參見了3屆全國大學(xué)生工程訓(xùn)練比賽，獲得三個(gè)全一等獎(jiǎng)，2019年經(jīng)過優(yōu)化已經(jīng)可以繞過60余個(gè)障礙樁，獲得國賽特等獎(jiǎng)第一名，可見優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要性。

4? 總結(jié)

本文通過一個(gè)設(shè)計(jì)案例，論述如何利用Matlab進(jìn)行機(jī)構(gòu)的參數(shù)化設(shè)計(jì)，并應(yīng)用于實(shí)際設(shè)計(jì)中。首先通過前期設(shè)計(jì)，明確基本設(shè)計(jì)方案，根據(jù)方案中各運(yùn)動(dòng)部件之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，編寫程序。Matlab編寫的程序可以方便的對(duì)機(jī)構(gòu)中變量進(jìn)行修改，通過仿真繪圖直觀地觀察運(yùn)動(dòng)情況。再結(jié)合機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)情況，確定各結(jié)構(gòu)部件實(shí)際尺寸對(duì)整體結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的影響，最優(yōu)化選擇。理論設(shè)計(jì)結(jié)合實(shí)際應(yīng)用，即不會(huì)讓設(shè)計(jì)停留在電腦上的設(shè)計(jì)圖，也不會(huì)花很多時(shí)間與經(jīng)費(fèi)反復(fù)的去試做實(shí)物驗(yàn)證。靈活合理的使用一個(gè)軟件工具，可以讓設(shè)計(jì)變得事半功倍，這種方法在參數(shù)化設(shè)計(jì)中有非常高的應(yīng)用和推廣價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]李京虎，付國強(qiáng)，武斌.兩段式仿生撲翼機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)及仿真分析[J].機(jī)床與液壓，2020，02（05）：144-148.

[2]馮立艷，耿浩，王文華，梁會(huì)碩，蔡敬宇.再現(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)與傳力性能優(yōu)化[J].機(jī)械設(shè)計(jì)，2020，3：63-67.

[3]姜森，郝永平，李倫，郭夢(mèng)輝.基于空間連桿機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)“8”字形運(yùn)動(dòng)的撲翼機(jī)的設(shè)計(jì)[J].機(jī)床與液壓，2019，47（13）：76-80.

[4]高蕾娜，張鈺糧，喻洪平，劉銀.平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化問題的建模與求解[J].裝備制造與教育，2019，33（03）：24-27.

[5]孫付春，李玉龍.基于MATLAB/GUI的GUSA無級(jí)變速器的運(yùn)動(dòng)研究[J].機(jī)床與液壓，2013，41（05）：164-166.

[6]馮慧娟，苗青，樊勝秋，王海龍，王偉.工業(yè)機(jī)器人機(jī)械結(jié)構(gòu)模塊化參數(shù)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)床與液壓，2019，47（21）：60-63.