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    數(shù)學(xué)中分類討論思想的滲透

    2021-09-10 07:22:44高艷
    家庭教育報(bào)·教師論壇 2021年7期
    關(guān)鍵詞:單調(diào)性分類討論

    高艷

    【摘要】含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是高考的高頻考點(diǎn),而分類討論多貫穿在研究函數(shù)的單調(diào)性的解答題中。如2019年全國Ⅲ卷第20題,2017年全國Ⅰ卷第21題都考查了利用分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性。確定參數(shù)的分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是解決問題的關(guān)鍵。本文主要從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為一次型函數(shù)或二次型函數(shù)的系數(shù)為參數(shù)或者導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)是否在定義域或給定區(qū)間進(jìn)行分類討論。

    【關(guān)鍵詞 】 分類討論 ?參數(shù) ?單調(diào)性

    一、基礎(chǔ)知識(shí)

    1.利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟。利用導(dǎo)數(shù)已知函數(shù)單調(diào)區(qū)間的

    大致步驟可應(yīng)用到求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。即(1)確定定義域,(2)求出導(dǎo)數(shù),(3)令(或),解出相應(yīng)的的范圍,(4)當(dāng)時(shí),在相應(yīng)區(qū)間上是增加的,當(dāng)時(shí),在相應(yīng)區(qū)間上是減少的。

    2.求含參數(shù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解含參不等式,而定義域有限制時(shí)有時(shí)會(huì)化簡含參不等式的求解。

    3.求單調(diào)區(qū)間首先確定定義域,并根據(jù)定義域?qū)?dǎo)數(shù)不等式中恒正恒負(fù)的項(xiàng)處理掉,從而簡化討論的不等式。

    (1)分類時(shí)機(jī):并不是所有含參問題均需要分類討論,例如解不等式,其解集為,中間并沒有進(jìn)行分類討論。思考:為什么?因?yàn)闊o論參數(shù)為何值,均是將移到不等號(hào)右側(cè)出結(jié)果,所以不需要分類討論,再例如解不等式,第一步移項(xiàng)得,但第二步不等式兩邊開方時(shí)發(fā)現(xiàn)的不同取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果。顯然是負(fù)數(shù)時(shí),不等式恒成立。而是正數(shù)時(shí),需要求對(duì)應(yīng)方程的根,進(jìn)而寫出解集,分類討論由此開始。簡而言之,當(dāng)參數(shù)的不同取值對(duì)下一步的影響不相同時(shí),就是分類討論開始的時(shí)機(jī)。

    (2)分界點(diǎn)的確定:要想找好分界點(diǎn),首先要明確參數(shù)在問題中所扮演的角色是被開方數(shù),故能否開方是進(jìn)行下一步的關(guān)鍵,那自然想到按的符號(hào)進(jìn)行分類。

    (3)當(dāng)參數(shù)扮演多個(gè)角色時(shí),則其中一個(gè)為目標(biāo)進(jìn)行分類,在每一大類下再考慮其他角色的情況以及是否要進(jìn)一步的分類。

    二、分類討論研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的歸類

    (一)依據(jù)一次型函數(shù)的系數(shù)分類討論

    方法點(diǎn)津 如果導(dǎo)函數(shù)解析式中的二次三項(xiàng)式中一次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù),則需要討論圖像的對(duì)稱軸的位置和方程的根是否在定義域內(nèi)。

    三、總結(jié)

    通過前面的研究,可以歸納出求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的基本步驟如下

    1.先求函數(shù)的定義域;

    2.求導(dǎo)函數(shù)(化為乘除分解式,便于討論正負(fù));

    3.確定分類標(biāo)準(zhǔn),正確進(jìn)行合理分類;

    4.對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論,分級(jí)進(jìn)行,獲取階段性結(jié)果。先討論只有一種單調(diào)區(qū)間的情況(導(dǎo)數(shù)同號(hào)的),再討論有增有減的情況(導(dǎo)數(shù)有正有負(fù),以其零點(diǎn)分界),注意函數(shù)的斷點(diǎn);

    5.進(jìn)行歸納總結(jié),綜合得出結(jié)論。

    參考文獻(xiàn)

    [1].關(guān)于含參數(shù)單調(diào)性問題導(dǎo)數(shù)解法的研究[J].陳小祥.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊2014(04)

    [2].利用導(dǎo)數(shù)求解含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性問題的策略[J].嚴(yán)厚飛.高考2018(35)

    [3]. 分類討論“界點(diǎn)”的確定[J].杜志建. 試題調(diào)研2019(08)

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