層狀地基中考慮樁端應(yīng)力泡形擴(kuò)散的單樁沉降計(jì)算方法

王立興，吳文兵,，楊曉燕，張?jiān)迄i，王奎華

(1.中國地質(zhì)大學(xué) 工程學(xué)院，武漢 430074；2.浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，杭州 310058)

樁基沉降計(jì)算是樁基工程設(shè)計(jì)中非常重要的部分。學(xué)者們對(duì)樁基沉降進(jìn)行了廣泛而深入的研究，得到了很多有價(jià)值的單樁沉降計(jì)算方法，如荷載傳遞法[1-7]、剪切位移法[8-10]、彈性理論法[11-13]、規(guī)范法[14]和數(shù)值計(jì)算法[15-17]等，其中，荷載傳遞法因可通過不同的樁土相互作用模型來反映樁土共同作用、地基層狀特性而被學(xué)者廣泛運(yùn)用?？偟膩碚f，基于荷載傳遞法的樁-土相互作用模型主要有理想彈塑性模型[1,4-6]、雙折線硬化模型[3,18]、三折線模型[19]及雙曲線模型[7]，通過選取不同的樁-土相互作用模型，可以較準(zhǔn)確地得到不同土性中單樁的沉降，具有較好的工程適用性。

上述研究采用荷載傳遞法計(jì)算樁基沉降時(shí)，均將樁端土對(duì)樁的支撐作用簡化為彈簧模型，彈簧參數(shù)可結(jié)合樁端土硬化特性、非線性特性等根據(jù)實(shí)測(cè)的樁端反力-位移曲線反演確定。然而，這種彈簧支撐模型存在一些不足：無法考慮樁端土體的層狀特性；無法建立樁端土層物理力學(xué)性質(zhì)與彈簧參數(shù)之間的相互關(guān)系；且無法反映持力層內(nèi)及以下土體性質(zhì)的變化對(duì)單樁沉降的影響[20]。為此，Wu等[20-21]提出了虛土樁模型，并用于樁基縱向和扭轉(zhuǎn)動(dòng)力特性分析。隨后，王奎華等[22]率先將虛土樁模型應(yīng)用于層狀地基中的單樁沉降計(jì)算分析，并提出采用錐型虛土樁模型來考慮樁端應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng)對(duì)單樁沉降的影響[23]，辛冬冬等[24]將虛土樁模型推廣到層狀地基中的群樁沉降分析。盡管虛土樁模型能很好地考慮樁端層狀特性對(duì)基樁靜動(dòng)力學(xué)特性的影響，且能在一定程度上考慮樁端應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng)，但虛土樁的合理長度及應(yīng)力擴(kuò)散影響范圍到底多大仍不得而知。

為了更好地分析樁端土性質(zhì)對(duì)單樁沉降的影響，筆者基于Boussinesq解提出了一種應(yīng)力泡形虛土樁模型來考慮樁端應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng)，并基于荷載傳遞法對(duì)樁側(cè)土采用雙折線模型、對(duì)樁端土采用應(yīng)力泡形虛土樁模型，考慮樁端土中實(shí)際附加應(yīng)力的分布情況，推導(dǎo)得到了成層地基中的單樁樁頂沉降計(jì)算公式。

1 數(shù)學(xué)模型及假設(shè)條件

1.1 應(yīng)力泡形虛土樁模型的建立

根據(jù)Boussinesq解可知，樁端土體中附加應(yīng)力大致的分布規(guī)律為：在徑向上隨著徑向半徑的增加逐漸減小，在豎向上隨著深度的增加也逐漸減小，在整體空間中呈橢球型泡狀分布，即應(yīng)力泡。假設(shè)樁端對(duì)土體的作用力為均布荷載形式，根據(jù)Boussinesq解可以求出樁端土中應(yīng)力分布形式的解析式，然后建立應(yīng)力泡形虛土樁模型。建立如圖1所示的軸對(duì)稱坐標(biāo)系，基于Boussinesq解，通過積分可以求得圓形均布荷載作用下地基土體中任意一點(diǎn)的豎向應(yīng)力分布[25]。

圖1 樁端附加應(yīng)力計(jì)算模型Fig.1 Calculation model of additional stress at pile

(1)

將式(1)求解得到的相同數(shù)值的豎向應(yīng)力等值線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周就形成一系列以z軸為中心的三維應(yīng)力等值面，將等值面以內(nèi)的土體看作是受荷主體，即為應(yīng)力泡形虛土樁的主體部分，如圖2所示。

圖2 應(yīng)力泡形虛土樁模型Fig.2 Stress-bubble fictitious soil pile

1.2 樁土相互作用模型的建立

樁周土采用雙折線模型，如圖3所示，荷載傳遞函數(shù)為

圖3 樁周土本構(gòu)模型Fig.3 Constitutive model of soil around

(2)

式中：u為樁周土的位移；ub為樁周土的彈性極限位移；fs為單位長度樁周側(cè)摩阻力；λ為理想彈塑性模型的彈性抗剪切剛度系數(shù)，kN/m2。

樁端土采用應(yīng)力泡形虛土樁模型，把樁端至基巖之間的應(yīng)力泡形土體看成“土樁”，即所謂虛土樁，其參數(shù)分別取各實(shí)際土層參數(shù)，而變形按類似于樁的平面假定。根據(jù)樁端土層成層性情況及樁端土體性質(zhì)和受力環(huán)境是否變化而把實(shí)體樁和虛土樁一共分為n(n>m)段，其中實(shí)體樁分成m段，虛土樁分成N(即N=n-m)段，從實(shí)體樁頂部向下依次編號(hào)為1、2、…、i、…、m、m+1、…、n，各樁段厚度分別為l1、l2、…、li、…、ln，實(shí)體樁總長為L1，虛土樁總長為L2，各段樁的埋深分別為z1、z2、…、zi、…、zn。計(jì)算時(shí)，可以將虛土樁各樁段再細(xì)分為很薄的圓柱體進(jìn)行近似計(jì)算，計(jì)算精度由單元數(shù)N控制，計(jì)算中可以直接將樁土體系按照m+N段進(jìn)行計(jì)算。具體的樁體分段與樁土相互作用體系簡圖如圖2所示。由式(1)可求得虛土樁各深度樁段對(duì)應(yīng)的半徑Ri，即各段實(shí)體樁和虛土樁的半徑分別為

(3)

1.3 樁土體系相關(guān)假設(shè)

1)樁土體系呈線彈性狀態(tài)，實(shí)體樁樁身截面均勻，虛土樁以應(yīng)力泡的形式存在。

2)樁體與土體之間沒有相對(duì)滑移，實(shí)體樁與虛土樁的各樁段交界面之間為完全連續(xù)接觸，滿足連續(xù)性條件。

3)樁單元中任意點(diǎn)的位移只與該點(diǎn)的樁周側(cè)摩阻力有關(guān)，虛土樁端部為剛性支撐。

4)地基中同一土層的物理力學(xué)性質(zhì)沿深度方向不變。

5)虛土樁的力學(xué)行為與樁體相符合，參數(shù)為土體參數(shù)。

2 樁頂沉降計(jì)算方程建立及求解

根據(jù)荷載在樁身的傳遞機(jī)理，樁體的截面軸力及位移隨深度的增加，逐漸減小，且隨著樁頂荷載的增加，截面軸力及位移逐漸向樁底發(fā)展。因此，隨著荷載的增加，樁周土由淺入深逐漸進(jìn)入塑性階段。根據(jù)樁土體系所處狀態(tài)的不同，分3個(gè)階段分別給出樁頂荷載和沉降的計(jì)算公式。需要說明的是，由于樁基受力后通常僅對(duì)樁周徑向一定范圍內(nèi)的土體產(chǎn)生影響，這里所指的樁周土體即樁基應(yīng)力影響范圍內(nèi)的土體。

首先推導(dǎo)荷載傳遞函數(shù)基本微分方程，根據(jù)樁上任意一個(gè)單元體的靜力平衡條件，可以得到

(4)

(5)

式中：E為該樁段彈性模量；A為該樁段截面面積；P為該樁段頂部荷載。

對(duì)式(5)兩端求導(dǎo)，并將式(4)代入，可得荷載傳遞法的基本微分方程

(6)

2.1 樁周土全部處于彈性階段

當(dāng)樁頂荷載較小時(shí)，樁周土全部處于彈性階段，根據(jù)式(4)～式(6)，此時(shí)第i個(gè)樁段截面位移u(x)應(yīng)滿足方程

(7)

式中：Pi為第i段樁體頂部荷載；Si為第i段樁體頂部位移；zi為第i段樁體截面到樁頂?shù)木嚯x；Ei為第i段樁體彈性模量；Ai為第i段樁體橫截面積；λi為第i段樁體彈性抗剪切剛度系數(shù)。

各虛土樁段面積Ai值計(jì)算采用式(8)。

(8)

為使解析表達(dá)式簡潔，定義式(9)。

(9)

求解式(7)可得第i樁段截面位移為

(10)

聯(lián)立式(7)與式(10)可求得第i段樁的樁頂荷載及位移為

(11)

由式(11)可得第i段樁的樁頂剛度Ki(剛度是指材料或結(jié)構(gòu)在受力時(shí)抵抗彈性變形的能力)。

(12)

由假設(shè)條件(3)可以得知，虛土樁樁端位移為0，即

u|x=L1+L2=Sn+1=0

(13)

由式(10)和式(11)給出的第i段樁的樁頂荷載及位移并結(jié)合邊界條件式(13)就可以求得第n段樁的樁頂剛度為

(14)

根據(jù)式(12)和式(14)可以遞推得到樁體頂部剛度K1，進(jìn)而根據(jù)樁頂荷載P1，就可以求得樁頂沉降值S1。

(15)

式(12)和(14)中所需要的計(jì)算參數(shù)均可以由實(shí)測(cè)的土層參數(shù)直接或間接計(jì)算得到。因此，根據(jù)式(11)～式(15)就可以求得樁頂沉降值。

2.2 樁周土部分處于塑性階段

樁周土部分處于塑性階段時(shí)，樁土的相互作用體系簡圖如圖4所示，塑性樁段的長度為La，由于塑性樁段的長度La與樁頂荷載和樁周土的性質(zhì)有關(guān)，在實(shí)際工程應(yīng)用中應(yīng)當(dāng)根據(jù)現(xiàn)場試驗(yàn)確定樁周土處于塑性階段的深度La。

圖4 樁周土部分進(jìn)入塑性階段模型Fig.4 Model of part of the soil around the pile

對(duì)于樁側(cè)土體處于塑性階段的連續(xù)樁段，第i個(gè)樁段截面位移u(x)應(yīng)該滿足方程

(16)

式中：ubi表示第i樁段樁周土的極限位移。

求解式(16)可得第i段樁的截面位移方程為

(17)

求得第i段塑性樁的樁頂荷載及位移為

(18)

根據(jù)假設(shè)，當(dāng)樁周土部分處于塑性階段時(shí)，可以依據(jù)樁周土所處的狀態(tài)把樁分為兩個(gè)部分，即塑性段和彈性段，先按照式(11)～式(15)計(jì)算彈性樁段的剛度，再按照式(18)計(jì)算塑性樁段的剛度，就可以得到單樁樁頂沉降值。

2.3 樁周土全部處于塑性階段

樁周土全部處于塑性階段時(shí)，如圖4所示，即La=L1+L2?？汕蟮玫趎段樁的樁頂荷載及位移為

(19)

當(dāng)樁周土全部處于塑性階段時(shí)，結(jié)合式(18)和式(19)遞推就可以得到單樁樁頂沉降值。

3 計(jì)算參數(shù)的選取及影響

3.1 彈性極限位移ub

對(duì)于彈性極限位移，很多學(xué)者都有研究，目前有經(jīng)驗(yàn)法[26-27]、經(jīng)驗(yàn)公式法[28]及應(yīng)變計(jì)測(cè)試方法[29]。為了在實(shí)際工程應(yīng)用中方便取值，建議采用應(yīng)變計(jì)測(cè)試方法進(jìn)行計(jì)算。

(20)

式中：s0為樁頂沉降量；ubi為第i段樁土體系的極限位移；li為第i段樁的長度；εi為靜載試驗(yàn)中在樁頂作用承載力設(shè)計(jì)值時(shí)第i個(gè)測(cè)試面的應(yīng)變。

通過靜載試驗(yàn)，將加載到極限承載力時(shí)測(cè)試得到的樁頂沉降量和應(yīng)變值代入式(20)，就可以求得樁土彈性極限位移。

3.2 彈性抗剪切剛度系數(shù)λ

與彈性極限位移類似，為了在實(shí)際工程應(yīng)用中方便取值，建議彈性抗剪切剛度系數(shù)采用應(yīng)變計(jì)測(cè)試方法進(jìn)行計(jì)算。

(21)

式中：τui為第i段樁的極限側(cè)摩阻力；τi與ui為靜載試驗(yàn)?zāi)骋患?jí)荷載作用下計(jì)算得到的第i段樁的側(cè)摩阻力與相對(duì)位移。

在雙折線模型中，λ為斜線段斜率，知道任一點(diǎn)的側(cè)摩阻力和相對(duì)位移就可以計(jì)算得到抗剪切剛度系數(shù)。

3.3 附加應(yīng)力值σz

由式(1)可以看出，附加應(yīng)力值σz是利用應(yīng)力泡形虛土樁模型分析單樁沉降的一個(gè)重要參數(shù)，選取不同的附加應(yīng)力值σz意味著選用了范圍大小不同的應(yīng)力泡形虛土樁模型，如圖5所示。樁端土體的沉降對(duì)樁頂沉降有較大的貢獻(xiàn)，因此，選取范圍不同的應(yīng)力泡形虛土樁模型對(duì)樁頂沉降影響很大。

圖5 泡形不同的虛土樁模型Fig.5 Virtual soil pile models with different bubble

3.3.1 算例1：樁端土為軟弱土 為了考慮樁端應(yīng)力泡范圍不同的影響，取上硬下軟雙層土作為算例1，實(shí)體樁深度范圍內(nèi)為硬黏土，虛土樁范圍內(nèi)為軟弱土，土層參數(shù)來源于文獻(xiàn)[30]，如表1所示。

表1 算例1各參數(shù)取值[30]Table 1 Values of parameters in study 1

樁身彈性模量Ep=3×104MPa，樁身半徑r0=0.5 m，樁頂荷載P取2 000、3 000、4 000 kN，附加應(yīng)力值σz取0.1P～0.000 01P，虛土樁部分按照0.5 m分層計(jì)算，得到樁頂?shù)某两抵等鐖D6所示。

圖6 上硬下軟土層中應(yīng)力泡范圍對(duì)樁頂沉降的影響Fig.6 Influence of stress bubble range on pile top settlement in upper and lower soft soil

如圖6所示，在樁側(cè)土為硬土，樁端土為軟土的雙層地基中，附加應(yīng)力范圍對(duì)樁頂沉降的影響不明顯，沉降變化不大。整體上，隨著附加應(yīng)力范圍的增大(即應(yīng)力泡形虛土樁范圍增大)，樁頂沉降隨之減小，但減小幅度不大。

3.3.2 算例2：樁端土為硬黏土或砂性土 取上軟下硬雙層土作為算例2，實(shí)體樁深度范圍內(nèi)為軟弱土，虛土樁范圍內(nèi)為硬黏土或砂性土，各參數(shù)取值如表2所示。

表2 算例2各參數(shù)取值[30]Table 2 Values of parameters in study 2

樁身彈性模量Ep=3×104MPa，樁身半徑r0=0.5 m，樁頂荷載P取2 000、3 000、4 000 kN，附加應(yīng)力值σz取0.1P～0.000 01P時(shí)，虛土樁部分按照0.5 m分層計(jì)算，得到樁頂?shù)某两抵等鐖D7所示。

圖7 上軟下硬土層中應(yīng)力泡范圍對(duì)樁頂沉降的影響Fig.7 Influence of stress bubble range on pile top settlement in upper and lower hard soil

綜合上述分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)樁周土性好時(shí)，樁以側(cè)阻為主，應(yīng)力泡形虛土樁范圍的大小對(duì)樁頂沉降量影響不大；而當(dāng)樁周土性差時(shí)，樁以端承為主，應(yīng)力泡形虛土樁范圍的大小對(duì)樁頂沉降量影響明顯；且當(dāng)應(yīng)力泡的影響深度大于樁端土層厚度時(shí)，會(huì)有沉降值的突變。實(shí)際工程中，應(yīng)針對(duì)不同類型的樁周土及樁端土的性質(zhì)與樁端土的厚度，選擇合適的應(yīng)力泡范圍，當(dāng)樁端土厚度并非過大時(shí)，可以選擇應(yīng)力泡的影響深度等于樁端土厚度時(shí)的應(yīng)力泡作為虛土樁模型的邊界進(jìn)行計(jì)算。

4 工程實(shí)例分析

王奎華等[23]提出了考慮應(yīng)力擴(kuò)散角的樁頂沉降計(jì)算模型，并通過計(jì)算兩根試樁的沉降與實(shí)測(cè)值對(duì)比驗(yàn)證了其實(shí)用性。為驗(yàn)證該方法的合理性及實(shí)用性，對(duì)文獻(xiàn)[23]中的T3、T4樁進(jìn)行擬合，并將擬合結(jié)果與原文實(shí)測(cè)值及其計(jì)算值做對(duì)比分析，與文獻(xiàn)[23]保持一致，采用樁周土處于彈性階段公式計(jì)算。樁周土及樁端土的物理力學(xué)性質(zhì)參數(shù)來源于文獻(xiàn)[23]，如表3所示。

表3 實(shí)例地質(zhì)資料與模型參數(shù)[23]Table 3 Geological information of example and parameters of model[23]

T3試樁：樁直徑為800 mm，樁長61.8 m；T4試樁：樁直徑為1 000 mm，樁長73.8m，樁身彈性模量Ep=3.3×107kPa。采用本文解計(jì)算各樁頂沉降量并與文獻(xiàn)[23]計(jì)算結(jié)果及實(shí)測(cè)值對(duì)比，見圖8及圖9。利用該方法計(jì)算時(shí)，T3樁與T4樁的虛土樁部分取至第15層粉土底部，根據(jù)式(1)計(jì)算虛土樁影響深度剛好為第15層粉土底部時(shí)的T3試樁附加應(yīng)力值為0.000 36P，T4試樁附加應(yīng)力值為0.001 2P，并分別選取此時(shí)的應(yīng)力泡范圍作為虛土樁邊界進(jìn)行計(jì)算。

圖8 T3樁樁頂沉降計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of calculation results of pile top settlement of T3

圖9 T4樁樁頂沉降計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparison of calculation results of pile top settlement of T4

與兩根試樁的實(shí)測(cè)值與文獻(xiàn)[23]的擴(kuò)散角法計(jì)算值對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，該方法考慮應(yīng)力泡形擴(kuò)散的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[23]考慮應(yīng)力擴(kuò)散角的計(jì)算結(jié)果較為接近，與實(shí)測(cè)結(jié)果具有較好的一致性。與文獻(xiàn)[23]的錐形虛土樁模型相比，該模型的最大優(yōu)勢(shì)在于能夠較嚴(yán)格地給出樁端應(yīng)力擴(kuò)散邊界，因而具有更廣泛的工程應(yīng)用價(jià)值。

5 結(jié)論

1)基于虛土樁模型并結(jié)合Boussinesq解，提出了考慮樁端應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng)的應(yīng)力泡形虛土樁模型，并建立了基于該模型單樁沉降計(jì)算的解析解。該解能夠計(jì)算樁側(cè)土體處于彈性及塑性階段時(shí)的樁頂荷載-沉降曲線，參數(shù)明確，應(yīng)用簡便，可以用于工程現(xiàn)場單樁沉降量的計(jì)算分析，為樁基礎(chǔ)設(shè)計(jì)提供較為準(zhǔn)確的沉降值。

2)當(dāng)樁周土性較好時(shí)，樁側(cè)摩阻力發(fā)揮主要作用，樁周土承擔(dān)主要荷載，應(yīng)力泡范圍的大小對(duì)樁頂沉降量影響不明顯，可取較小范圍的應(yīng)力泡形虛土樁；當(dāng)樁周土性較差時(shí)，樁端阻力發(fā)揮主要作用，樁端土承擔(dān)主要荷載，應(yīng)力泡范圍的大小對(duì)樁頂沉降量影響明顯，應(yīng)針對(duì)不同類型的樁周土及樁端土的性質(zhì)與樁端土的厚度，選擇合適的應(yīng)力泡范圍。

3)通過分析不同附加應(yīng)力取值對(duì)單樁樁頂沉降量的影響發(fā)現(xiàn)，當(dāng)應(yīng)力泡的影響深度大于樁端土厚度時(shí)，會(huì)發(fā)生沉降量的突變。因此，在工程應(yīng)用中，可以選取應(yīng)力泡的影響深度恰好是樁端土厚度時(shí)的應(yīng)力泡形虛土樁模型進(jìn)行計(jì)算。

4)該方法與錐形虛土樁模型對(duì)兩根試樁的沉降計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比表明，該方法的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果有較好的一致性。同時(shí)，該模型的最大優(yōu)勢(shì)在于能夠較嚴(yán)格地給出樁端應(yīng)力擴(kuò)散邊界，因而具有更廣泛的工程應(yīng)用價(jià)值。