疫情之下遠(yuǎn)程教學(xué)與輔導(dǎo)的案例與反思
——以“獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想初步”教學(xué)為例

華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630)申西芬

在疫情期間，學(xué)校以奧維亞、青鹿和智學(xué)網(wǎng)為課堂直播或錄播播放平臺(tái)的授課方式,各科組備課組也都結(jié)合學(xué)科特點(diǎn),實(shí)際的教學(xué)進(jìn)度,學(xué)生的學(xué)情制定出相應(yīng)的教學(xué)計(jì)劃安排,包括授課安排,錄課方式選擇,對(duì)應(yīng)作業(yè)練習(xí),答疑平臺(tái)等等.本文就以選修2-3 第三章“3.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用”為例探究線上遠(yuǎn)程高中數(shù)學(xué)教學(xué).

1 教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析

近幾年的高考對(duì)選修2-3 第三章統(tǒng)計(jì)案例的要求不斷提高,不僅體現(xiàn)在對(duì)數(shù)據(jù)計(jì)算的高要求,更重要的體現(xiàn)在對(duì)閱讀材料中數(shù)據(jù)的提取和處理,以及真正理解題意、并能用所學(xué)工具處理實(shí)際問題的能力.在數(shù)學(xué)日常教學(xué)中,教學(xué)的重點(diǎn)之一就是培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力,所謂數(shù)學(xué)科實(shí)踐能力是指學(xué)生主動(dòng)參與和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生和發(fā)展過程,運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析研究,并解決問題的能力.獨(dú)立性檢驗(yàn)作為統(tǒng)計(jì)學(xué)中一類重要的假設(shè)檢驗(yàn),蘊(yùn)藏著豐富的統(tǒng)計(jì)思想,獨(dú)特的解決問題的思路,它是通過對(duì)分類變量的理解,比較兩項(xiàng)頻數(shù),利用近似服從卡方分布的隨機(jī)變量來檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)或獨(dú)立的一種常見的統(tǒng)計(jì)方法,具有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)背景和實(shí)踐意義.

2 教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)內(nèi)容主要讓學(xué)生理解什么是分類變量,什么是等高條形圖,理解2×2 列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義以及利用其進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn);會(huì)用χ2公式判斷兩個(gè)分類變量在某種可信程度上的相關(guān)性;前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了回歸分析,知道了對(duì)于兩個(gè)定量變量的相關(guān)性的判斷的方法,因此本節(jié)內(nèi)容也是要學(xué)生理解定量變量和分類變量的區(qū)別,即掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)和回歸分析所應(yīng)用的不同背景,掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般方法和步驟.

3 教學(xué)難點(diǎn)

χ2的計(jì)算公式在A 版教材上沒有給出推導(dǎo)過程,而是以構(gòu)造隨機(jī)變量的方式給出了計(jì)算公式.這對(duì)于有求真精神的同學(xué)來說不夠,缺少了知識(shí)邏輯上的來龍去脈,或者說這個(gè)構(gòu)造思想太難,無疑會(huì)挫敗學(xué)生的熱情.

本節(jié)有幾個(gè)概念以及對(duì)χ2公式的推導(dǎo)過程,需要教師循循善誘,逐步啟發(fā),共同探討,讓學(xué)生體會(huì)思考的過程以及推出結(jié)果后的喜悅.但是這一點(diǎn)在線上教學(xué)模式下無法很好的實(shí)現(xiàn).教師通常要自問自答,模擬出互動(dòng)的效果其實(shí)是為了給學(xué)生思考的間隔時(shí)間.同時(shí)需要制作大量的動(dòng)畫來體現(xiàn)思考的過程和其邏輯性.

4 教學(xué)支持條件分析

疫情下,學(xué)校為教師提供了錄課場所和錄課技術(shù)的支持,同時(shí)也為因家庭原因不能到校錄課的教師提供了錄課的軟件推薦,視頻制作推薦教程等.本節(jié)教學(xué)內(nèi)容主要采用PPT錄制,小熊錄屏軟件錄制,愛剪輯軟件剪輯.作業(yè)習(xí)題以PDF格式上傳至青鹿平臺(tái),作業(yè)解析通過微信發(fā)到各班級(jí)微信群,答疑輔導(dǎo)主要渠道是微信文字輸入,微信語音輸入,手寫拍照,手機(jī)錄制小視頻,視頻對(duì)話講解過程.基本流程和方式如圖-1.

圖-1

5 教學(xué)內(nèi)容與過程

引例為了研究物理成績好與數(shù)學(xué)成績好有無關(guān)系,某興趣小組抽樣調(diào)查了60 名高二學(xué)生,其中數(shù)學(xué)好的25 人,數(shù)學(xué)不好的有35 人.具體調(diào)查結(jié)果:數(shù)學(xué)好的人中有19 人物理好,6 人物理不好,數(shù)學(xué)不好的人中物理好的有17 人,物理不好的有18 人.試問:能否作出物理成績好與數(shù)學(xué)成績好有關(guān)的結(jié)論?

選擇此題作為引例的理由:來自身邊的問題,同學(xué)們有想知道結(jié)果的動(dòng)力,并且和前面所講回歸分析的方法做對(duì)比,從而引出分類變量的概念.

教師(錄音):有同學(xué)能給出判斷嗎?如果我給出這些被調(diào)查同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理的具體成績,你能判斷嗎?肯定可以的,因?yàn)槲覀儎倢W(xué)過.那大家還記得怎么做嗎?(停頓思考)

教師(錄音):我們可以把數(shù)學(xué)和物理的成績用散點(diǎn)圖表示出來,然后繼續(xù)處理,這個(gè)過程用的是回歸分析.那這道題我們沒有具體的分?jǐn)?shù),顯然不能用這個(gè)方法.因?yàn)檫@里的變量值也就是我們抽取的樣本中的一個(gè)學(xué)生,他就只有數(shù)學(xué)好,數(shù)學(xué)不好,物理好,物理不好這樣的類別屬性,并不是確定的值,所以我們把這樣的變量稱為分類變量.而回歸分析研究的則是兩個(gè)定量變量即用數(shù)字來衡量的變量之間的關(guān)系.

至此完成第一個(gè)教學(xué)概念:分類變量:變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別.并同回歸分析的適用條件做對(duì)比,加深學(xué)生記憶.

教師(錄音):那我們應(yīng)該怎么判斷這兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系呢?數(shù)據(jù)在一堆文字里面看著總覺得不夠清晰,怎么辦呢?我們知道在處理應(yīng)用題時(shí),遇到有大量的數(shù)據(jù),我們往往先把數(shù)據(jù)用表格表示出來.那這個(gè)表怎么列呢?我們剛才講了,抽取的任一“變量值”的屬性就是數(shù)學(xué)好,數(shù)學(xué)不好,物理好,物理不好,所以我們可以這樣做:(通過動(dòng)畫將類別填在表中),請(qǐng)同學(xué)把表格完成.像如圖表1 這樣的樣本頻數(shù)列聯(lián)表就成為2×2 列聯(lián)表.

表1

如果是在課室,我們可以請(qǐng)同學(xué)上來畫一下自己的設(shè)計(jì)表格.

在此完成第二個(gè)教學(xué)概念:2×2 列聯(lián)表,即假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y,它們的取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表即稱為2×2 列聯(lián)表.

教師(錄音):由表格能否作出物理成績好與數(shù)學(xué)成績好有關(guān)的結(jié)論嗎?不那么直觀,我們?cè)傧朕k法把表格中的數(shù)據(jù)用別的方式呈現(xiàn)一下:我們知道在集合里面研究包含關(guān)系,我們習(xí)慣借助文氏圖,這里我們也研究一下用圖形表達(dá).我們先做出兩個(gè)矩形,分別代表數(shù)學(xué)好和數(shù)學(xué)不好,然后在矩形里面分別選一部分表示物理好,這樣可能就比較直觀了.為了更好的對(duì)比,我們將兩個(gè)矩形應(yīng)該怎么樣處理呢?一樣高還是不一樣呢?(停頓思考),為了更好的對(duì)比,肯定是一樣的,那最簡單我們用1 來表示,然后物理好的部分都靠同一側(cè),用比例表示,這樣就很直觀了.如圖2,這樣就能將本題直觀的表現(xiàn)出來了,這個(gè)圖叫做等高條形圖,這種比較分類變量是否有關(guān)的方法叫做等高條形圖法.比較圖中兩個(gè)深色條的高可以發(fā)現(xiàn),在數(shù)學(xué)好的樣本里物理好的頻率要高些,因此直觀上可以認(rèn)為數(shù)學(xué)成績好更容易物理成績好.

圖-2

至此我們完成第三個(gè)教學(xué)概念:等高條形圖法;特點(diǎn):計(jì)算量小,直觀.

教師(錄音):還有別的方法嗎?(停頓思考)

此處啟發(fā)學(xué)生思考,回顧判斷兩個(gè)變量相關(guān)的方法.

教師(錄音):我想已經(jīng)有同學(xué)想到了,我們之前學(xué)過判斷相關(guān)或者無關(guān)(獨(dú)立)的方法.對(duì),就是概率方法.我們可以嘗試去推理.為了具有一般性,我們用字母來代替表1 中的事件和數(shù)據(jù),得到表2:設(shè)數(shù)學(xué)好為事件A,物理好為事件B,則數(shù)學(xué)不好為事件,物理好為事件.那請(qǐng)大家思考:事件A與B有關(guān),無關(guān)什么意思呢?(停頓)我們知道:事件A與B無關(guān)等價(jià)于:P(AB)=P(A)P(B)成立.我們不妨做個(gè)假設(shè),記作H0:物理好跟數(shù)學(xué)好無關(guān),并稱之為統(tǒng)計(jì)假設(shè),則在此假設(shè)下必有:.

表2

比較小,而這個(gè)式子就是統(tǒng)計(jì)學(xué)中非常有用的卡方統(tǒng)計(jì)量.

統(tǒng)計(jì)學(xué)之父英國數(shù)學(xué)家皮爾遜推導(dǎo)得出:實(shí)際觀察次數(shù)f0與理論次數(shù)fe之差的平方再除以理論次數(shù)fe所的統(tǒng)計(jì)量,近似服從卡方分布,可表示為:,而(*)式化簡得:.

這個(gè)就是隨機(jī)變量K2讀作卡方,在計(jì)算中,也會(huì)記成k(卡方的觀測(cè)值).

至此,我們推導(dǎo)出了本節(jié)難點(diǎn)之一卡方公式的計(jì)算公式.此時(shí)可能部分學(xué)生有點(diǎn)懵,不知道什么意思或者怎么用,接下來需要解釋.

教師(錄音):剛才的推導(dǎo)過程其實(shí)就是一種反證法的過程.我們假設(shè)事件A 與B 無關(guān),近似等價(jià)成K2接近于0,所以若計(jì)算得出的K2值越小,那說明越有把握認(rèn)為假設(shè)是正確的;反之若K2值較大,則可以拒絕假設(shè),即承認(rèn)事件A 與B 有關(guān);也可以用小概率原理來解釋.小概率原理就是概率很小的隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中一般不會(huì)發(fā)生.首先假定假設(shè)正確,從總體中抽取一組樣本進(jìn)行檢驗(yàn),在假設(shè)成立的條件下,如果樣本觀察值導(dǎo)致了“小概率事件發(fā)生”,這與“小概率原理”矛盾,就應(yīng)該拒絕假設(shè),否則則接受假設(shè).具體參照值查看卡方分布概率分布表,表3.

表3

表中k0,就是卡方計(jì)算值的臨界值,也就是在某一可信度下判定分類變量無關(guān)的下界.

比如:當(dāng)K2≥3.841 時(shí),就說有95%的把握說事件A與B 有關(guān)[1];當(dāng)K2≥6.635 時(shí),就說有99%的把握說事件A與B 有關(guān).

這里說明幾點(diǎn):在B 版教材中明確指出一般都以這兩個(gè)臨界值來判斷,并且指出當(dāng)K2＜3.841 時(shí),認(rèn)為事件A 與B是無關(guān)的[2].但是A 版教材中沒有明確給出,事件A 與B 是無關(guān)的臨界值.但是在高考題中一般是很明確的指出.所以同學(xué)們無需擔(dān)心.像這樣利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法,稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).

至此,我們推導(dǎo)出了本節(jié)最后一個(gè)概念:獨(dú)立性檢驗(yàn).學(xué)生可能會(huì)躍躍欲試.下面小試牛刀.

教師(錄音):下面就用引例計(jì)算一下.請(qǐng)同學(xué)們按下暫停鍵:由K2計(jì)算公式得:4.57,∵4.57＞3.841,∴我們有95%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)好與物理好有關(guān).

教師(錄音):做幾點(diǎn)說明:①對(duì)于引例,最理想的解決辦法是調(diào)查所有相關(guān)的人,然后對(duì)得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理,但這花費(fèi)的代價(jià)太大,實(shí)際上是行不通的.②60 個(gè)人相對(duì)于全體,只是一個(gè)小部分;③現(xiàn)在我們用部分對(duì)全體作推斷,推斷可能正確,也可能錯(cuò)誤.④計(jì)算時(shí)可以用K2表示,也可以用k.下面做練習(xí).

練習(xí)主要是讓同學(xué)們更加熟悉卡方公式及其統(tǒng)計(jì)意義.

教師(錄音):接下來我們還有兩道例題:請(qǐng)同學(xué)們按下暫停鍵先讀題:

例1巴西醫(yī)生馬廷恩收集犯有各種貪污、受賄罪的官員與廉潔官員壽命的調(diào)查資料:500 名貪官中有348 人的壽命小于平均壽命,152 人的壽命大于或等于平均壽命;590 名廉潔官員中有93 人的壽命小于平均壽命,497 人的壽命大于或等于平均壽命.這里,平均壽命是指“當(dāng)?shù)厝司鶋勖?能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01 的前提下認(rèn)為官員在經(jīng)濟(jì)上是否清廉與他們壽命的長短之間有關(guān)系?

解據(jù)題意列2×2 列聯(lián)表如下表4:

表4

假設(shè)官員是否清廉與它們的壽命長短無關(guān).

由K2公式得:325.635,因?yàn)?25.635＞6.635,因此,在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01 的前提下認(rèn)為官員在經(jīng)濟(jì)上是否清廉與他們壽命的長短之間是有關(guān).

本題的設(shè)計(jì)意圖在于讓同學(xué)們自己建立2×2 列聯(lián)表同時(shí)熟悉另一個(gè)臨界值,進(jìn)一步熟悉解答題的書寫格式,同時(shí)注意到題目的詢問方式是與前面不同的,給出了判斷的標(biāo)準(zhǔn).

例2為研究不同的給藥方式(口服與注射)和藥的效果(有效與無效)是否有關(guān),進(jìn)行了相應(yīng)的抽樣調(diào)查,調(diào)查的結(jié)果列在表中,根據(jù)所選擇的193 個(gè)病人的數(shù)據(jù),能否作出藥的效果和給藥方式有關(guān)的結(jié)論?

表5

解 設(shè)H0:藥的效果與給藥方式?jīng)]有關(guān)系:由K2公式得:因?yàn)?.3896＜3.841,因此我們沒有理由說“藥的效果”與“給藥方式”有關(guān),可以認(rèn)為“藥的效果”與“給藥方式”無關(guān).

本題主要說明的點(diǎn)是當(dāng)算出的卡方值小于3.841 的時(shí)候,我們往往判定沒有關(guān)系.我們?cè)诓榕R界值表前,是有個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的,一般是奔著兩個(gè)臨界值3.841,6.635,教材和高考題基本也都是,我們要與教材和高考保持一致!如果在題目中有具體的問法,則可以尊重題目,比如問有沒有97.5%的把握,那我們要找對(duì)應(yīng)臨界值:5.024.

教師(錄音):小結(jié):①我們有95%的把握說事件A 與B有關(guān),是指推斷犯錯(cuò)誤的可能性為5%,這也就是常常說成是“以95%的概率”,其含義是一樣的;②統(tǒng)計(jì)的基本思維模式是歸納的,它的特征之一是通過部分?jǐn)?shù)據(jù)來推測(cè)全體數(shù)據(jù)的性質(zhì),因此,統(tǒng)計(jì)推斷是可能犯錯(cuò)誤的;③我們從數(shù)據(jù)上體現(xiàn)的只是統(tǒng)計(jì)上的關(guān)系,而不是因果關(guān)系;④使用卡方統(tǒng)計(jì)量作2×2 列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí),要求表中的4 個(gè)數(shù)據(jù)都要大于5,為此,在選取樣本的容量時(shí)一定要注意這一點(diǎn).

6 教學(xué)效果

根據(jù)收集同學(xué)們的反饋,對(duì)于線上教學(xué)(本節(jié)為例)按照優(yōu)缺兩個(gè)方面匯總?cè)缦?

優(yōu)點(diǎn):①線上教學(xué)可以調(diào)進(jìn)度,可以在聽不懂的地方回放,比如這節(jié)課公式的推導(dǎo)過程;②線上上課可以更清楚的看到過程,不用擔(dān)心老師擦掉(黑板),可以更好的記錄要點(diǎn)和筆記,可以下載保存;③不用擔(dān)心自己不知道,其他同學(xué)知道了而焦慮;也避免出現(xiàn)因?yàn)楹芏嗤瑢W(xué)都懂了老師不講了的尷尬!④一部分學(xué)生很享受這種學(xué)習(xí)方式,可以避免同學(xué)的干擾,自己獨(dú)立思考的時(shí)間更多!

缺點(diǎn):①不能和老師同學(xué)互動(dòng),偶爾會(huì)覺得枯燥;②沒有機(jī)會(huì)聽到其他同學(xué)分享的好想法;③心態(tài)會(huì)相對(duì)放松,因?yàn)闆]有老師突如其來的提問,少了些專注力和緊張感;④遇到問題不能及時(shí)發(fā)問,不能及時(shí)得到老師和同學(xué)的指點(diǎn);⑤長期對(duì)著電子屏很傷眼睛!

教師方面反饋:根據(jù)每次的練習(xí)提交情況,發(fā)現(xiàn)95%以上的學(xué)生都能按時(shí)提交作業(yè),并且正確率比較高;但是可能存在假學(xué)現(xiàn)象,另外,問問題的頻率,比在學(xué)校有所減少.測(cè)試沒有辦法嚴(yán)格控制時(shí)間,有學(xué)生會(huì)不按照規(guī)定時(shí)間提交!

根據(jù)家長的反饋,存在個(gè)別學(xué)生在家沉迷游戲,懶散不自覺,會(huì)有應(yīng)付作業(yè)等情況,沒有在學(xué)校學(xué)習(xí)高效認(rèn)真!

綜上所述,疫情階段極有可能是學(xué)生成績兩極分化的發(fā)展階段;復(fù)課后一定要及時(shí)處理這個(gè)問題,必要時(shí)要開設(shè)扶弱課程,因?yàn)閷?duì)于高二學(xué)生來說,開學(xué)已近高三.此外復(fù)課后會(huì)對(duì)學(xué)生做個(gè)測(cè)試,請(qǐng)同學(xué)們用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷教學(xué)方式(線上、線下)和學(xué)習(xí)成績有無關(guān)系.