廣州市海珠外國語實驗中學(xué)(510230)顧明哲
廣州市天河區(qū)教師發(fā)展中心(510610)劉永東
2019年10月,筆者有幸在廣州市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會組織的初中數(shù)學(xué)教研活動中,主講了公開課——探究月歷中的規(guī)律.這節(jié)課圍繞“數(shù)學(xué)眼光看月歷,逐步探究促認(rèn)知”的主題,以信息技術(shù)為輔助展開,現(xiàn)將其背后的思考與實施呈現(xiàn)如下.
“探究月歷中的規(guī)律”是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級上冊第二章的教學(xué)內(nèi)容,屬于數(shù)學(xué)活動課.主要內(nèi)容為借助整式和整式的加減運算,探究和表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系.
發(fā)展符號意識,主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道使用符號可以進(jìn)行運算和推理,得到一般性結(jié)論.建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式[1].作為訓(xùn)練符號意識的絕佳素材,整式的加減為學(xué)生打開字母世界的大門.小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過用字母表示數(shù)、簡單的列式表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系.在整式學(xué)習(xí)之后,學(xué)生對整式的分類和運算有了基本認(rèn)識,但對于抽象字母的理解可能停留在概念識別和加減運算上,略顯機械和生硬,也難免會覺得字母運算離日常生活很遙遠(yuǎn),沒有實用性.為加強和實際的聯(lián)系,本節(jié)課選取了學(xué)生熟悉的月歷,圍繞“月歷區(qū)域求和”設(shè)計活動.通過活動可體會到:字母運算來自于生活,又服務(wù)于生活;字母運算相較數(shù)的運算具備優(yōu)勢,也能感受運用數(shù)學(xué)知識的樂趣.
基于以上分析,設(shè)定教學(xué)目標(biāo)如下:
(1)用整式和整式的加減運算表示實際生活問題中的數(shù)量關(guān)系.
(2)嘗試用不同的方法探究數(shù)學(xué)規(guī)律,掌握從特殊到一般的分析方法.
(3)經(jīng)歷圖形和規(guī)律的變化探究過程,體驗自主設(shè)計、分析的學(xué)習(xí)樂趣.
本節(jié)課重點是借助整式加減的知識,體會從特殊到一般的探究過程.在活動設(shè)置上,圍繞月歷設(shè)置四個活動將探究層層深入,設(shè)問方式逐步開放,為學(xué)生自主探究提供了充足的空間.在題目設(shè)置上突出了方框的數(shù)量變化、位置變化,為學(xué)生自主設(shè)計提供了充足的“腳手架”.
從自主設(shè)計的方框中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并將個人發(fā)現(xiàn)的規(guī)律描述出來,這對于初一學(xué)生是個難點,尤其是學(xué)生設(shè)計的圖形“不規(guī)則”的時候.為此方框中數(shù)之間的規(guī)律,要引導(dǎo)到求和的方向上來.減法從運算上沒有問題,但加減混合更不便于發(fā)現(xiàn)和表達(dá)規(guī)律.乘除則是初二知識,學(xué)生還不具備相應(yīng)的知識儲備.
為突破重難點,基于實效性,本課整合了Geogebra 畫圖軟件等幾個信息技術(shù)手段,并只在必要時作為教學(xué)的輔助出現(xiàn).包括展示“方框”的變化、“方框”的移動,借助投屏助手便捷展示學(xué)生作品,針對課后作業(yè)輔導(dǎo)的微課等.
問題1:用月歷(如圖1)變一個魔術(shù):請一位同學(xué)橫著選連續(xù)3 天,那么只需要將3 數(shù)之和說出來,魔術(shù)師就知道選的是哪3 個數(shù).比如和是27,那么選的就是8,9,10.你知道這個魔術(shù)的原理嗎?
圖1
【追問】:怎樣證明這個發(fā)現(xiàn)?三個數(shù)里面的哪個數(shù)顯得比較特別?
【設(shè)計意圖】:以魔術(shù)設(shè)置情景引入,吸引學(xué)生的注意力.讓學(xué)生感受到月歷上的數(shù)與數(shù)之間不是孤立的,借助追問感受三個數(shù)中間這個數(shù)的重要性;初步體會“特殊值”發(fā)現(xiàn)規(guī)律,“字母一般方法”證明規(guī)律的歸納過程.
問題2:經(jīng)證明,橫向的三格方框移動之后,結(jié)論依然成立(GGB 動態(tài)展示,如圖2).豎向三格也可類似證明.小明說:他連續(xù)放假三天數(shù)字和是8.小剛回答道:那我連續(xù)三個星期五去打羽毛球,日期之和是90.有可能是這樣嗎?為什么?
圖2
【設(shè)計意圖】:形成實際——理論——實際的活動過程,增強問題的情境性,讓學(xué)生感受到符號運算可以來源于生活,又服務(wù)于生活.
問題3:當(dāng)方框中的數(shù)從3 個增加到9 個(如圖3),這9個數(shù)加在一起的和是多少?這個和是正中心的數(shù)的幾倍?當(dāng)方框移動以后(如圖4),這個倍數(shù)關(guān)系是否依然成立?
圖3
圖4
【追問1】:“用字母代替數(shù)”這樣的證明方法有什么優(yōu)勢?
【追問2】:能否將這個問題轉(zhuǎn)化為問題1 來解決?
【設(shè)計意圖】:追問1 讓學(xué)生思考字母運算的優(yōu)越性.增加方框內(nèi)數(shù)字的數(shù)量,為學(xué)生提供自主設(shè)計的方向.同時將結(jié)論的發(fā)現(xiàn)引向求和,避免出現(xiàn)作差,求積等.追問2 讓學(xué)生能多角度的思考解決的策略,9 格既可以當(dāng)成一個新問題研究,也可以把9 格結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為三組3 格結(jié)構(gòu),豐富問題解決的經(jīng)驗.
問題4:當(dāng)方框中的數(shù)是4 個(如圖5),你能得出什么結(jié)論?并給出證明;當(dāng)方框形狀變化后(如圖6),又能得出什么結(jié)論?
圖5
圖6
【追問1】:從證明的方法看,問題4 和問題3 相比有怎樣的變化?
【追問2】:從設(shè)問的角度看,問題4 和問題3 相比有怎樣的變化?
【設(shè)計意圖】:同樣都是4 格,形狀變化逐漸豐富,為學(xué)生自主設(shè)計提供思路.追問1 引導(dǎo)學(xué)生思考結(jié)構(gòu)的變化,對問題解決產(chǎn)生的影響.用字母表示數(shù)的時候,設(shè)誰為x?不同的結(jié)構(gòu)選擇也會不同,不同的設(shè)法決定了能否簡化后續(xù)運算,能否更容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論.這對學(xué)生的符號運用提出了更高的要求.追問2 促使學(xué)生進(jìn)行對比,發(fā)現(xiàn)設(shè)問的開放性,經(jīng)歷先歸納猜想,再嘗試表達(dá),運用符號進(jìn)行數(shù)學(xué)證明的過程,感受數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下的問題解決過程.
問題5:格子數(shù)量可多可少,格子組成的形狀橫豎斜各有不同.請設(shè)計一個自己喜歡的圖形,并嘗試探究格子里的數(shù)有什么結(jié)論?和小組同學(xué)分享你的設(shè)計和發(fā)現(xiàn).
【追問】:你覺得自己設(shè)計這個圖形,以及發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,和前幾個活動中的圖形相比,有什么不一樣的地方.
【設(shè)計意圖】:自主設(shè)計極大了提升了學(xué)生的參與程度,保證了學(xué)生對外在情境的探究熱情,體驗數(shù)學(xué)活動的樂趣,同時又內(nèi)化本節(jié)課的重點知識.追問讓學(xué)生有意識地為探究增加新特性(如圖7-圖9),促使學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性的思考和設(shè)計.
圖7
圖8
圖9
我們從月歷里提出一個問題:研究數(shù)與數(shù)的關(guān)系.大家容易看到的是數(shù),看不見的是關(guān)系.關(guān)系也是數(shù)學(xué)研究的一個重點,包括數(shù)與數(shù)的關(guān)系,式子與式子的關(guān)系,三角形與三角形的關(guān)系.對月歷中的數(shù)來說,我們用方框選取一些不同的區(qū)域,改變方框數(shù)量和形狀,求和時用到了整式的加減知識.探究規(guī)律過程中,特值法很直觀但都是特例,適合用來發(fā)現(xiàn)規(guī)律;符號證明具有一般性,適合用來證明規(guī)律.
從看似普通的一堆數(shù)字里面,竟然能發(fā)現(xiàn)一些神奇的結(jié)論.其實我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝,借助相鄰數(shù)之間的關(guān)系(如圖11),發(fā)現(xiàn)了一個不得了的結(jié)論,這一發(fā)現(xiàn)比歐洲早五百年左右.用一種新的眼光看待數(shù)學(xué)問題,世界更加精彩.
課后,一個女生帶著自己設(shè)計的“數(shù)表(6 行6 列)”以及“帶陰影的格子”給我看(如圖12),她考慮到框的美觀和含義沒有用一行7 個數(shù),考慮到我們是4 班所以用的形狀是數(shù)字4,創(chuàng)造性的設(shè)計了一個對稱軸是斜著的圖形,真是厲害!
圖12
筆者認(rèn)為,數(shù)學(xué)活動課的活動需要具備三個特性.
即情景建模,從月歷觀察數(shù)提出問題,師生各具創(chuàng)造性,這需要傾聽學(xué)生問題中蘊含的不同層次的數(shù)學(xué)思維問題情境性.本課四個活動,從問題角度看,活動一為三格求和、猜這三個數(shù)是多少;活動二為九格求和、直接證明與中間數(shù)的關(guān)系;活動三為四格給定、自己探究其中的規(guī)律;活動四為自己設(shè)計方框,自己探究其中的規(guī)律.從題設(shè)的格子位置和數(shù)量,所證結(jié)論由封閉到開放,是有意在為學(xué)生搭建一個層層遞進(jìn)的探究情景.讓學(xué)生在熟悉的情境中自主增添新特征,促進(jìn)學(xué)生內(nèi)在的數(shù)學(xué)思維活動,并提高了活動參與率和獲得成功體驗,不僅保證學(xué)生對活動情境的外在興趣,更是內(nèi)在緊密結(jié)合下保證了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).從學(xué)生的自主設(shè)計看,出現(xiàn)了一些在之前基礎(chǔ)上新的數(shù)量變化,無疑是讓學(xué)生悟到了一些數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的“再創(chuàng)造過程”,這使學(xué)生更樂意學(xué).同時,在經(jīng)過教師概括后促使這些經(jīng)驗由淺入深轉(zhuǎn)化,讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識技能和數(shù)學(xué)思維,感受了數(shù)學(xué)思想的過程.
即關(guān)注學(xué)生的理性思維發(fā)展,強調(diào)對知識的深度學(xué)習(xí),側(cè)重問題解決,并在整體和聯(lián)系上注意融會貫通.不僅僅是看到數(shù)的簡單規(guī)律,還要探究數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系,如何研究,這時需要退,尋找局部區(qū)域內(nèi)部的數(shù)來研究,但不能局限思維,要讓學(xué)生自己主動去自主發(fā)現(xiàn),進(jìn)而再去研究不同區(qū)域之間的數(shù)的關(guān)系,這個就是結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系,出現(xiàn)深度學(xué)習(xí).當(dāng)學(xué)生運用字母表示進(jìn)行問題解決,就達(dá)到了深化建模的目標(biāo),此時就會產(chǎn)生知識的融會貫通,即是達(dá)到了日本數(shù)學(xué)家小平邦彥所講的學(xué)習(xí)狀態(tài):理解數(shù)學(xué)相當(dāng)于觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象:觀察不是用眼睛看,而是通過一定感覺形成感知,是一種不同于邏輯推理的純粹感覺,這種感覺幾乎接近于視覺.因此,開展數(shù)學(xué)活動必須在教學(xué)目標(biāo)指引下,通過對具體事物的實際操作、考察和思考,在積累經(jīng)驗到一定程度時,在教師的引領(lǐng)下飛躍形成新的認(rèn)識.實質(zhì)上,這是為學(xué)生搭建一個參與具備高階認(rèn)知的數(shù)學(xué)活動平臺.
融合信息技術(shù)的作用在于提興趣,找問題,測效果,助思維等,可做可不做的不做.例如,自己能講清的、學(xué)生能明白的,可以不融合.技術(shù)的使用不用全面開花,抓重點的突出的使用即可.如果是為了形式而忽略了內(nèi)容,會得不償失.課堂最重要的是讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì),這在于理解數(shù)學(xué)的思維能力,是指在思考和解決問題過程中對數(shù)學(xué)思想、方法的合理運用能力,與技術(shù)高效融合才是助力思維的成長.例如:Geogebra 強大的動態(tài)展示功能,只用于制作課件,表現(xiàn)格子移動,歸納和小結(jié);電子白板和投屏助手,用于便捷展示學(xué)生的設(shè)計作品;課后作業(yè)的難題輔導(dǎo),配套了相應(yīng)的微課等.
總的來講,學(xué)習(xí)是認(rèn)知發(fā)現(xiàn)、行知創(chuàng)造中完成.沒有發(fā)現(xiàn)就沒有問題,沒有問題就不能有好的認(rèn)知,沒有認(rèn)知就無法深度交流,沒有行知,也就失去了創(chuàng)造.而好課需從師生的創(chuàng)造中產(chǎn)生!