單元視域下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)與思考
——以“三角變換”為例

南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)(210000)吳如光

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是新時代高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),更是數(shù)學(xué)教學(xué)育人的價值追求.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析,六大核心素養(yǎng)既互相獨立,又互相交融,是一個有機整體[1].近年來,素養(yǎng)導(dǎo)向的單元教學(xué)設(shè)計受到一線高中數(shù)學(xué)教師的關(guān)注.單元教學(xué)設(shè)計是指以教材為基礎(chǔ),用系統(tǒng)論的方法對教材中“具有某種內(nèi)在聯(lián)系性”的內(nèi)容進(jìn)行分析、重組、整合并形成相對完整的教學(xué)單元,在教學(xué)整體觀的指導(dǎo)下將教學(xué)諸要素有序規(guī)劃,起到優(yōu)化教學(xué)效果的教學(xué)設(shè)計[2].基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)單元是“核心素養(yǎng)→課程標(biāo)準(zhǔn)→單元(主題)→課時教學(xué)”規(guī)劃鏈環(huán)上的整體設(shè)計,教育目標(biāo)是從“知識育人”走向“素養(yǎng)育人”.本文以“三角變換”為例,圍繞素養(yǎng)目標(biāo)的析出、知識“大背景”的挖掘、運用邏輯推出新命題、注重例題習(xí)題教學(xué)等整體把握與實施策略,和讀者交流.

1 整體把握課標(biāo)教材,析出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

“三角變換”是新編蘇教版教材必修二第10 章內(nèi)容[3],單元目標(biāo)在新課程標(biāo)準(zhǔn)一級主題“函數(shù)”和二級主題“三角函數(shù)”下,主要包括兩角和與差的余弦、正弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式和三角變換公式的應(yīng)用[1].三角變換是三角函數(shù)、平面向量內(nèi)容的后置單元,是研究周期現(xiàn)象的延續(xù)和深化.

從知識體系的構(gòu)建過程來看,三角變換公式是基于三角函數(shù)定義推出的邏輯結(jié)論,并且三角變換公式之間存在著緊密的邏輯聯(lián)系,由此看出本單元是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的理想素材.再者,三角變換公式的推導(dǎo)本質(zhì)上是一種三角函數(shù)運算,可以看出一種演繹的論證方式.所以,本單元的教學(xué)體現(xiàn)了公理化方法和推理論證在數(shù)學(xué)研究中的作用,可以析出本單元要落實的重點培育的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是邏輯推理和數(shù)學(xué)運算.學(xué)生只有掌握了數(shù)學(xué)運算和邏輯推理方法,才能真正培養(yǎng)起數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力,體現(xiàn)出“用數(shù)學(xué)思維來思考世界”的方法性目標(biāo).

基于以上觀點,要實現(xiàn)數(shù)學(xué)方法素養(yǎng)育人目標(biāo),必然要整體理解課程標(biāo)準(zhǔn)和教材,尋找邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的固著點、孕育點,注重各個課時之間邏輯關(guān)系的把握、每個課時內(nèi)部設(shè)計節(jié)點的自然聯(lián)結(jié).數(shù)學(xué)方法素養(yǎng)的培養(yǎng)要經(jīng)歷充分的數(shù)學(xué)活動過程:發(fā)現(xiàn)和理解本單元研究對象的數(shù)量關(guān)系或圖形性質(zhì),建立二者之間的因果關(guān)聯(lián),形成數(shù)學(xué)命題(三角變換公式),再對數(shù)學(xué)命題按照邏輯推理方法進(jìn)行說理或論證,理解三角變換命題體系,理解三角變換公式,依據(jù)運算法則和運算程序解決問題,嚴(yán)謹(jǐn)求實的表達(dá)與交流.基于本單元“總—分”的邏輯關(guān)系,提煉出邏輯結(jié)構(gòu)圖1.

圖1 三角變換邏輯結(jié)構(gòu)

2 挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì),探尋知識體系大背景

三角函數(shù)本質(zhì)上是描述周期變化的數(shù)學(xué)模型,所以三角變換的單元教學(xué)要放在對周期現(xiàn)象進(jìn)行研究的大背景下進(jìn)行.三角變換教學(xué)不只要教三角變換公式“是什么”、“怎么樣”,還要追“根”溯“源”挖掘三角變換公式的背景:在教材的章引言中給出了一個真實的背景材料,從周期運動合成的角度提出三角變換大問題,這正是對知識結(jié)構(gòu)詮釋“為什么”的大背景.教材又通過“連接”內(nèi)容,給出了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)疊加的問題結(jié)論,構(gòu)建了一個相對完整的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用過程,有助于學(xué)生從整體上理解知識.

所以,在本單元的教學(xué)中要利用這個周期疊加情境引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)本質(zhì),清本溯源,讓學(xué)生經(jīng)歷完整的發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程,實現(xiàn)對三角變換公式真正意義上的理解.本單元的起始課,立足章引言的“大背景”,要體現(xiàn)出三角變換公式的基本思想、數(shù)學(xué)本質(zhì)和學(xué)生的思維起點,結(jié)合三角變換的單元起始課“兩角和與差的余弦”,整體把握問題情境設(shè)計:

情境一.三角函數(shù)是刻畫周期運動的數(shù)學(xué)模型,在現(xiàn)實應(yīng)用中,周期運動的疊加也是值得關(guān)注的課題.請同學(xué)們閱讀教材第48 頁,思考y=sinx+cosx為什么也是一個三角函數(shù)(它能化成y=Asin(ωx+φ)的形式)?

情境二.在“平面向量”中我們曾經(jīng)遇到這樣的一個問題:已知向量a=(cos 75°,sin 75°),b=(cos 15°,sin 15°),嘗試用不同的方法計算a·b,并比較兩次計算結(jié)果,說說你的發(fā)現(xiàn).

輔助問題1-1.cos(α-β)=?說說你的想法和依據(jù).

輔助問題1-2.你能證明你的猜想嗎?證明的思路從哪里尋找?

問題2.如圖2,在直角坐標(biāo)系xOy中,角α,β的終邊與單位圓交于點P1,P2,其中0 ≤α≤β≤π,計算探索cos(α-β)的展開式.

圖2

問題3.你能將問題2 中的結(jié)論一般化嗎?對任意的角α,β,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ還成立嗎?說說你的理由.

問題4.cos(α+β)能否用α,β的三角函數(shù)表示?說說你的想法.

這樣的設(shè)計,突出了三角變換知識的“大背景”,通過創(chuàng)設(shè)情境一、二嘗試回答“為什么要學(xué)”的問題,揭示了問題本質(zhì).其次,通過對情境問題的活動過程,學(xué)生初步獲得了解決兩角差余弦公式的知識、方法策略,將問題從特殊發(fā)展到一般,提出猜想,將研究過成程從粗放走向精細(xì),解決了“怎么學(xué)”的問題.再者,通過問題串1、2、3,引導(dǎo)學(xué)生積極參與,提出命題、嘗試論證、歸納推廣,再利用化歸思想獲得新命題,突出“學(xué)什么”的問題.

3 滲透邏輯思維方法,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力

三角變換公式是三角函數(shù)的邏輯結(jié)論,是訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維能力的良好素材.邏輯推理包括兩類:一類是歸納、類比,另一類是演繹.教師往往注重演繹推理能力的培養(yǎng),對學(xué)生發(fā)展嚴(yán)謹(jǐn)有條例的思維品質(zhì)起到了很好的作用,學(xué)生也習(xí)慣于解決(教師提出)問題,但是學(xué)生不會自己提出問題.所以在注重演繹推理能力的培養(yǎng)的同時,要突出歸納、類比推理的培養(yǎng).學(xué)生掌握了類比、歸納的方法,就能夠用已知探尋未知,嘗試提出新的問題,提出問題的能力是創(chuàng)造性的體現(xiàn).

比如在兩角和與差的正弦課時的教學(xué)中,通過設(shè)計知識體系前后聯(lián)系,突出邏輯關(guān)系的問題,啟發(fā)學(xué)生思考和提出問題.

問題1.在上節(jié)課我們利用兩角和與差的余弦公式求得了cos 75°,cos 15°的值,你能求出sin 75°的值嗎?

問題2.sin 75°可以寫成sin(45°+30°),分別用45°和30°的正余弦表示,當(dāng)然也可以寫成sin(60°+15°),用60°和15°的正余弦表示.你能將這個問題一般化嗎?你能研究什么問題?請說說看.

問題3.請你推導(dǎo)sin(α+β)公式.

輔助問題3-1.前面學(xué)習(xí)的余弦公式和這個問題能聯(lián)系起來嗎?

問題4.你還能研究什么問題?不要急著推導(dǎo),先說說你的猜想.

問題5.請你推導(dǎo)sin(α+β)公式.

問題6.你能說說cos(α-β),cos(α+β),sin(α+β),sin(α-β)的異同嗎?

問題7.結(jié)合圖3,這四個公式是什么關(guān)系?能由任意一個公式推出其它三個公式嗎?

圖3 兩角和與差正余弦邏輯結(jié)構(gòu)

以上問題串的設(shè)計,以知識生成為明線,以合情推理和演繹推理的方法滲透為暗線,將數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)融入其中.通過問題1、2,發(fā)展學(xué)生從特殊到一般的歸納能力,用“歸納”的邏輯方法提出新問題,再運用演繹的邏輯方法進(jìn)行證明說理.問題4 注重類比的滲透,從sin(α+β)的研究過渡到sin(α-β),再結(jié)合問題6、7,將四個公式放在一起進(jìn)行比較與觀察,考查四個公式的深層邏輯關(guān)系.歸納和演繹只有在如此周而復(fù)始的相互轉(zhuǎn)化過程中,才能彌補各自的缺陷,充分發(fā)揮其在探索真理過程中的方法論作用.實際上,從單元到課時的轉(zhuǎn)化過程中,雖然變化的是知識,不變的卻是思維的訓(xùn)練方式.在每一個課時的實際設(shè)計中都可以遵循這樣的路徑“考查特例——提出問題——證明說理——公式運用”,這應(yīng)是本單元一以貫之的原則,反反復(fù)復(fù)的訓(xùn)練學(xué)生的思維,讓學(xué)生真正掌握了邏輯推理的方法,相信邏輯的力量,做到合乎邏輯的思考,崇尚理性,追求真理.

4 注重例(習(xí))題教學(xué),促進(jìn)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)發(fā)展

三角變換公式本質(zhì)上是三角函數(shù)運算,是用演繹的論證方式進(jìn)行建構(gòu)的,所以本章要立足學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的提升,就要注重教材例題、習(xí)題的教學(xué).在前后課時中有邏輯的進(jìn)行例題設(shè)置,凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)方法的運用.有人說,運算是童子功,最能體現(xiàn)一個人的數(shù)學(xué)水平.實際上數(shù)學(xué)運算是高階認(rèn)知活動,涉及諸多心智技能運用:要理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,選擇運算方法,涉及運算程序,求得運算結(jié)果.反復(fù)經(jīng)歷這樣的過程,才能優(yōu)化學(xué)生規(guī)范思考問題的品質(zhì).通過列舉兩個例子的使用,探討本單元例題教學(xué).

首先本題的運算對象是三角函數(shù),運算法則是同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角和與差的正弦公式,工具性知識是多元的,難度是運算思路的探尋和最終運算方法的選擇.教學(xué)中,先讓學(xué)生嘗試思考,不要急于往“拆角”上引導(dǎo).學(xué)生一般會出現(xiàn)兩類思路:一類是將按照公式展開,得到方程再聯(lián)立sin2α+cos2α=1 解方程組.另一類是將所求的角α拆成(α+β)-β,轉(zhuǎn)化成兩角差的正弦公式.此時,教師做的才是要引導(dǎo)學(xué)生比較這兩種解法的優(yōu)劣,體會到“拆角”的簡捷和思路的合理性,同時還滲透了化歸思想.這樣對運算方法的選擇就“眾望所歸”,學(xué)生在后面的例題和習(xí)題的解決中,會自然的運用拆角的方法解決問題.

本題考查學(xué)生對兩角和與差正切公式的正用、逆用,逆用的前提是對公式的結(jié)構(gòu)有深刻的理解,能夠整體把握代數(shù)特征,也是訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維的良好素材.

聯(lián)想1:15°=45°-30°或者15°=60°-45°;

聯(lián)想2:1=tan 45°,可以將左邊的分式還原為兩角和的正切;

這道題目的解法是多樣(甚至學(xué)習(xí)了二倍角公式后視角更廣)的,各種運算思路、運算方法貫穿其中.可以讓學(xué)生從不同角度欣賞本題的方法,但是最后還要進(jìn)一步挖掘這些解法的本質(zhì)(算理),也就是多種解法的一致性——將非特殊角的計算轉(zhuǎn)為特殊角的計算,體現(xiàn)了化歸思想的運用.這樣發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng),形成高階認(rèn)知力,獲得對數(shù)學(xué)的深刻理解.

總之,素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)單元教學(xué),能夠有效地促進(jìn)學(xué)生對知識的整體建構(gòu)和深度學(xué)習(xí),為有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供“學(xué)力場”.筆者認(rèn)為,理論研究是開展單元教學(xué)的源頭,理解數(shù)學(xué)是開展單元教學(xué)的根本,課堂生成是開展單元教學(xué)的關(guān)鍵.一線教師要更新教學(xué)理念,追求學(xué)生發(fā)展的長遠(yuǎn)利益,單元教學(xué)大有可為.